книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

563

Так как при начальном условии uÑ (0) 0 имеем i1(0) 0, òî uíý (0) u0 110B è i(0) i0 11,À (ðèñ. Ð22.2).

Ðèñ. P22.1

Ðèñ. P22.2

После окончания переходного процесса имеем ic 0, и поэтому ióñò i1. Точка пересечения характеристики u(i) и прямой u u0 ir (рис. P22.2) определяет зна- чения ióñò 0,1À è uóñò 50 Â. Таким образом, рабочим является участок характеристики от точки А (при t 0) до точки В (при t ).

Характеристику нелинейного резистора представляем на рабочем участке совокупностью прямолинейных отрезков (на рис. P22.2 показаны первый и k-é

отрезки). Уравнение прямой на

k-м участке

имеет

âèä

u uk 0 räk i,

ãäå

r

uk

uk 1

— динамическое сопротивление резистора на этом участке.

äk

ik

ik 1

duÑ

Исключив из уравнений законов Кирхгофа i i

C

, i r u

, u(i) u

u

0

1

dt

1

Ñ

Ñ

duÑ

òîê i , получаем уравнения ir u

rC

, u(i) u u

.

0

1

Ñ

dt

Ñ

Заменяя нелинейную зависимость u(i) íà k-м участке на линейную u uk 0

räk i,

из последнего уравнения находим ток i

1

(u

u

u ) и приходим к линей-

0

k 0

räk

Ñ

ному дифференциальному уравнению r

C

duÑ

(

räk

1)u

u

u

.

Ñ

0

k 0

äk

dt

r

) e t k ,

Решение этого уравнения записываем в виде u

ck

(t) u

(u

u

u0

uk 0

Ñ k ,óñò

Ñ ,k 1

Ñ k ,óñò

ãäå

u

, u

u

u(i

k 1

)

— напряжение

на конденсаторе

ïðè

0

Ñ k ,óñò

räk

Ñ ,k 1

1

r

i i

k 1

,

rräk

C.

k

r räk

Промежуток времени tk , за который ток нелинейного резистора изменяется от ik 1 äî ik , находим с помощью соотношения

t

ln

uÑ ,k 1 uÑ k ,óñò

, ãäå u

u

u(i

).

k

k

Ñ k

0

k

uÑ k

uÑ k ,óñò

564 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Задавая значения k 1,2, ..., получаем t1, t2 ,... и далее рассчитываем моменты времени t1 t1, t2 t1 t2 ϑ ϑ в которые ток резистора принимает значения i1, i2 ϑ ϑ а напряжение на конденсаторе — значения uÑ1 ,uÑ2 , ...

На рис. Р22.3 изображена зависимость uÑ (t),полученная при замене рабочего участка характеристики u(i) девятью прямолинейными отрезками.

Ðèñ. P22.3

Ðèñ. P22.4

Вариант â. Найдем границы рабочего участка характеристики нелинейной катушки, изображенной на рис. P22.4 цепи:

i(0)

u0 i1( 0)r1

1 À, i

u0

10 À.

óñò

r

r1

Из уравнений законов Кирхгофа i i

i ,

d

i

r

, i r

i

r u

получаем урав-

r1 r2

d

2

1 dt

2 2

1 1

d

2

2

d

0

di

di

нение

ir

u

, которое с учетом соотношения

L

(L —

r

dt

1

0

dt

di

dt

ä dt

ä

2

динамическая индуктивность катушки) можем записать в виде

r1 r2

L

di

ir u

.

r

ä dt

1

0

2

Заменяя нелинейную характеристику (i) катушки на рабочем

участке от i(0) äî ióñò совокупностью прямолинейных отрезков

(рис. P22.5), переходим на каждом из отрезков к линейным дифференциальным уравнением

r1 r2

L

di

ir

u

, èëè

r

äk dt

1

0

2

L

äk

di

10i 100,

Ðèñ. P22.5

dt

					Ответы на вопросы, решения упражнений и задач 565
ãäå L			k	k 1	— динамическая индуктивность, принимающая постоянные
	äk		ik	ik 1

