книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Глава 15. Синтез электрических цепей

243

ñòè èëè íà îñè j . Если полином является полиномом Гурвица, то отношение четной его части к нечетной (или наоборот) является вещественной положительной функцией, т. е. входной функцией некоторой чисто реактивной цепи.

Четную часть числителя Z(p), т. е. часть полинома с четными показателями, обозначим N1(p), нечетную часть числителя Z(p), т. е. часть полинома с нечетными показателями, обозначим M1(p). Соответственно, для знаменателя обозна- чим через N2(p) четную и через M2(p) нечетную части. Тогда имеем

N		1		(p) 10p6 20p4 12p2 2;		M		1	(p) 8p5	11p3 3p;
N	2		(p) 8p6		22p4 10p2 1;	M	2	(p) 12p5 13p3 3p.

Проверим, являются ли числитель и знаменатель Z(p) полиномами Гурвица:

N 1(p)				10p6 20p4 12p2 2			S1(p);
M1(p)					8p5 11p3 3p
	N 2 (p)				8p6 22p4 10p2 1		S		(p).
	M 2 (p)				12p5 13p3 3p			2

Знаменатели обеих функций легко разделить на множители:

				4			2		2						2			3
	M	1(p) p(8p			11p			3) 8p(p		1) p										;
																		8
			4			2				2		1					2			3
M	2 (p) p(12p				13p			3) 12p p						p								.
												3								4

Обе функции, S1(p) è S2(p), разлагаются на простые дроби:

S (p) A p									A0								A1p								A2 p		;
1									p							p2					1			p2		3
																										8
A				S1(p)								10					;
				p										8
							p									2
A		S (p) p																;
0			1						p 0					3
A				S (p)		p2				1										0;
1			1					p
														p2 1
						p2				3
A2			S1(p)							8													11		.
								p															96
														p2					3
																			8

Равенство A1 = 0 означает, что корень p2 + 1 является общим для числителя и знаменателя. Таким образом, S1(p) реализуема

S (p) A p												A0										A1p								A2p		;
2												p								p2						1				p2	3
																										3					4
A					S2(p)												8							2		;
					p												12								3
									p												1
A					S (p) p																		;
0				2								p		0			3
								p2					1
A1					S2(p)					3																	1		;
										p																	9
																			p2					1
																								3
								p2						3
														4													2
A2					S2(p)																								.
										p
																											3
																			p2					3
																								4

Таким образом, S2 (p) реализуема

Òàê êàê S1(p) è S2(p) реализуемы, то, следовательно, числитель и знаменатель F(p) являются полиномами Гурвица, т. е. не имеют нулей в правой полуплоско-

244 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

сти. Таким образом, выполненная в настоящем параграфе проверка показывает, что рассматриваемая функция F(p) не имеет нулей и полюсов в правой полуплоскости.

15.7. Синтез входной функции двухполюсника в общем случае. Проверка условия положительности функции Re [F(p)] 0 ïðè Re (p) 0

Проверим другое условие положительности функции Z(p) а именно Re [F(p)] ; 0 ïðè Κ ; 0. Пусть Κ 0, ò. å. p j . Эта проверка сводится к применению следующей процедуры. Выделим вещественную часть рациональной дроби F(p) ïðè p j , ò. å. Re [F(j )]. Нетрудно заметить, что эта часть, как рациональная дробь, должна иметь члены с четными показателями относительно jϑ так как только в этом случае при p j функция будет вещественной. Поэтому представим F(p) в виде суммы рациональных дробей, состоящих из членов с четными и нечетными показателями:

F(p) N (p) M(p).

Òàê êàê

F(p) N 1(p) M1(p) ,

N 2 (p) M 2 (p)

то, перемножив знаменатель и числитель на N2(p) – M2(p), получим

F(p)

N

1(p)N

2 (p) M1(p)M 2 (p)

N

2 (p)M1(p) N

1(p)M 2

(p)

.

(*)

N

2

(p) M 2

(p)

N 2

(p) M 2

(p)

2

2

2

2

Ïðè p j первый член и окажется вещественной частью N(p) N(j ) функции F(p) F(j ), т. е. он равен величине Re [F(j )], которая должна быть положительной. Знаменатель ее всегда положителен. Поэтому проверка положительности функции N(j ) Re [F(j )] сведется к проверке положительности ее числителя.

