книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2
.pdf
Глава 12. Расчет электрических цепей при воздействии импульсных ЭДС |
123 |
можно определить, рассчитав классическим или операторным методом ток i(t) при включении данной цепи под действие постоянного напряжения U const, и тогда Y(t) i(t)/U. Например, для цепи с последовательно включенными r è L
|
1 |
|
|
|
|
|
r |
t |
|
|
|
|
|
|
имеемY(t) |
|
|
1 e |
|
L |
|
(см. § 9.5), а для цепи с последовательно соединенными |
|||||||
r |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
e |
t |
|
|
|
|
|||
r è C имеем Y(t) |
|
(ñì. § 9.6). |
|
|
|
|||||||||
rC |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если к цепи приложена скачкообразная ЭДС, то |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðè |
t 9 0; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) E 1(t)Y(t) |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EY(t) ïðè |
t ; 0. |
||
Перейдем к рассмотрению другой функции, называемой и м п у л ь с н о й. При рассмотрении в § 9.11 переходных процессов в цепи, в которой происхо-
дит скачкообразное изменение индуктивности или емкости, было указано, что в определенных условиях возникают напряжения и токи бесконечно большого значения и бесконечно малой длительности ( t 0). Такие токи и напряжения, имеющие импульсный характер, могут быть описаны с помощью импульсной функции K−(t), ãäå K — вещественное число, а −(t) является е д и н и ч н о й и м -
п у л ь с н о й ф у н к ц и е й, определяемой следующим образом: −(t) ïðè t 0
è −(t) 0 ïðè t 0 (ò. å. −(t) 0 ïðè t < 0 è ïðè t > 0), причем −(t) dt 1.
t
Из этого определения видно, что можно написать −(t) dt 1(t) и, следова-
тельно, единичную импульсную функцию можно рассматривать как производную единичной скачкообразной функции −(t) 1(tt) . Если единичная им-
пульсная функция имеет значение −(t) в момент t , то ее можно записать в виде −(t – ).
Как видно из определения, площадь единичной импульсной функции равна единице.
При воздействии на электрическую цепь импульсной ЭДС следует различать два этапа возникающего в цепи переходного процесса. На первом этапе за время действия импульсной ЭДС ( t 0) в электрические поля конденсаторов и магнитные поля катушек поступает некоторая конечная энергия, которая затем, на втором этапе, после завершения действия импульсной ЭДС рассеивается в цепи.
Импульсную ЭДС можно представить как сумму двух скачкообразных ЭДС, имеющих бесконечно боль-
шие значения, противоположных по знаку и смещенных во времени на t 0 òàê, ÷òî E t K const (ðèñ. 12.5).
124 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
На первом этапе (от t 0 äî t t 0) ток возникает под действием одной
положительной скачкообразной ЭДС. Получим для него выражение, учитывая, что E t K è lim 1(tt) −(t). Имеем
i(t) E(t)Y(t) lim E 1(t)Y(t) |
t |
E t lim |
1(t) |
Y(t) |
||
t |
|
|||||
t t 0 |
|
|
t t 0 |
t |
||
KY(0) lim |
1(t) |
KY(0)−(t). |
|
|
||
t |
|
|
||||
t t 0 |
|
|
|
|
|
|
Для уяснения смысла полученного выражения применим его к случаю, когда импульсная ЭДС действует в цепи (r, L), — рис. 12.6. Для этой цепи, как только
|
1 |
|
|
|
|
r |
t |
|
|
||
что было сказано, Y(t) |
|
|
1 e |
|
L |
|
и, следовательно, Y(0) |
0. Так как функция |
|||
r |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−(t) ïðè t 0 равна бесконечности, то получаем неопределенность. Записав
выражение E t lim |
1(t) |
Y(t) äëÿ i(t) â âèäå i(t) K |
lim 1(t) |
Y(t) |
K lim 1(t) |
Y(t) |
, |
||||
|
t |
|
|||||||||
t t 0 |
t |
|
|
t t 0 |
t 0 |
t |
|||||
учитывая, что 1(t) 1 ïðè t 0, и раскрывая неопределенность, получим |
|
|
|||||||||
|
|
Y (t) |
|
K |
|
|
|
|
|
||
|
|
i(t) i(0) K ) |
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
||||
|
( 1 |
+ t 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Этот ток под действием импульса ЭДС устанавливается скачком, и, соответственно, устанавливается скачком потокосцепление от < Ι äî <(0) Li(0) K. Такое скачкообразное изменение потока и тока в катушке оказалось возможным в результате действия бесконечно большой ЭДС в бесконечно малый промежуток времени, что полностью соответствует изложенному в § 9.11.