значения Lä1, Lä2 , на участках характеристики (i) (рис. P22.5). Решение этого

уравнения можем записать в виде i(t) ióñò [ik (0) ióñò ]e t k , ãäå ik (0) — начальное значение тока катушки на участке k, равное току на границе k-ãî è (k+1)-ãî

участков характеристики	(i), k	L	ä k	(r1	r2 )	. Отсчитывая время от момента
				r1r2

начала переходного процесса на k-м участке, получаем выражение для расче-

та промежутка времени tk , в течение которого ток катушки изменяется от ik 1

äî ik :

tk

ik ióñò (ik 1 ióñò ) e

k

.

Отсюда находим

t

ln

ik 1 ióñò

.

k

k

ik ióñò

Принимая k 1, 2, …, получаем вели-

÷èíû t1, t2 ,... и далее моменты време-

íè t1 t1, t2

t1 t2 , t3 t2 t3 , ,

Ðèñ. P22.6

в которые ток катушки достигает значе-

íèé i1, i2 ,....

На рис. P22.6 изображена зависимость i(t), полученная при замене рабочего уча- стка характеристики (i) десятью прямолинейными отрезками.

22.4. Метод фазовой плоскости

УПРАЖНЕНИЯ

x 2

y 2

2

2

x 2

6. Выражая из уравнения

1 величину y, получаем y

b

1

, îò-

a

2

b

2

a

2

куда имеем: y

dx

b

adx

a2

x 2 , dt

, так что искомое время переход-

dt

a

b a2 x 2

a

a

dx

#a

ного процесса T

.

b

0

a2

x 2

2b

7. Используя решение предыдущего упражнения, получаем:

a xΑ1

dx

a

x

Α1

x

Α

t

arcsin

arcsin

.

b

xΑ

a2 x 2

b

a

a

Алфавитный указатель

Z

z-изображение решетчатой функции, 145

À

акцептор, 337 аппроксимация

нелинейных характеристик кусочно-линейная, 429 сплайновая, 383

Á
бареттер, 333
биения колебаний, 46
áëîê
направленного действия,					206
Â
ветвь
обобщенная,			57
волна
бегущая,	281
напряжения
обратная,			297
прямая,		296
обратная,		282
отраженная,			282, 299
падающая,		282, 299
преломленная, 299
прямая,	282
стоячая,	288
пучности напряжения,					288
óçëû òîêà,			288
выпрямитель, 432
вязкость
диэлектрическая,				365
Ã
генератор
колебаний
ламповый,			476
транзисторный,				448

гистерезис
диэлектрический,		363
потери,	365
магнитный,	356
граф нормальный, 58
Ä
декремент колебаний,		41
логарифмический,		41
дерево графа
нормальное, 58
фундаментальное,		256
диагностика
задачи, 254