Если выполнить операцию N1(j ) N2(j ) – M1(j ) M2(j ), то получим полином от 2. При изменении 2 от нуля до бесконечности значение этого полинома также будет меняться.

Возможны случаи, когда полином при некоторых частотах 2 2k примет

значение, равное нулю. В окрестностях этих точек полином можно представить в виде

P0 ( 2 ) N 1( j )N 2 ( j ) M1( j )M 2 ( j ) ( 2 2k )m f ( 2 ),

ãäå f( 2) — некоторый полином, не равный нулю при 2 2k . Нетрудно заметить, что при 2 2k происходит изменение знака P0 ( 2), åñëè т — нечетное. Таким образом, если имеется нуль полинома нечетной кратности, в том числе простой (m 1), то в этой точке полином P0 ( 2) меняет знак. Если полином P0 ( 2) меняет знак, то это означает, что либо при 2 < 2k , ëèáî ïðè 2 > 2k величина

P0 ( 2) имеет отрицательное значение и, следовательно, функция F(p) не является положительной.

Глава 15. Синтез электрических цепей

245

Таким образом, проверка условия Re [F(j )] > 0 сводится к определению нулей функции P0( 2). Если эта функция имеет нули четной кратности или вообще не имеет нулей для всех значений 2 от нуля до бесконечности, то такая функция является положительной. В курсе высшей алгебры имеются различные способы отыскания вещественных корней (нулей) полиномов. Приведем без доказательства один из них. Для проверки наличия вещественных нулей в определенном диапазоне значений P0( 2) P0(x) (обозначим для краткости записи2 x) используется теория Штурма. Прежде всего введем в употребление некоторые вспомогательные функции, носящие название ф у н к ц и й Ш т у р м а.

Первой функцией Штурма является сама исследуемая функция P0(x). Второй функцией Штурма P1(x) является производная исследуемой функции P1(x) P0 (x). Третью функцию Штурма P2(x) определяют в виде остатка с обратным знаком от деления первой функции Штурма на вторую, причем процесс деления останавливается, когда наивысшая степень остатка будет на единицу меньше наивысшей степени второй функции. Четвертую функцию Штурма P3(x) можно найти в виде остатка (с обратным знаком) от деления второй функции Штурма на третью, когда наивысшая степень остатка на единицу меньше наивысшей степени третьей функции, и т. д. Эта процедура должна производиться до получения постоянной величины. Если это удается, то все корни P0(x) — простые. Итак, процесс отыскания функций Штурма имеет вид

P0	(x)	f1(x)			îñò.(1)		;
P1	(x)					P1(x)
P1	(x)	f		(x)	îñò.(2)				;
P2	(x)		2			P2 (x)

P2 (x) îñò.(1);

P3 (x) îñò.(2);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Pn 1(x)	fn (x)	îñò.(n)	;	Pn 1(x) îñò.(n) const.
	Pn (x)		Pn (x)
При произвольном задании 2 2					è 2 2 ; èëè x x	1	è x x	2	функции
				1	2

Штурма могут принять различные значения — положительные (обозначаемые знаком +) и отрицательные (обозначаемые знаком –), например, как это показано в таблице, составленной для шести функций Штурма.

				P(x)
x	P0	P1	P2	P3	P4	P5	W
x x1	+	–	+	–	+	–	5
x x2	+	+	–	0	+	–	3

Определим число W изменений знаков функций Штурма при x x1 è x x2. Если соседние по номерам функции Штурма имеют одинаковый знак, то будем считать число изменений знака равным нулю. Если функции Штурма равны

246 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

нулю, то они отбрасываются из рассмотрении. В примере, приведенном в таблице, изменение знаков при x x1 происходит пять раз, т. е. число изменений знаков W(x1) 5. Изменение знаков при x x2 происходит три раза, т. е. W(x2) 3.

Теорема Штурма гласит: если действительные числа x1 è x2 (x1 < x2) не являются корнями полинома P0(x), не имеющего кратных корней, òî W(x1) W(x2) и разность W(x1) – W(x2) равна числу вещественных корней (нулей) P0(x), заклю- ченных между x1 è x2.

