книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Глава десятая

Расчет переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами операторным методом

10.1. Операторное изображение функций, их производных и интегралов

В предыдущей главе был изложен классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях с постоянными параметрами. Такие процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Эти уравнения могут быть проинтегрированы также о п е р а т о р н ы м м е т о д о м.

Хевисайд применил этот метод в конце 19-го столетия к расчету переходных процессов в электрических цепях. При этом Хевисайд, не ссылаясь на предыдущие математические работы в этой области, не приводит и математического обоснования метода.

При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые о р и г и н а л а м и, заменяют их о п е р а т о р н ы м и и з о б р а ж е - н и я м и. Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается с помощью некоторого функционального преобразования. Это преобразование выбирается так, чтобы операции дифференцирования и интегрирования оригиналов заменялись алгебраическими операциями над их изображениями. В таком случае дифференциальные уравнения для оригиналов переходят в алгебраиче- ские уравнения для их изображений.

Связь между оригиналом f(t) и его изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа:

F(p) f (t) e pt dt,

0

ãäå ð Κ + j? — комплексное число. Таким образом, операторное изображение действительной функции времени является функцией комплексного числа ð.

Для того чтобы интеграл Лапласа имел конечное значение, функция f(t) должна удовлетворять определенным условиям. Она должна удовлетворять условиям Дирихле, т. е. за любой конечный промежуток времени иметь конеч- ное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов. Кроме того, будем считать, что при t > 0 удовлетворяется условие f(t) < Ae t, ãäå A и — некоторые положительные числа. Иными словами, можно выбрать A и так, чтобы модуль функции f(t) возрастал медленнее, чем Ae t. Все реальные токи и напряжения удовлетворяют этим условиям. Для того чтобы интеграл Лапласа имел конечное значение, необходимо полагать Κ 8 .

Комплексное число ð называют о п е р а т о р о м.

Условимся записывать преобразование Лапласа также в виде

94 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

F(p) [f (t)].

Соответствие между оригиналом и изображением записывается условно в виде F(p) Λ f (t).

Заметим, что по определению преобразование Лапласа применимо начиная

с момента t +0. Далее, обозначая начальное значение функции и ее производных через f(0), f (0), f Ι ϑ ϑ f (n)(0), будем понимать под ними их значения при

t +0.

Существует обратное функциональное преобразование, дающее возможность определить оригинал по его изображению. Такое преобразование, носящее название обратного преобразования Лапласа, имеет вид

	1	Κ0 j
			F(p) ept dp f (t), ãäå p Κ		j?.
	2#j			0
		Κ0 j

Обратное преобразование Лапласа кратко записывается в виде

1[F(p)] f (t).

Âэлектротехнической практике распространено также функциональное преобразование, называемое преобразованием по Карсону, имеющее вид

p f (t) e pt dt pF(p) Μ(p).

0

Достоинством преобразования по Карсону является одинаковость размерностей оригинала и изображения. Это видно из того, что произведение pt должно быть безразмерным. В случае же преобразования по Лапласу размерность изображения равна размерности оригинала, умноженной на размерность времени.

Достоинством преобразования по Лапласу является его соответствие преобразованию Фурье, на котором основывается широко используемый в настоящее время частотный метод анализа цепей и который будет изложен в гл. 11. Исходя из последнего соображения, а также из того, что в значительной части современной литературы применяется преобразование по Лапласу, в дальнейшем будем также пользоваться этим преобразованием.

Получим изображение производной dtd [f(t)] f (t). Имеем

f' (t) Λ f' (t) e pt dt.

0

Интегрируя по частям и учитывая, что, согласно наложенным на f(t) условиям, [e–ptf(t)]t 0, получаем

	f' (t) Λ	e pt f (t)		p e pt f (t) dt pF(p) f (0).
			0
				0

В частном случае, при нулевом начальном условии, когда f(0) 0, для изображения производной имеем

Глава 10. Расчет переходных процессов операторным методом 95
f' (t) Λ pF(p).
Изображение второй производной
f" (t) Λ p[pF(p) f (0)] f' (0) p2	F(p)	f (0)		f' (0)		.
	)	p		p	2	,
	(					+

Соответственно, для производной порядка n получаем
f (n) (t) Λ pn	F(p)	f (0)		f' (0)		f" (0)		f (n 1)	(0)	.
	)	p		p2		p3		pn	,
	(								+

В частности, при нулевых начальных условиях, если при t 0 сама функция f(t) и все ее производные до (ï – 1)-й включительно равны нулю, имеем

f (n) (t) Λ pn F(p).