Таким образом, на первом этапе скачкообразно происходит накопление энергии в полях цепи, в данном случае в магнитном поле катушки. Накопленная энергия рассеивается в сопротивлениях цепи в переходном процессе, происходящем на втором этапе. Этот процесс начинается после действия второй, отрицательной, скачкообразной ЭДС (рис. 12.5). Соответственно, реакцию цепи, в дан-
ном случае ток i(t), можно представить как сум- Ðèñ. 12.6 му реакций на обе скачкообразные ЭДС — поло-
жительную (+E) и отрицательную (–E). При этом необходимо учесть, что переходную проводимость следует определять как функцию промежутка времени, отсчитываемого от момента действия скачкообразной ЭДС до рассматриваемого момента времени t. Следовательно,
|
|
Y(t) Y(t t) |
KY (t), |
|||
i(t) lim [EY(t) EY(t t)] lim |
E t ) |
|
, |
|||
t |
||||||
t 0 |
t 0 |
( |
+ |
|
||
где величина K E t const равна площади импульсной функции, аY (t) — производная переходной проводимости цепи.
Глава 12. Расчет электрических цепей при воздействии импульсных ЭДС |
125 |
|||||||||||
|
K |
|
|
r |
t |
|
|
|
r |
t |
|
|
Для рассмотренного выше примера (рис. 12.6) имеем i(t) |
|
e |
|
L |
i(0) e |
|
L |
, |
||||
L |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
что соответствует решению, полученному в § 9.5 для случая замыкания цепи (r, L) накоротко при начальном токе I i(0).
Величину Y (t), в общем случае h (t), обозначают h− t) и называют и м -
п у л ь с н о й х а р а к т е р и с т и к о й ц е п и, определяющей процессы в цепи после завершения действия импульса.
Обратим внимание на интересный факт, что импульсная характеристика Y (t), описывающая процесс после действия импульса, является всегда производной по времени от переходной характеристики Y(t), описывающей процесс после действия скачкообразной ЭДС. Это легко понять, исходя из простых соображений. Ток i(t) после действия импульса представляет собой свободный (преходящий) ток i (t) в цепи, существующий при отсутствии ЭДС и являющийся решением уравнения с нулевой правой частью. Ток i(t) после действия скачкообразной ЭДС является решением того же уравнения с постоянной правой частью. Дифференцируя последнее уравнение, получим уравнение для производной по времени от этого тока с нулевой правой частью, т. е. точно такое же уравнение, как для тока после действия импульсной ЭДС. Таким образом, производная по времени тока после действия скачкообразной ЭДС имеет точно такой же закон изменения во времени, как и ток после действия импульсной ЭДС. Они отлича- ются друг от друга только множителями E èëè K. Процесс после действия скач- кообразной ЭДС определяется величиной скачка E, а процесс после действия импульса — площадью импульса K.
В случае действия импульса ЭДС в цепи с катушкой, как мы видели в рассмотренном примере, величина K E t < определяет поток, образующийся в катушке во время действия импульса. В случае действия импульса источника тока I в цепи с конденсатором будем иметь K I t q, т. е. величина K определяет заряд, образующийся в конденсаторе во время действия импульса. Поэтому величина K и определяет начальные условия для переходного тока после действия импульса.