Полином P0(x), функции Штурма которого принимают знаки, приведенные в таблице, имеет два нуля в интервале x1 < x < x2, и поэтому такой полином не может быть положительным при всех значениях x в этом интервале, т. е. он нереализуем. Полином реализуем только при W(x1) – W(x2) 0.

Подвергнем проверке по этому методу положительность конкретной функции F(p), приведенной в начале предыдущего параграфа.

Числитель вещественной части N(x) этой функции равен

N 1(p)N 2 (p) M1(p)M 2 (p) 80p12 284p10 400p8 287p6 112p4 23p2 2. Ïðè p j имеем p2 – 2, p4 4, p6 – 6, p8 8, p10 – 10, p12 12. Обозначив 2 x, получим

P0 (x) 80x 6 284x 5 400x 4 287x 3 112x 2 23x 2.

Это выражение и будет первой функцией Штурма. Вторая функция Штурма

P1(x) P0 (x) равна P1(x) 480x5 – 1420x4 + 1600x3 – 861x2 + 224x – 23. Разделим P0(x) íà P1(x), заканчивая процесс деления, как было сказано выше.

Получим

P (x)	0,1667x 0,09861	6,694x 4 14,28x 3 10,24x 2 2,922x 0,2681
0			.
P (x)		480x 5 1420x 4 1600x 3 861x 2 224x 23
1

Здесь и далее все результаты деления округлены до четвертой значащей цифры.

Третья функция Штурма равна остатку с обратным знаком: P2 (x) 6,694x 4 14,28x 3 10,24x 2 2,922x 0,2681.

Четвертую функцию Штурма находим как остаток с обратным знаком при делении P1(x) íà P2(x):

P (x)		7170,x 59,19	20,81x 3 45,48x 2 3180,x 7,133
1				;
P2	(x)		P2 (x)

P3 (x) 20,81x 3 45,48x 2 3180,x 7,133. Пятую и шестую функции Штурма определим аналогично:

P (x)		0,3217x 0,01696					0,7780x 2 1167,x 0,3890
2										;
P3	(x)							P3 (x)
		P (x) 0,7780x 2				1167,x 0,3890;
		4
			P3	(x)		0
					26,75x 18,34				,
			P4	(x)				P4 (x)

Глава 15. Синтез электрических цепей

247

т. е. шестая функция Штурма тождественно равна нулю и может быть исключе- на из рассмотрения.

Нас интересует положительность функции во всем диапазоне частот, т. е. для 0 2 . Поэтому возьмем x1 0 è x2 . Тогда знаки функций Штурма будут:

				P(x)
õ	P0	P1	P2		P3	P4	W
x2	+	+	+		–	–	1
x1 0	+	–	+		+	–	3

Как видно из таблицы, W(x1) 3, à W(x2) 1, ò. å. W(x1) – W(x2) 2. Поэтому P0(x) имеет на оси x пару корней. Однако это еще не означает, что P0(x) меняет знак. Воспользовавшись известными из алгебры приемами, можно получить

P	(x) 80x 6 284x 5 400x 4 287x 3 112x 2	23x 2
0
	(x 1)2 (2x 1)2 (20x 2 11x 2),

откуда видно, что вещественные корни (нули) этого выражения имеют четную кратность и, следовательно, сама функция P0(x) является положительной, так как при x 0 она положительна. Таким образом, Re [Z(p)]p j ; 0 для всех значе- ний .

Заметим, что в случае, когда существует равенство W(x1) W(x2), получается W(x1) – W(x2) 0. Это указывает на то, что в интервале x1 x x2 рассматриваемая функция не имеет нулей и, следовательно, не меняет знака. В этом случае достаточно установить, что функция положительна в какой-либо одной точке рассматриваемого интервала, чтобы считать ее положительной во всем интервале.

Проверки, приведенные в этом и предыдущем параграфах, показывают, что данная функция F(p) является вещественной и положительной и поэтому реализуема в виде электрической схемы, т. е. можно принять F(p) Z(p) èëè F(p) Y(p).

15.8. Синтез входной функции двухполюсника в общем случае. Реализация заданных функций, имеющих вещественные, мнимые и комплексные корни

В предыдущих параграфах мы убедились, что конкретная функция F(p), приведенная в начале § 15.6, является вещественной и положительной и, следовательно, может быть реализована. Осуществим эту реализацию.