							t
Найдем теперь изображение интеграла					(t) f (t) dt.
					0
Используя определение изображения функции										(t) с помощью интеграла
Лапласа и интегрируя по частям, получаем
			1					1
<(p)	(t)e pt dt	(t)		e pt						' (t)e pt dt.
								p
0			p				0			0
Первое слагаемое равно нулю, так как функция										(t) должна удовлетворять
							t
условию e–pt (t) t 0, à ïðè t 0 будет					(t) f (t) dt 0. Второе слагаемое
					0

равно 1pF(p), òàê êàê (t) f(t) è f(t) Λ F(p). Таким образом, изображение интеграла, взятого в пределах от 0 до t, будет

	t	F(p)
	f (t) dt Λ		.
	0	p

Итак, мы убедились, что, изображая функции времени f(t) с помощью интеграла Лапласа, операции дифференцирования и интегрирования этих функций заменяем алгебраическими операциями над изображениями этих функций.

В дифференциальных уравнениях электрической цепи с производной по времени чаще всего встречаемся в выражении для напряжения uL на катушке:

uL L dtdi. Обозначая операторное изображение тока i(t) â âèäå I(p), получаем согласно вышеизложенному операторное изображение для èL(t):

U L (p) pLI(p) Li(0).

С интегралом чаще всего встречаемся в выражении напряжения èC íà êîí-

t

денсаторе: èC 1 i dt uC (0).

C 0

96 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Изображение первого слагаемого согласно изложенному будет I(p)/(pC). Второе слагаемое èC(0) является постоянной величиной и имеет изображение

uC (0) e pt dt			uC	(0)	e pt		uC	(0)	.
0				p		0		p

Следовательно, в общем случае при ненулевом начальном условии изображение напряжения на конденсаторе èC(t) имеет вид

UC (p) IpC(p) uC p(0) .

Таким образом, при составлении уравнений цепи в операторной форме автоматически будут учитываться все физические начальные условия — значения токов в катушках и напряжения на конденсаторах при t 0.

10.2. Примеры изображений функций

Изображение постоянной величины A имеет вид

				A			A
		Ae pt dt			e pt			,
							p
	0			p		0

ò. å. [A] Ap èëè À A/p. Пусть f(t) e t, тогда

F(p) e t e pt dt e p t dt

1

e p t

p

0

0

и, следовательно,

1

e t

Λ

.

p

Åñëè t j( t + ), òî

e t ej ej t Λ

ej

.

p j

Следовательно,

1

(ej t

e j t ) Λ

1

1

1

sin t

2 j

2 j

j

p

p j

1

.

p2 2p

На основе этих результатов можно составить следующую таблицу соответствия некоторых функций (оригиналов) и их изображений.

Оригинал	Изображение
A			A
			p
Ae t			A
		p

											Глава 10.		Расчет переходных процессов операторным методом 97
Оригинал																								Изображение
	1 e t																					1								1
																										p														p(p
																						p
		1												1								1														1
sh t							(e t e t )
																																																2					2
	2													2										p																						p
																		p
				1										1								1														1														p
ch t							(e t e t )
																																																2					2
	2													2										p																						p
																		p
sin t	1								j t	e	j t			1								1														1
								(e				)
	2 j														2 j p j																			p j													p		2 2
			1											1								1														1															p
cos t					(e j t					e j t		)
																																																	2					2
	2													2																					j												p
																	p j p
sin( t																								p sin													cos
																															p 2						2
cos( t																								p cos													sin
																															p 2						2
e −t sin t
																									( p − 2 2
e −t								cos t																										p −
																									( p − 2 2
				te −t																																1
																															( p − 2
								t																												1
																																				p 2

В приведенной таблице даны соотношения между оригиналами и их изображениями при преобразовании Лапласа. При использовании преобразования Карсона следует умножить все изображения на ð. В этом случае изображением постоянной величины будет сама постоянная величина. Обратим внимание на то, что кратные полюсы в выражении для F(ð) изображают функции, в которых время t входит множителем (последние два выражения в таблице).

Найдем изображение функции, смещенной во времени на величину x, при условии, что при t < 0 имеем f(t) 0. Åñëè f(t) Λ F(p), то для изображения той же функции при t t – x получим

98 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

f (t x) Λ f (t x)e pt dt e px f (t x)e pt epx dt
0	0
e px f (t' )e pt' dt' e px f (t)e pt dt e px F(p),
0	0
òî åñòü
	f (t x) Λ e px F(p).

Найдем оригинал, соответствующий смещению изображения в комплексной плоскости на комплексное число a.

Пусть

F(p) f (t) e pt dt Λ f (t).
	0
Тогда
F(p a) f (t) e	p a t dt [f (t) e at ]e pt dt Λ f (t) e at ,
0	0
òî åñòü
	f (t) e at Λ F(p a).