Найдем операторное изображение единичной скачкообразной функции и единичной импульсной функции. Так как единичная скачкообразная функция во всем интервале 0 t + есть постоянная величина, равная единице, то ее операторное изображение, согласно сказанному в § 10.2, будет
1(t) Λ 1p.
Единичная импульсная функция является производной единичной скачко-
образной функции −(t) d[1(t)]. При определении ее операторного изображения dt
необходимо учесть, что она не равна нулю только в точке t 0, т. е. в интервале от t –0 äî t +0. Соответственно, чтобы учесть толчок на систему со стороны импульсной функции при определении ее изображения, необходимо взять нижний предел интеграла Лапласа t –0, ò. å.
126 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
|
d[1(t)] |
|
|
|
1 |
|
|
−(t) Λ |
e pt dt 1(t) e pt |
p 1(t) e pt dt p |
|
1. |
|||
|
|
p |
|||||
0 |
dt |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, по определению 1(t) 0 ïðè t < 0, т. е. 1(–0) 0, и, следовательно, первое слагаемое равно нулю как при верхнем, так и при нижнем пределах. Интеграл же во втором слагаемом равен 1/p как операторное изображение единичной функции.
Таким образом, имеем операторное изображение единичной импульсной функции
−(t) Λ 1.
Для неединичной импульсной функции, равной A−(t), ее операторное изображение равно A.
12.3. Расчет цепи при воздействии ЭДС произвольной формы — интеграл Дюамеля
Пусть на зажимах цепи, обладающей переходной проводимостью Y(t), действует напряжение u(t) èëè ÝÄÑ e(t) произвольной формы (рис. 12.7). Цепь в общем случае может иметь сколь угодно сложную конфигурацию. Она является пассивным двухполюсником. Ток i(t) на входе цепи, возникающий под действием напряжения u(t), можно определить следующим образом: заменим действительную кривую u(t) приближенно ступенчатой с интервалами по оси t, равными x (рис. 12.7). Ток в момент t можно рассматривать как возникающий под действи-
ем серии скачкообразных напряжении, следующих друг за другом через промежутки x в интервале от 0 до t. Первый скачок равен u(0) в момент
t 0. Последующие скачки равны u ux
ставляющая тока, вызванная отдельным скачком напряжения, действующим в момент x, равнаuY(t – x). Переходную проводимость нужно рассматривать как функцию аргумента t – x, так как от момента x возникновения данного скачка на-
пряжения до момента t отсчета значения тока прошло время t – x. Âåñü òîê i(t) является суммой составляющих тока, вызванных отдельными скачками напряжения, т. е.
x t |
u |
|
i(t) u(0)Y(t) Y(t x) |
x. |
|
x 0 |
x |
|
При уменьшении интервалов до бесконечно малых интервалов dx ступенча- тая кривая напряжения перейдет в заданную кривую u(t), и, соответственно, получим точное выражение для искомого тока i(t):
t |
|
i(t) u(0)Y(t) Y(t x)u' (x) dx, |
(*) |
0
Глава 12. Расчет электрических цепей при воздействии импульсных ЭДС |
127 |
ãäå
|
u |
du |
||
u' (x) lim |
x |
|
|
. |
|
||||
x 0 |
|
dt t x |
||
Полученное выражение для i(t) носит название интеграла Дюамеля, позволяющего решить задачу о включении цепи под действие напряжения u(t) произвольной формы, причем Y(t) определяется в итоге решения более простой задачи — включения той же цепи под действие постоянного напряжения.
В виде примера рассмотрим включение изображенной на рис. 12.8 цепи (r, C) под действие напряжения u(t)U(1 – e–t/T). На рис. 12.9 показана кривая изменения напряжения u на зажимах цепи. Постоянная T определяет скорость нарастания этого напряжения. В частности, при T 0 имеем ранее рассмотренный случай включения этой цепи под постоянное напряжение U const.