Прежде всего выделим ее части, соответствующие мнимым и вещественным корням числителя и знаменателя, если таковые имеются. Эти выделенные части функции реализуем методами, изложенными в § 15.4 и 15.5. Операцию такого выделения будем производить до тех пор, пока не встретим комплексные корни. При этом придется воспользоваться другим методом реализации, который будет изложен ниже.

248 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Приступая к реализации, прежде всего выделим нули и полюсы функции на оси j . При проверке отсутствия нулей и полюсов функции F(p) в правой полуплоскости мы заметили, что функция F(p) имеет нули в точках j. Пусть F(p) Z(p), следовательно, обратная ей функция Y(p) 1/Z(p) 1/F(p) имеет полюсы в этих точках. Выделим часть от Y(p), соответствующую полюсу:

Y(p)

1

8p6 12p5 22p4 13p3 10p2

3p 1

Z(p)

(p2 1)(10p4

8p3 10p2 3p 2)

A p

a p4

a p3

a p2

a p a

0

1

4

3

2

1

.

p2

1 10p4 8p3 10p2 3p 2

Определим коэффициенты A

, a

, a

, ..., a

. Имеем

Y(p)

p2 1

A

, îòêó-

1

4

3

0

p

1

p2 1

äà A1 1. Çíàÿ A1 1, можно найти остальные коэффициенты хотя бы методом неопределенных коэффициентов, приравнивая справа и слева в числителях ко-

эффициенты при одинаковых степенях p. Получаем a4 8, a3 2, a2 6, a1 1,

a0 1. Таким образом,

8p4

2p3 6p2 p 1

Y(p)

p

Y (p) Y

(p).

2

p2 1 10p4 8p3 10p2 3p

2

1

Реализация функцииY1(p)

p

электрической цепью имеет вид, показан-

p2

1

íûé íà ðèñ. 15.16, à, òàê êàê

1

p

Y1

(p)

p

1

L1

,

p2

1

pL

1

p2

1

C p

L C

1

1

1

1

причем L1 1; C1 1.

Ðèñ. 15.16

Глава 15. Синтез электрических цепей

249

Исследуем числитель функции Y2(p) в отношении определения нулей на оси j . Легко заметить, что при наличии нуля на оси j ( p j ) должны быть равны нулю и вещественная, и мнимая части этого числителя, т. е.

8p4 6p2 1 0 è 2p3 p p(2p2 1) 0.
Оба уравнения удовлетворяются только при p2	1	. Òàê êàê Y (p) имеет нуль
	2		2

	p2	1		, òî Z2( p) 1/Y2( p) имеет полюс в этой точке. Выделим часть от Z2( p),
		2
	соответствующую этому полюсу:
					(p)	1		10p4 8p3 10p2							3p 2					A		p			a p2	a p a	0
	Z																				2				2	1		,
			2			Y2 (p)		(2p2		1)(4p2 p					1)					2p2		1			4p2 p 1
	ãäå
								A			Z		(p)	2p2	1					1.
									2			2		p				1
																p2
																	2

Определяя коэффициенты a2, a1, a0, как и в первом случае, получаем в числи-

òåëå a2 5, a1 2, a0 2. Таким образом,

Z

(p)

p

5p2 2p

2

Z

(p)

Z

(p).

2

3

4

2p2

1 4p2 p

1

Функцию Z

(p)

p

p 2

можно реализовать в виде цепи, показан-

3

2p2 1

p2

1

2

íîé íà ðèñ. 15.16, à, òàê êàê

p C3

L

C3

Z 3 (p)

p 2

3

,

p2

1

p2

1

pL

1

2

L3C3

3

pC3

причем C3 2, L3 1.

Числитель и знаменатель функции Z4( p) имеют комплексные корни, и поэтому реализация Z4( p) изложенными ранее методами, применимыми, если корни вещественные или мнимые, неосуществима.

