3.6.5 Гипотезы о законе распределения

Критерий согласия Пирсона (-критерий).Ранее предполагалось, что закон распределения либо является нормальным, либо близок к нему. Неизвестными же являлись отдельные параметры распределения: генеральное среднее (математическое ожидание) и дисперсия. В тех случаях, когда закон распределения не известен, подсказать его вид может гистограмма. Например, если ее вид напоминает кривую Гаусса, то можно высказать гипотезу о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины.

Проверка гипотезы H₀ о том, что эмпирическая частота мало отличается от соответствующей теоретической частоты, осуществляется с помощью величины – меры расхождения между ними. Пустьp_i – вероятность принятия значения x_i, а n_i – эмпирическая частота для соответствующих значений x_i. Тогда

, (3.44)

где n – объем выборки, а m – число различных вариант выборки. Числа n_i и np_i – называют соответственно эмпирическими и теоретическими частотами.

В том случае, когда распределение непрерывно или число различных вариант достаточно большое, то выборку группируют с учетом, что n_i>5. Такая статистика имеет распределение (m-r-1), где m – число различных интервалов группировки выборки, а r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по данным выборки.

Причины расхождения результатов эксперимента и теоретических характеристик могут быть вызваны малым объемом выборки, неудачным способом группировки наблюдений, неверными вычислениями теоретических частот, ошибками в выборе гипотезы о виде распределения генеральной совокупности и др.

Рассмотрим простые гипотезы о степени близости эмпирического закона распределения теоретическому, т.е. соответствия опытных данных и теоретической модели. Критериями согласия называют критерии, в которых гипотеза определяет закон распределения полностью, либо с точностью до небольшого числа параметров.

Рассмотрим универсальный критерий согласия – критерий Пирсона ² (для простой гипотезы), т.к. он используется и при независимых повторных испытаниях для дискретной выборки и в более сложных случаях: произвольных выборках.

Для произвольных выборок все пространство наблюдаемых вариант делят на конечное число непересекающхся областей, в каждой из которых подсчитывают наблюдаемую частоту и теоретическую (гипотетическую) вероятность.

Для применения критерия согласия Пирсона необходимо:

1. вычислить значение статистики по формуле ;

2. по таблице значений распределения найти критические значения, у которогоk= m -r-1 – число степеней свободы и  – выбранный уровень значимости. Это значит, что строится правосторонний интервал.

3. Если гипотеза₀ отвергается, для гипотеза₀ принимается, т.е. чем больше значение отклонения, тем меньше согласованы теоретическое и эмпирическое распределение. Поэтому принято использовать только правостороннюю критическую область.

Задача 19. В известном опыте Бюффона (Задача 9, п.2.9.4) определить, согласуются ли экспериментальные данные с теоретической вероятностью выпадения герба.

Решение: Данные эксперимента это число опытов n=4040, число выпадения герба m=2048. Тогда эмпирическая частота p_i=0.507.

Составим ряд распределений, приняв случайную величину – выпадение решки за x₁=0, а случайную величину – выпадение герба за x₂=1. Соответствующие вероятности занесем в таблицу:

xi	ni	npi	ni- npi	(ni- npi)^2	(ni- npi)^2/ npi
0	1992	2020	-28	784	0.388
1	2048	2020	28	784	0.388

Тогда статистика =0.388+0.388=0.776 , а число степеней свободы найдем по формулеk=m-r-1. Т.к. случайная величина X принимает всего два значения (m=2), а неизвестных параметров нет, то r=0. Поэтому число степеней свободы равно k=2-0-1=1. По таблице распределений находим значение=3.84 при уровне значимости=0.05. Это значит, что найденное значение =0.776 меньше критерияи поэтому можно сделать вывод о том, что гипотеза о равновероятном выпадении герба и решки в опытах Бюффона хорошо согласуется с теоретической вероятностью.

Задача 20.

По таблице эмпирического распределения изменения (в %) темпа роста акций проверим гипотезу о нормальном распределении выборки:

Интервалы	(-3;-1)	(-1;0)	(0;1)	(1;3)	Итого
	7	14	18	11	50
	0.14	0.28	0.36	0.22	1.0

Решение:

Гипотезу о нормальном распределении проверим по критерию , используя расчетную таблицу эмпирического распределения для формулы:

Интервалы	ni			ni-npi
(-3;-1)	7	0.157	7.85	-0.85	0.7225	0.092
(-1;0)	14	0.341	17.05	-3.05	9.3025	0.546
(0;1)	18	0.341	17.05	-0.95	0.9025	0.053
(1;3)	11	0.157	7.85	-3.15	9.9225	1.264

Итого: 1.955.

=1.955.

Находим по числу степеней свободы. Т.к.m=4 - число интервалов, r=2 - число параметров теоретического распределения, то , для=0.05 имеем . Т.к. 1.955<3.841, то, т.е. гипотеза о нормальном распределении подтверждается.

Критерий Колмогорова. Для проверки гипотезы о виде распределения вероятностей кроме критерия используетсякритерий Колмогорова, где в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривается максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения F_n(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x):

D=max|F_n(x)-F(x)|.

Здесь случайная величина D – наибольшее уклонение эмпирической функции распределения от теоретической. При неограниченном увеличении числа наблюдений (при n)

,

где K(t) –распределение Колмогорова. Например, при t=1.36 и при достаточно большом объеме выборки n, из таблиц функции Колмогорова (Таблица 10, приложение 1) имеем неравенство < (или , которое выполняется с вероятностью 0.95. Величина, называемаястатистикой критерия Колмогорова, т.е. мера расхождения между теоретическими и эмпирическим распределением, при больших n имеет распределение Колмогорова.

Критерий Колмогорова, несмотря на свою простоту, имеет ограниченное применение, т.к. для его использования необходимо полное задание теоретической функции распределения, которым чаще всего не располагают.