Получаем
|
U |
|
|
t |
|
U |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u(0) 0; u (t) |
|
e |
T è u (x) |
|
e |
T . |
|||||
T |
T |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ðèñ. 12.8
Ðèñ. 12.9
Для данной цепи, согласно найденному в § 9.6 решению при рассмотрении включения ее под постоянное напряжение, переходная проводимость имеет выражение
|
1 |
|
t |
|
1 |
|
|
t |
|
x |
|
|||
Y(t) |
|
|
e è Y(t x) |
|
|
e |
|
e , |
||||||
r |
r |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ãäå rC — постоянная времени цепи. Пользуясь интегралом Дюамеля, находим
t |
|
|
|
t x |
|
|
|
|
x |
|
|
t t |
|
1 |
|
1 |
|
U |
|
|
t |
|
|
t |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
i(t) |
|
|
e |
e |
|
|
e |
|
T dx |
|
e |
e |
|
|
T |
dx |
|
|
|
e |
|
T |
e |
|
. |
||||||||
r |
|
T |
|
rT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
r T |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Потери энергии, выделяемой в виде теплоты за время заряда конденсатора, равны
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2t |
|
|
1 |
|
1 |
t |
|
|
2t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
W i |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 r dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2e T |
|
|
|
e |
,dt |
|
|||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
(T ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||
|
U 2 |
|
|
|
|
2 T |
2 |
|
T |
|
|
|
U 2 |
|
|
2 |
|
|
U 2C |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 T |
||||||||||||||||||
|
r |
|
T |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2r |
T |
|
|||||||||||||||||||||||
Отсюда находим отношение этих потерь к энергии, запасаемой в конденсаторе,
a |
W |
|
|
1 |
|
|
|
||
CU 2 |
2 |
1 T |
128 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
и коэффициент полезного действия заряда конденсатора
? |
CU 2 2 |
|
|
1 |
. |
CU 2 2 W |
|
|
|||
|
1 |
a |
|||
В приведенной таблице даны значения величин a è ? в функции T/ . Отсюда видим, что ? при включении конденсатора под постоянное напряжение получа- ется равным только 50% независимо от значения r. ×åì
T/ |
a |
? |
меньше r, тем быстрее совершается заряд, но вместе с тем |
|
|
|
|
возрастает ток заряда, так что энергия, выделяемая в со- |
|
0 |
1 |
0,5 |
||
противлении, оказывается не зависящей от r. Однако, |
||||
1 |
0,5 |
0,67 |
||
снижая скорость повышения приложенного напряжения, |
||||
2 |
0,33 |
0,75 |
||
можно повысить значение ?, и при бесконечно медлен- |
||||
4 |
0,20 |
0,833 |
ном увеличении напряжения коэффициент полезного |
|
|
0 |
1 |
действия получается равным 100 % при любом конечном |
|
|
|
|
значении r. |
|
|
|
|
Если интеграл в выражении (*) взять по частям, то нетрудно получить другое выражение для тока i(t), а именно
x t
i(t) Y(0)u(t) Y' (t x)u(x) dx.
x 0
Подынтегральное выражение в формуле (*) содержит переходную проводимость Y(t – x) цепи, а подынтегральное выражение в последней формуле — импульсную проводимость Y (t – x) òîé æå öåïè.