Для реализации функции Z4( p) воспользуемся методикой, предложенной Бруне. Прежде всего приведем эту функцию к виду минимального активного сопротивления, т. е. к функции, которая имеет Re [Z( j )] 0 при некоторой часто-

òå 0. Для этого определим минимальное значение Rmin Re [Z4( j 0)], вы- читая которое из Z4( p), получим искомую функцию минимального активного

сопротивления, где Re [Z4( j 0)] – Rmin 0. Ясно, что нельзя вычесть произвольное активное сопротивление, так как при этом можем нарушить условие положительности вещественной части Z4( j ), т. е. получить Re [Z4( j 0)] – R < 0 (если вычесть R > Rmin) или не получить минимальное активное сопротивление (если

R < Rmin), так как при этом ни в одной точке оси j величина Re [Z4( j 0)] – R не примет нулевого значения.

250 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Для определения частоты 0, при которой Re [Z4( j )] min, найдем вещественную часть Z4(j ), используя первый член в правой части формулы (*) в § 15.7:

			Re[Z			( j )]		(5p2	2)(4p2	1) 2p				p
					4				(4p2 1)	2	p2
															p j
									11p2 2
								20p4					20 4 11 2 2				.
								16p4 7p2		1				16 4 7 2 1
												p j
	Определим минимумы этой величины:
d	{Re[Z		( j )]}	(80 3 22 )(16 4 7 2						1) (64 3 14 )(20 4 11 2 2)								0.
d		4							(16 4 7 2					1)2

Решение этого уравнения с целью отыскания его действительных корней можно пðîизвести многими методами. Для данного уравнения имеем решение0 12, при котором Re [Z4( j 0)] 1 (ðèñ. 5.16, á). Вычитая Rmin 1 èç Z4( p), не нарушим условие положительности. Находим

Z

(p) R

5p2

2p 2

1

p2

p 1

Z

(p).

4

min

4p2

p

1

4p2 p 1

5

Ïðè p j

j

1

сопротивление Z

( j

) j

1

j

L

, ãäå L

–1 (ñì.

0

5

0

0

0

0

2

2

ðèñ. 15.16, â). Тогда Z5(p) можно представить в виде Z5(p) pL0 + Z6(p), ãäå

Z

(p) Z

(p) pL

p2

p 1

p

4p3

2p2

2p 1

.

6

5

0

4p2

p 1

4p2 p 1

Особенность Z6(p) заключается в том, что эта функция равна нулю при
p j 0, т. е. имеется возможность для обратной функции выделить часть, соот-
ветствующую полюсу j 0:
		(p)						1							4p2 p 1													A	6	p			a
Y																																	0	.
	6
					Z 6 (p) (p2 02 )(4p 2) p2 1 2 4p 2
Учитывая, что A							Y		(p)			p2		1 2							1			è a				2, имеем
			6					6																		0
															p				1	2
																	p2
																		2
														1	p
				Y6		(p)					2							2				Y7 (p) Y8 (p).
												p2		1 2				4p 2

Реализация Y7(p) производится ранее изложенным методом аналогично Y1(p) в виде последовательной цепочки из L7 2 è C7 1 (ðèñ. 15.16, ã), а реализацию

Y8(p) можно осуществить в виде цепочки из последовательно соединенных L8 è R8, ãäå L8 2, R8 1, òàê êàê Y8(p) 2p1 1.

Итак, реализующая всю функцию F( p) цепь имеет вид, представленный на рис. 15.16, ä.

Ðèñ. 15.17

Глава 15. Синтез электрических цепей

251

При данном способе реализации функции вида Z5( p), которая не имеет ни нулей, ни полюсов на оси j и имеет равную нулю вещественную часть Re [Z5( j 0)] при частоте 0, мы получили на одном этапе реализации отрицательное значение индуктивности L0 –1. Это обстоятельство не должно нас смущать, так как в конечном счете эту отрицательную индуктивность можно реализовать введением в реальную цепь трансформатора, приближающегося по своим свойствам к совершенному трансформатору, т. е. с коэффициентом связи, рав-

ным единице (k 1). Параметры трансформатора в соответствии со значениями
величин L0, L7 è L8 (ðèñ. 15.16, ä) будут равны L L0 + L7 – 1 + 2 1;
L L8 + L7 2 + 2 4; M L7 2 и, следовательно, k		M	1. Это обстоятель-
		L L

ство несколько снижает практическую ценность метода, так как условие k 1 можно осуществить только приближенно, хотя и с большой точностью.

Окончательная цепь, реализующая заданную конкретную функцию F( p), изображена на рис. 15.16, å.

