Алгоритм проверки статистических гипотез

Проверку статистической гипотезы можно осуществить по следующему алгоритму.

1) Сформулировать основную H₀ и альтернативную H₁ гипотезы в вероятностных терминах на основе выборочных данных и цели исследования.

2) Выбрать соответствующий уровень значимости (риска) критерия (обычно  ={0.001, 0.05, 0.01, 0.1}.)

3) Определить (если он не задан) объем выборки n и число степеней свободы k.

4) Вычислить статистическую характеристику критерия, т.е. наблюдаемую по выборке статистику K_набл, по формулам, в зависимости от характера проверяемой гипотезы.

5) Найти границу между областью принятия гипотезы и критической областью I_кр, которая зависит от объема выборки n (степень свободы k) и уровня значимости , т.е. по таблицам найти квантили соответствующего критерия.

6) Сформулировать правила проверки гипотезы.

Гипотеза H₀ не отвергается на уровне значимости , если значение статистической характеристики данной выборки попадет в область принятия гипотезы. Если же значение статистической характеристики попадает в критическую для H₀ область, то принимается альтернативная гипотеза H₁, т.к. H₀ противоречит опытным данным.

Вероятность принятия гипотезы H₀ основана на принципе практической невозможности наступления маловероятных событий. В то же время, если вероятность события близка к единице, то событие считают практически достоверным.

Пример 6. Пусть, необходимо оценить влияние нового фактора – новой системы пенсионной помощи пенсионерам – на уровень их жизни. Сравним средние результаты до введения системы и после ее введения, т.е. сравним показатели контрольной и экспериментальной групп пенсионеров.

Тогда нулевой гипотезой может быть гипотеза о том, что уровень их жизни не изменился и в среднем контрольная (к) и экспериментальная (э) группы пенсионеров имеют одинаковый достаток соответственно m_к=m_э (ден.ед), т.е. H₀: m_к=m_э. Тогда альтернативная гипотеза говорит о том, что новая система пенсионной помощи улучшила уровень жизни и среднее значение генеральных совокупностей (достатка) – увеличилось, т.е. H₁: m_к< m_э.

Для исследования этой гипотезы необходимо:

1. Взять выборку объема n – пенсионные отчисления пенсионерам в контрольной и экспериментальной группах, найти среднее арифметическое – разницу между размером пенсий и реальными затратами на коммунальные услуги, оплату лечения, поездок и т.д.

2. В зависимости от полученного результата сделать вывод о справедливости гипотезыH₀.

Тогда распределение среднего при условии, что гипотезаH₀ будет иметь вид f(|H₀), а при справедливости альтернативной гипотезы – f(|H₁).

Графически эти распределения можно представить рисунком (Рис.5):

Рис.5

Например, пусть гипотеза H₀ отвергается, если выборочное среднее превосходит значение критерияК, т.е. >К.

Уровень значимости  соответствует площади критической области, например, при двухсторонней критической области (К;I_кр2). Тогда вероятность ошибки второго рода  равна площади под кривой распределения на интервале (I_кр1;К).

Т.о., если представить ошибки I и II рода в общей системе координат в виде двух кривых плотностей нормального распределения, то видно, что нельзя одновременно уменьшить вероятность появления обоих видов ошибок. Однако при принятии управленческих решений важно их свести до минимума. Обычно, в зависимости от условия задачи, решается вопрос о том, какие из ошибок будут иметь более серьезные последствия – приходится делать выбор между ошибками I и II рода. Поэтому, при принятии управленческих решений с целью одновременного уменьшения ошибок I и II рода, самым действенным средством является увеличение объема выборки, что согласуется с Законом больших чисел.

Обозначим через u_p корень уравнения , т.е. вероятность того события, что стандартно распределенная нормальная случайная величина попадает в интервал (-;u_p), равна P. Тогда граница критической области для гипотезы H₀ имеет вид

К_кр = m₀ + .

Справа от этой точки ошибка I рода с вероятностью – попадание в критическую область, слева – область принятия гипотезыH₀ с вероятностью . С другой стороны эта граница разделяет область принятия альтернативной гипотезыH₁, с вероятностью (мощность критерия), тогда как слева от границыК_кр остается ошибка II рода с вероятностью , которые вычисляются по значениямm₀, m₁, иn.

На бытовом уровне ошибки II рода (ошибки потребителя) могут иметь более трагические последствия, чем ошибки I рода. Говорят: ошибки I рода – «ошибки поставщика» – ошибки осторожных людей, ошибки II рода – пропуск брака – порой лихачество. Например, принимая решение о продаже партии машин, в которой замечены и не устранены дефекты, поставщик подвергает потребителя риску с вероятностью , последствия которого могут привести к человеческим жертвам.

Рассмотрим подробнее некоторые статистические гипотезы.