12.4. Расчет установившихся режимов при помощи интеграла Дюамеля и правого преобразования Лапласа
В предыдущих главах были рассмотрены особенности расчета токов и напряжений электрических цепей при переходе от одного установившегося режима к другому — в переходном процессе. Было показано, что этот процесс обуслов-
лен несоответствием напряжений и токов предкоммутационного uC (–0), iL(–0) |
|||
è u |
( 0), |
i |
( 0) послекоммутационного установившегося режимов, определяю- |
C |
|
L |
|
щих энергию, накопленную в электрических полях конденсаторов и магнитных полях индуктивных катушек. Преходящее значение тока i (или напряжения u ), характеризующее наличие и интенсивность переходного процесса, определяется из условия iL(–0) iL(+0) i'L(+0) + i"L(+0). Åñëè iL(–0) i'L(+0), òî i"L(+0) 0, и новый режим установится в момент коммутации t 0. Такой мгновенный переход от одного состояния к другому имеет важное значение для практики. Избавление от переходного процесса позволяет предотвратить многие нежелательные явления. Например, удается исключить возникающие в переходном процессе нежелательные перенапряжения в высоковольтных линиях электропередач. Такое явление имеет место при подключении линии электропередачи к источнику синусоидального напряжения в режиме холостого хода, т. е. ненагруженной линии. В простейшем случае такой процесс может быть эквивалентирован цепью r, C. В § 9.6 показано, что при подключении к источнику синусоидального напря-
Глава 12. Расчет электрических цепей при воздействии импульсных ЭДС 129
жения r, C цепи (линии передачи) напряжение на зажимах конденсатора (линии передачи) может вдвое превысить таковое на входе цепи в случае неблагоприятного подбора момента коммутации. В других случаях, например в электриче- ских цепях систем управления, можно повысить их быстродействие, исключив временные задержки, связанные с затягиванием процесса достижения тока управ-
ления определенного значения. |
|
|||||
Условия i |
(–0) i |
( 0) |
è u |
C |
(–0) u |
( 0) могут быть реализованы двумя спо- |
L |
L |
|
|
C |
|
|
собами: либо заданием в момент коммутации начальных токов iL(–0) и напря-
жений u (–0) равными i ( 0) è u ( 0), либо выбором для коммутации такого
C L C
момента времени, когда докоммутационные (старые) значения iL(–0) è uC (–0) в момент коммутации t 0 равны послекоммутационным (новым) расчетным
значениям i ( 0) è u ( 0). В сложных электрических цепях со множеством реак-
L C
тивных элементов, т. е. катушек индуктивности и конденсаторов, реализовать эти условия для всех элементов не всегда возможно и приходится удовлетвориться выбором такой комбинации элементов, для которой реализация возможна. Для оптимального решения этой проблемы требуется выбирать такой метод расчета токов и напряжений цепи, который наиболее приспособлен для нахож-
дения именно установившихся значений i ( 0) è u ( 0). Эту задачу проще всего
L C
решить при помощи метода переменных состояний. В этом методе именно токи iL и напряжения uC являются искомыми переменными, что позволяет формировать систему дифференциальных уравнений, изначально разрешенных относительно их первых производных, известных в математической литературе под названием уравнений Коши.
В случае простейшей цепи, соcтоящей из последовательно соединенных резистора r, индуктивной катушки L и источника ЭДС å, дифференциальное уравнение, разрешенное относительно единственной переменной состояния i, имеет вид
di/dt – ir/L + e/L – i/ + e/L.
При произвольной по форме кривой ЭДС ток в цепи может быть рассчитан при помощи интеграла Дюамеля (см. § 12.3). Для заданной функции напряжения на зажимах цепи u(t) e(t) искомый ток переходного процесса будет равен
t |
t |
|
i u(0)Y(t) + Y(x)u (t x)dx u(t)Y(0) + Y (x)u(t x)dx, |
(*) |
|
0 |
0 |
|
èëè |
|
|
t |
t |
|
i u(0)Y(t) + Y(t x)u (x)dx u(t)Y(0) + Y (t x)u(x)dx. |
|
|
0 |
0 |
|
Поскольку интеграл Дюамеля позволяет рассчитать значение искомой функции, в данном случае тока, на всем интервале времен от 0 до , то и установившееся значение тока i можно определить при помощи этих выражений. Теоретически ток достигает своего установившегося значения при t , однако практически переходный процесс можно считать завершенным по истечении конечного промежутка времени, определяемого уровнем точности расчета или
130 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
измерения искомой величины. Если исходные данные для расчета задаются с точностью, скажем, до четырех значащих чисел, то процесс можно считать завершенным при условии e–t/ < 0,00001. При такой степени точности расчета можно полагать, что переходный процесс практически завершается по истече- нии времени около t Β (10–12) max , ãäå max — постоянная времени сложной цепи, определяющая наиболее медленно затухающую по экспоненциальному закону e–t/ составляющую преходящего тока i".