15.9. О синтезе передаточных функций четырехполюсника

Проблема синтеза передаточной функции произвольного вида весьма сложна. Поэтому пример синтеза четырехполюсника с заданной передаточной функцией приведем для случая, когда эта функция задана для четырехполюсника, представленного на рис. 15.17. Этот че- тырехполюсник питается от источника тока , и на его выходе включен приемник с весьма большим сопротивлением (например, цепь затвора полевого транзистора).

При этом в уравнениях четырехполюсника, записанных в системе Z-параметров:

U1(p) Z11(p)I1(p) Z12 (p)I 2 (p); U 2 (p) Z 21(p)I1(p) Z 22 (p)I 2 (p),

можно принять I2(p) 0, т. е. положить U1(p) Z11(p)I1(p) è U2(p) Z21(p)I1(p). В таком случае передаточная функция оказывается равной параметру Z21(p) ÷å-

тырехполюсника, так как

K(p) U 2 (p) Z 21(p).

I1(p)

Рассмотрим свойства такой передаточной функции, причем ограничимся случаем, когда четырехполюсник, реализующий эту функцию, состоит только из реактивных элементов. В этом случае величины Z11(p) è Z22(p) как входные сопротивления со сторон зажимов 1–1 è 2–2 холостого хода четырехполюсника, состоящего из реактивных элементов, имеют простые чередующиеся нули и полюсы, расположенные на оси j . Коэффициенты в разложении этих функций на простые дроби вещественны и положительны (см. § 15.5). Величина Z21(p) не является входным сопротивлением, и поэтому ее нули могут быть расположены в любой части комплексной плоскости, однако симметрично относительно оси

Ðèñ. 15.18

252 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

вещественных (см. § 13.5). Полюсы функции Z21(p), как и полюсы функций Z11(p) è Z22(p), должны лежать на оси j . Функция Z21(j ) должна быть мнимой величиной, так как четырехполюсник состоит из реактивных элементов. Поэтому она должна быть нечетной рациональной функцией p.

При синтезе цепи, в которой необходимо обеспечивать только заданное зна- чение передаточной функции K(p) Z21(p), не ставится никаких ограничений для величин Z11(p) è Z22(p). Поэтому проще всего брать их равными друг другу. В этом случае полюсы Z11(p) Z22(p)

одновременно будут также и полюсами Z21(p) (см. § 13.5). Простые соотношения, связывающие параметры эквивалентной схемы четырехполюсника с параметрами Z11(p) è Z21(p), имеют место для мостовой эквивалентной схемы (рис. 15.18), для которой

Z11(p) Z 22 (p) 21[Z1(p) Z 2 (p)]

è

Z12 (p) Z 21(p) 21[Z 2 (p) Z1(p)],

откуда

Z1(p) Z11(p) Z12 (p) è Z 2 (p) Z11(p) Z 21(p).

В связи с этим будем осуществлять реализацию при помощи мостовой схемы. Если Z21(p) задано в виде рациональной дроби, то, разлагая последнюю на

простые дроби, в общем случае будем иметь некоторые простые дроби с положительными коэффициентами и некоторые — с отрицательными. Обозначим сумму дробей с положительными коэффициентами через Z21(+)(p), а взятую со знаком «минус» сумму дробей с отрицательными коэффициентами — через Z21(–)(p). Будем иметь

Z 21(p) Z 21( ) (p) Z 21( ) (p).

В выражениях Z21(+)(p) è Z21(–)(p) коэффициенты положительны. Наиболее простые выражения для Z1(p) è Z2(p) получим, если положим Z11(p) Z22(p)Z21(+)(p) + Z21(–)(p). Тогда

Z1(p) 2Z 21( ) (p) è Z 2 (p) 2Z 21( ) (p).

В качестве примера рассмотрим реализацию передаточной функции

Z 21

(p)

p5 5p3 4,5p

3p

p

p

(p2

0,5)(p2 1)(p2

2)

p2

0,5

p2

2

1 p2

Z 21( ) (p) Z 21( ) (p);

Z

(p)

3p

;

Z

(p)

p

p

.

21( )

21( )

p2 0,5

p2 1 p2 2

Нетрудно убедиться, что числитель (p5 + 5p3 + 4,5p) имеет нули, расположенные на оси j плоскости p симметрично относительно оси Κ и в начале координат.