электрической цепи, 254 активной, 264 при неполных исходных данных,

265

ñжесткими математическими моделями, 267

тестовая, 254 функциональная, 254

диаграмма

векторная катушки с ферромагнитным

сердечником, 412 трансформатора, 415

диод полупроводниковый, 335

донор, 336 дроби

простые, 231 цепные, 236

дробовой эффект, 152 дуга

электрическая, 329

Å

емкость динамическая, 366

дифференциальная, 366 статическая, 366

Алфавитный указатель 567

Æ

жесткие дифференциальные уравнения, 77

Ç

задача Коши, 67

некорректная, 265 закон

Кирхгофа

âоператорной форме, 98 магнитной цепи, 393 Îìà

âоператорной форме, 99 зона прозрачности, 196

È

изображение

операторное интеграла, 95 производной, 94 функций, 97

изображения операторные, 93

изоклина, 472 импульсные

системы, 121 ЭДС и токи, 121

инвертор, 432 индуктивность

динамическая, 361 дифференциальная, 361 статическая, 361

интеграл Дюамеля, 127 Лапласа, 93 Фурье, 111

âтригонометрической форме, 113

Ê

кенотрон, 331 колебания

затухающие, 40 незатухающие, 41

релаксационные,		453
короткое замыкание
режим, 286
коэффициент
затухания,	194, 278
искажения,	438
отражения,	299
напряжения,		282
òîêà, 282
преломления, 299
рапространения линии,			278
распространения
операторное выражение, 295
усиления
лампы,	344
ôàçû, 194, 278
кривая намагничивания
начальная,	355
основная, 356
кривая размагничивания,			399
критерий устойчивости
Рауса—Гурвица,		209, 446
частотный,	210
крутизна
характеристики
лампы,	343
триода,	353

Ë

линеаризация

условная уравнения цепи, 466

линеаризация характеристики, 389 линия

неискажающая, 283 однородная, 275

уравнения, 276

Ì

магнитодиэлектрик, 360 макромодель, 90

высшего уровня, 90 низшего уровня, 90

568 Алфавитный указатель

мера передачи, 194 метод

z-преобразования, 145 аппроксимации

сплайновый, 383 Ван-дер-Поля, 476 гармонического

баланса, 424 итераций

расчет нелинейных цепей, 380 Кауера, 237 линеаризации в малом, 445

медленно меняющихся амплитуд, 475

Ньютона расчет нелинейных цепей, 382

операторный, 93 переменных состояний, 55 переменных состояния, 21 преобразования

частоты, 203 синтетических схем, 86 сопряжения интервалов, 429 узловых сопротивлений, 256

обобщенный, 262 Фостера, 237 частотных характеристик, 110

численного интегрирования уравнений состояния, 68 А-устойчивый, 75 Линигера—Уиллаби, 69 многошаговый, 68 одношаговый, 68 системный, 82 степени Α, 69 трапеций, 69

усовершенствованный ломаных, 70

четвертой степени, 70 Эйлера неявный, 69 Эйлера явный, 68 Эйлера—Коши, 69

эквивалентных синусоид, 406

Í

начальные условия ненулевые, 22 нулевые, 22

Î

область устойчивости метода численного интегрирования, 72

обратная связь отрицательная, 186 положительная, 186

опрокидывание инвертора, 435

Ï

переменные сосотояния, 19 период

затухающих колебаний, 40

незатухающих колебаний, 41 период собственных колебаний линии,

305

петля гистерезиса, 365

частная, 400 гистерезисная

динамическая, 358 симметричная, 356 статическая, 358

плоскость фазовая, 468

плотность спектральная, 112

пограничный слой, 77 подграф связей нормальный, 58 полоса задерживания, 196 полоса пропускания, 196 поляризация, 363 порядок сложности задачи

диагностики, 268 постоянная времени цепи, 24, 29 потери

на вихревые токи, 409 на гистерезис, 410

Алфавитный указатель 569

правило Рунге, 70

преобразование Лапласа, 93, 119

дискретное, 140

обратное,		94, 119
правое,	130
прямое,	119
по Карсону,		94
Фурье, 119
обратное,		111
обратное в обобщенной форме,
119
прямое,	111

прямое в обобщенной форме, 119

прямое одностороннее, 111 прибор

электронный, 332 принцип повторных измерений, 270

проводимость
внутренняя
триода, 353
внутренняя лампы,		343
динамическая, 326
дифференциальная,		326
импульсная,	128
магнитная, 393
операторная,	101
переходная,	122
статическая,	326
проницаемость
лампы, 344

магнитная комплексная, 413

процесс автоколебательный, 448 переходный, 17

Ð

равенство Парсеваля, 113

разряд конденсатора апериодический, 37

колебательный, 40 Ракитский Ю. В., 270 режим

инверторный, 435 короткого замыкания, 286 холостого хода, 285

Ñ

сегнетоэлектрик, 363 сечение графа особое, 267 сила

коэрцитивная, 356 синтез электрических цепей, 228 скорость

фазовая, 281 случайные ЭДС, токи и напряжения,

151 соединение четырехполюсников

характеристически согласованное,

193
сопротивление
внутреннее
лампы, 343
триода,	353
динамическое, 326
диффренциальное, 326
линии
волновое, 278
операторное, 295
характеристическое, 278
магнитное,	393
комплексное, 412
операторное, 99
повторное,	193
статическое, 326
характеристическое,		192
сплайн-функция, 383
стабилизатор
напряжения, 334
ферромагнитный,		421
òîêà, 334
субгармоника,	481
схема
Г-образная,	198