В качестве примера расчета установившегося режима при помощи интеграла Дюамеля рассмотрим случай r, L-цепи, когда u(t) Ueat. Для этой цепи переходная проводимость равна (см. § 12.3) Y(t) (1 – e–t/ )/r. Соответственно, импульсная переходная проводимость Y'(t) dY(t)/dt L–1e–t/ L–1e–pt. Если воспользоваться вторым уравнением (*) и учесть, что Y(t) (1– e–t/ )/r 0 ïðè t 0, и так же обозначить p 1/ r/L, òî
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
U |
t |
|
|
|
i u(t)Y(0) Y (x)u(t x)dx |
e pxu(t x)dx |
e px ea(t x) dx. |
|||||||||||||||||
L |
L |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Äëÿ i имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
Ueat |
|
|
|
|
Ueat |
|
|
|
Ueat |
|
||
i |
e pxu(t x)dx |
|
e (a p)x dx |
|
e (a p)x | |
. |
|||||||||||||
|
|
L(a p) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
L |
0 |
|
|
L |
0 |
|
|
|
|
0 |
r aL |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если обозначить f(t – x) u(t – x), òî äëÿ i можно записать |
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
e pxu(t x)dx |
e px f (t x)dx |
|
F(p, t) èëè i F(p, t) L , |
||||||||||||||
L |
|
L |
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p, t) e px f (t x)dx |
èëè U(p, t) e pxu(t x)dx. |
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
Мы приходим к интересному выводу о том, что установившееся значение тока
âцепи с дифференциальным уравнением первого порядка может быть определено при помощи интегрального преобразования f(t) Λ F(ð,t), известного в математике под названием правого преобразования Лапласа (ППЛ).
Для вычисления тока установившегося режима достаточно в изображении F(ð, t) заменить оператор ð на коэффициент с обратным знаком, на который
âуравнении Коши умножается переменная состояния i, в данном случае на
r/L –(–r/L), и умножить F(p, t) на коэффициент при u(t) — в данном случае на 1/L. Разумеется, для этой простой цепи решение для установившегося тока проще найти непосредственно через интеграл Дюамеля. Однако даже в этом слу- чае расчеты упрощаются при наличии таблиц множества предварительно найденных изображений правых преобразований Лапласа, наподобие приведенной в § 10.2 таблицы, составленной при помощи обыкновенного преобразования Лапласа. Еще более существенны преимущества такого метода расчета установившихся токов и напряжений в сложных электрических цепях.
Глава 12. Расчет электрических цепей при воздействии импульсных ЭДС |
131 |
Таблица некоторых оригиналов и их ППЛ-изображений
Оригинал |
|
Изображение |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
A/p |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eat |
|
|
|
|
|
eat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p a |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos ( t + |
) |
|
sin (t |
|
) p cos (t |
) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
p2 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin ( t + |
|
) |
|
p sin( t |
|
) cos( t |
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
p2 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t |
|
|
|
|
t/p + 1/p2 |
|
|
|||
−(t – t |
), t |
0 |
; 0 |
|
e p(t t0 )1(t t ) |
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
df (t)/dt |
|
f (t) – ðF(p,t) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае сложной цепи, содержащей множество конденсаторов и катушек индуктивности, при условии отнесения ветвей с конденсаторами к дереву графа и ветвей с катушками индуктивности к кографу цепи, т. е. к звеньям графа, удается сформировать систему уравнений состояний (систему уравнений Коши) относительно множества uC è iL (см. § 5.14, § 9.2 и 9.13) в матричном виде
dx/dt Ax + Âv,
ãäå õ (uC1, uC2, …, uCq–1, iL1, iL2, …, iLn )t — вектор-столбец, в предельном случае состоящий из q – 1 напряжений uC дерева графа и n токов iL звеньев графа цепи,
V (e1, e2, …, eq–1, 1, 2, …, n)t — вектор-столбец источников ЭДС и токов в q – 1 деревьях графа и n звеньях графа цепи. Квадратная матрица À, называемая мат-
рицей параметров уравнений состояния цепи (матрица параметров), содержит всю совокупность данных, отражающих структуру соединений и ветвей цепи, и их параметров. Матрица Â определяет наличие преобразованных источников ЭДС и токов в разрезах и контурах.