Подробные таблицы соответствия оригиналов и изображений приведены в специальных справочниках.

10.3. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу цепи для действительных токов имеет вид

ik 0.

Òàê êàê òîê ik изображается с помощью интеграла Лапласа, а интеграл суммы равен сумме интегралов от слагаемых этой суммы, то первый закон Кирхгофа в операторной форме записывается в виде

I k (p) 0.

Соответственно, второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи

ek uk ,

ãäå ek — сумма ЭДС источников энергии в k-й ветви и uk — напряжение на k-й ветви, записывается в операторной форме:

E k (p) U k (p).

Естественно, что при составлении уравнений Кирхгофа в операторной форме необходимо задаться положительными направлениями всех токов и соблюдать все правила знаков, установленные ранее при составлении уравнений на основе законов Кирхгофа для действительных функций времени. В общем случае для ветви, содержащей все три элемента (r, L, Ñ), имеем

Глава 10. Расчет переходных процессов операторным методом

99

dik

1

t

uk rk ik Lk

ik dt uCk (0);

dt

C

k

0

поэтому согласно § 10.1 с учетом ненулевых начальных условий получим

U

(p) r I

(p) pL

I

(p) L

i

(0)

I k (p)

uCk (0)

k

k

k

k

k

k

k

pCk

p

èëè

u

(0)

1

U

(p) L

i

(0)

Ck

I

(p)

r pL

.

k

k

k

k

k

p

k

pCk

Величину

1

r pL

Z

(p)

k

k

k

pCk

называют о б о б щ е н н ы м с о п р о т и в л е н и е м

ветви, или, иначе, о п е р а -

т о р н ы м с о п р о т и в л е н и е м ветви.

Окончательно при этом операторная запись законов Кирхгофа примет вид

I k (p) 0;

u

Ck

(0)

E k (p) )I k

(p)Z k (p)

Lk ik (0)

,.

p

(

+

Òîê â k-й ветви и падение напряжения в этой ветви в операторной форме связаны соотношением

I k (p) U k (p) Lk ik (0) uCk (0)p,

Z k (p)

которое представляет собой закон Ома, обобщенный на случай переходного процесса. В частном случае при нулевых начальных условиях, т. е. при iLk(0) 0 è uCk(0) 0, имеем

	I k	(p)	U k	(p)			U k	(p)	.
			Z k	(p)		rk	pLk 1 (pCk )

Заметим, что структуры записи операторного сопротивления ветви и комплексного сопротивления этой же ветви

	Z k	rk j Lk		1
				j Ck

тождественны и выражение для комплексного сопротивления Zk можно получить через операторное сопротивление Zk(ð) путем замены p íà j , ò. å. Zk Zk(j ). В частности, полагая ð 0, получим сопротивление ветви постоянному току.

Сопоставляя выражения законов Кирхгофа в операторной форме с их выражениями в комплексной форме

I k 0 è E k I k Z k ,

100 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

где комплексные величины I k , Zk содержат частоту только с множителем j, âè-

дим, что при нулевых начальных условиях законы Кирхгофа в операторной форме одинаковы по виду с этими законами в комплексной форме. Поэтому при нулевых начальных условиях способы расчета любых сложных цепей при переходных процессах операторным методом аналогичны способам расчета установившихся режимов комплексным методом. В частности, при нулевых начальных условиях входное операторное сопротивление сколь угодно сложного пассивного двухполюсника можно получить из комплексного сопротивления этого двухполюсника заменой j íà p.

При ненулевых начальных условиях можем второй закон Кирхгофа для всех контуров записать в виде

E k (p) Lk ik (0) uCk (0) I k (p)Z k (p). p

Рассматривая члены Ν Lkik(0) è –Ν uCk(0)/p как ЭДС добавочных источников энергии в контурах (рис. 10.1), можем с их учетом сохранить все те же общие методы расчета сложных цепей. В частности, можно воспользоваться методом наложения и рассчитать процесс в цепи сна- чала при нулевых начальных условиях, а затем наложить на него процесс, возникающий только под действием одних добавочных ЭДС, определяемых начальными токами в катуш-

ках и начальными напряжениями на конденсаторах. Рассмотрим последовательное соединение нескольких

участков цепи. Пусть цепь состоит из одного контура. В таком Ðèñ. 10.1 случае ток для всех участков этой цепи один и тот же. Приме-

няя второй закон Кирхгофа в операторной форме, имеемE k (p) I k (p) Z k (p) Lk ik (0) uCkp(0).

Величина Z(ð) Ν Zk(p) является операторным сопротивлением всей цепи. Таким образом, при последовательном соединении участков цепи их операторные сопротивления складываются.