570 Алфавитный указатель

лестничная, 181 мостовая, 181 синтетическая катушки, 87

конденсатора, 87

структурная,	206
замкнутая,	207
параллельное соединение, 207
последовательное соединение,
206
разомкнутая,		207
цепная, 192
эквивалентная,		351

биполярного триода, 352 катушки с ферромагнитным

сердечником, 412 полевого триода, 353 трансформатора, 415 Эберса—Молла, 351

Ò

теорема разложения, 104 Релея, 113 Штурма, 246

терморезистор, 328 тиристор, 354 ток

вихревой, 358 насыщения, 332 свободный, 18 установившийся, 18

точка изображающая, 468

траектория фазовая, 468

триод полупроводниковый, 346

биполярный, 348 полевой, 348

Ó

угол безопасности, 435

коммутации, 434

опережения, 435 регулирования, 435

узел неустойчивый, 471 устойчивый, 471

умножение частоты, 427 уравнение

волновое, 292 разностное, 140

уравнения состояния, 21

âнормальной форме, 56 уравнения

состояния

âнормальной форме, 57 усилитель

мощности ферромагнитный, 423

устойчивость методов численного

интегрирования, 71 режим в цепи с нелинейным

резистором и катушкой индуктивности, 439

режим в цепи с нелинейным резистором и конденсатором, 441

устойчивость процесса в цепи, 208 устройство обратной связи, 185

Ô

феррит, 360 феррорезонанс

âпараллельной цепи, 421

âпоследовательной цепи, 418 фильтр

пьезоэлектрический, 197 электрический, 196

безындукционный, 197 верхних частот, 196, 204 заграждающий, 196 нижних частот, типа k, 199 нижних частот, типа m, 201

параллельно-производный, 201 полосовой, 196, 204

Алфавитный указатель 571

последовательно-производный, 201

реактивный, 196 фильтр

электрический нижних частот, 196

фокус неустойчивый, 471 устойчивый, 471

формула Ньютона—Лейбница, 68

Римана—Меллина, 120, 295

функция
единичная,	122
импульсная,	123
единичная,		123
передаточная,		178
решетчатая,	140
скачкообразная, 122
öåïè, 228
входная,	229

положительная вещественная, 231

Штурма, 245

Õ

характеристика амплитудно-частотная, 112 вольт-амперная

нелинейного элемента, 325 динамическая, 361 импульсная

цепи, 125 несимметричная, 327 переходная

цепи, 122 симметричная, 327, 362 спектральная, 112 статическая, 361 фазочастотная, 112 частотная

вещественная, 112 мнимая, 112

холостой ход режим

однородной линии, 285

Ö

цепи дифференцирующие, 183 интегрирующие, 183

цикл предельный, 471

×

частота комбинационная, 480 комплексная, 119

четырехполюсник активный, 170, 187 короткое замыкание, 175

минимально-фазовый, 182 неминимально-фазовый, 182 параметры, 172 пассивный, 170 симметричный, 173 уравнения, 172

характеристические параметры, 192

холостой ход, 175 эквивалентная схема, 174

П-образная, 174 Т-образная, 174

четырехполюсники

соединение каскадное, 176 параллельное, 177

последовательное, 177 чувствительность характеристики

электрической цепи, 189 относительная, 189 результирующая, 189

Ý

электрическая цепь распределенные параметры, 275

элемент

нелинейный

572 Алфавитный указатель

безынерционный, 333		тиритовый
инерционный,	332	нелинейный, 328
управляемый,	342