Поскольку в случае линейных цепей применим' принцип наложения, воздействие множества источников может быть сведено к суммированию воздействий отдельных источников. Исходя из этой возможности, рассмотрим частный слу- чай, когда только в некоторой k-й ветви цепи имеется источник ЭДС или тока fk(t). Для этого случая уравнения состояния могут быть записаны относительно k-й совокупности переменных состояний õk:
dxk/dt Axk + Âk fk (t).
Пусть для fk (t) найдено, или из таблиц известно, его изображение Fk(p, t). Пусть неизвестное изображение переменных состояний установившегося режима x k (t) ñóòü X (p, t). Учитывая, что правостороннее преобразование производ-
132 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
ной функции fk (t) имеет вид fk(t) – ðFk (p, t), уравнение состояния для x (t) можно записать в виде
x k (t) pXk (p, t) AXk (p, t) B k Fk (p, t) èëè x k (t) (A p)Xk (p, t) B k Fk (p, t). Если диагональная матрица ð состоит из некратных собственных значений
матрицы À, то можно принять (À + ð) 0, и тогда
x k (t) B k Fk ( A, t).
Это означает, что искомые установившиеся значения переменных состояний сложной цепи можно записать непосредственно по изображению Fk(p, t), подставив в него вместо оператора ð матрицу –À и умножив Fk(–À, t) íà Âk справа. Окончательное решение задачи при наличии множества источников можно записать в виде
k |
k |
Привлекательность такого метода определения переменных состояний установившегося режима заключается в том, что при наличии оформленных в виде таблиц изображений Fk(p, t) решение системы уравнений записывается автоматически в универсальной матричной форме путем простой замены в Fk(p, t) оператора ð на матрицу параметров –À, но уже конкретной цепи. Однако реальная сложность полученного решения заключается в том, что даже при наличии изображений источников ЭДС и токов невозможно произвести качественный анализ особенностей процессов в системе, характеризуемой даже двумя переменными состояния, а при использовании численных методов расчета приходится оперировать функциями от матриц Âk Fk(–À, t). В оценке баланса преимуществ и недостатков метода следует учесть и то обстоятельство, что в настоящее время при анализе сложных электрических цепей не избежать использования ЭВМ с обширным программным обеспечением, среди которых имеется достаточное количество стандартных программ, позволяющих оперировать широким набором матричных функций. Это дает возможность существенно упростить вычисление установившихся режимов при помощи изложенного выше метода.
12.5. Расчет переходных процессов в сложных цепях при помощи правого преобразования Лапласа
Интенсивность переходного процесса определяется энергией электрических и магнитных полей, накопленных в конденсаторах и индуктивных катушках до коммутации. При наличии резисторов в цепи, т. е. превращении в них энергии электромагнитного поля в иные виды, накопленная в этих полях энергия уменьшается, вследствие чего в линейных системах свободные токи и напряжения затухают по экспоненциальному закону. В § 9.2 приведено формальное решение матричного дифференциального уравнения dx/dt Ax + Âv, записанное в виде
t |
|
x(t) [exp(At)]x(0) [exp(A(t )]Bv( ) d . |
(*) |
0 |
|
В этом решении первое слагаемое представляет собой так называемое свободное решение, т. е. ту составляющую переменных состояния, которая порождается