Рассмотрим параллельное соединение двух ветвей. В этом случае напряжение на них общее. Пусть в каждой ветви последовательно соединены r, L è C.

Имеем для каждой ветви
	U(p) I				(p)Z				(p) L i (0)							uC1(0)
								1
				1								1 1					p
è																	uC 2 (0)
	U(p) I			(p)Z				(p) L					i		(0)					,
			2				2				2			2
																	p
ãäå
Z	(p) r	pL				1			è Z			(p) r					pL				1	.
										2								2
1	1	1				pC1									2						pC2

	Глава 10.		Расчет переходных процессов операторным методом 101
Суммарный ток в неразветвленной части цепи изображается как
I(p) I1(p) I	2 (p)	U(p) L1i1(0) uC1(0) p				U(p) L2 i2	(0) uC 2	(0) p	.
			Z1(p)			Z	2 (p)

Отсюда видим, что при ненулевых начальных условиях нельзя представить I(p) как произведение U(p) на некоторый множитель Y(p), имеющий смысл операторной проводимости. Однако при нулевых начальных условиях это возможно, òàê êàê ïðè ýòîì

			1				1			U(p)[Y1(p) Y2 (p)] U(p)Y(p).
I(p) U(p))								,
		(Z1(p) Z 2 (p)+
Величины Y	(p)		1	, Y			(p)			1	è Y(p)	1	называют о п е р а т о р -
1		Z1(p)		2					Z 2 (p)			Z(p)

í û ì è ï ð î â î ä è ì î ñ ò ÿ ì è.

Таким образом, при нулевых начальных условиях в случае параллельного соединения участков цепи их операторные проводимости складываются.

10.4. Расчет переходных процессов в электрических цепях операторным методом

Рассмотрим сначала несколько простых примеров, исследованных ранее класси- ческим методом.

При включении цепи (r, L) под постоянное напряжение è U const имеем U(p) U/p è Z(p) pL + r, а следовательно, при нулевом начальном условии i(0) 0 операторное изображение тока, согласно закону Ома в операторной форме, получает выражение

		U(p)		U p		U		1		1
	I(p)										.
		Z(p) r pL
						r p p r L

Пользуясь изображением функции e t (см. § 10.2), для искомого тока можем написать

r

r1 e L .

Âслучае включения цепи (r, Ñ) под действие постоянного напряжения при uC(0) 0 имеем i(t) U t

I(p)	U p				U					1
	r 1 (pC)					r p 1 (rC)
и, соответственно,
		U		e		t
	i(t)						.
						rC
		r

При включении цепи (r, L, C) под действие постоянного напряжения при нулевых начальных условиях получаем

102 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

I(p)

U p

U

1

r pL 1 (pC)

L p2

r

p 1 (LC)

L

U

1

U

'

,

L

r

2

1

r

2

' L ( p −2 ' 2

p

2L

LC

2L

ãäå

−&

r

; 2 2

– −2

è 2

1

.

2L

0

0

LC

Используя таблицу из § 10.2, находим оригинал искомого тока:

i(t) 'UL e−t sin' t.

Достоинство операторного метода для расчета переходных процессов, заклю- чающееся в алгебраизации дифференциальных уравнений цепи, особенно проявляется при расчете сложных цепей.

Âпредыдущем параграфе было отмечено, что, учитывая члены вида Lkik(0)

è–uCk(0)/ð как добавочные ЭДС, можем для расчета переходных процессов воспользоваться всеми методами расчета сложных цепей, рассмотренными в гл. 5 применительно к установившимся режимам. Если в цепи имеются индуктив-

но-связанные ветви, то члены вида Mksis(0) также следует рассматривать как некоторые добавочные источники ЭДС, и уравнение второго закона Кирхгофа для контура, в котором действуют ЭДС взаимной индукции, следует писать в виде

E k (p) Lk ik (0) M ks is (0) 1puCk (0) Z k (p)I k (p) pM ks I s (p).

Âкачестве примера расчета сложной цепи рассмотрим расчет переходного процесса

âцепи, приведенной на рис. 10.2, при размыкании ключа. Составим уравнения по методу контурных токов:

Z11(p)I1(p) Z12 (p)I 2 (p) E11(p);

Z 21(p)I1(p) Z 22 (p)I 2 (p) E 22 (p),

Ðèñ. 10.2

ãäå

Z

(p) r

r

p(L

L

); Z

(p) r

r

1

pL

;

11

1

3

22

3

1

3

2

3

pC2

Z12 (p) Z 21(p) r3 pL3 ; E11(p) E1(p) L1i1L (0) L3 i3L (0);

E

(p) E

(p)

uC 2 (0)

L

i

(0).

22

2

p

3

3L

Решив систему уравнений, получим