- •Алгоритм проверки статистических гипотез
- •3.6.2 Проверка статистических гипотез о числовом значении генерального среднего
- •3.6.3 Сравнение генеральных средних двух нормально распределенных совокупностей
- •3.6.4 Гипотезы о числовом значении дисперсии
- •3.6.5 Гипотезы о законе распределения
- •3.6.6 Гипотеза об однородности выборок
- •Список литературы
- •Приложение 1
- •Приложение 2
3.6.2 Проверка статистических гипотез о числовом значении генерального среднего
Пусть генеральная совокупность распределена по известному (нормальному) закону XN(m,). В зависимости от характера статистической информации возможны варианты:
– известна дисперсия, но неизвестно генеральное среднее (математическое ожидание);
– неизвестна дисперсия, но известно генеральное среднее (математическое ожидание);
– неизвестна дисперсия и неизвестно математическое ожидание.
Необходимо по имеющимся статистическим данным оценить значения неизвестного параметра.
В качестве неизвестного математического ожидания можно взять первый начальный момент 0, полученный по выборке. Рассмотрим гипотезуH0:=0, приH1:0.
Проверка гипотезы о числовом значении среднего генерального (математического ожидания) основывается на построении критической области по заданным наблюдаемым числовым характеристикам и соответствующей статистике.
При проверке гипотезы о числовом значении генерального среднего при известной дисперсии применяют статистику
, (3.37)
имеющую стандартное нормальное распределение N(0,1). Для определения границ критических областей используют таблицу нормального распределения (Функция Лапласа) при условии, что Ф(u)= .
При проверке гипотезы о числовом значении среднего при неизвестной дисперсии используют статистику,
, (3.38)
имеющую распределение Стъюдента с k=n-1 степенями свободы. Границы критической области ищут по таблицам распределения Стьюдента St (Таблица 6, приложение 1) с заданным уровнем значимости .
Двусторонняя критическая область для проверки гипотезы о том, что среднее значение генеральной совокупности m=m0 по сравнению с альтернативной mm0, на уровне значимости определяется неравенством:
,
где tn-1; находят по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, причем в верхней строчке.
Правосторонняя критическая область для проверки гипотезы о том, что среднее значение генеральной совокупности m = m0 по сравнению с альтернативной m > m0, на уровне значимости определяется неравенством:
,
где tn-1; находят по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, причем в нижней строчке.
Левосторонняя критическая область для проверки гипотезы о том, что среднее значение генеральной совокупности m = m0 по сравнению с альтернативной m<m0, на уровне значимости определяется неравенством:
,
где tn-1; находят по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, причем в нижней строчке.
Напомним, что если вычисленные значения статистики Т попадают в критическую область, то основная гипотеза отвергается (с вероятностью попадания в эту область, равной принятому уровню значимости ). В таком случае принимается альтернативная гипотеза.
Задача 15 (Тураева А.А., 2004г.). По результатам тридцатипятилетних исследований установлено, что среднее изменение доходности векселей равно 5.5%. Предполагая, что изменение доходности подчиняется нормальному закону распределения с дисперсией, равной четырем, на уровне значимости =0.05 решить:
а) можно ли принять 6% в качестве нормативного процента (математического ожидания) изменения доходности;
б) можно ли принять за норматив 6.5%?
Решение:
При проверке гипотезы о числовом значении генерального среднего при известной дисперсии применяют статистику (3.37).
1) По условию задачи нулевая гипотеза H0: m0=6%. Т.к. =5.5%, то в качестве альтернативной гипотезы возьмем гипотезуH1: m<6%, которой соответствует левосторонняя критическая область с интервалом (-;x1). По таблицам функции Лапласа (Таблица 3, приложение 1) найдем квантиль – аргумент для функции Лапласа –из уравнения Ф(x)=. Зная, чтоФ(x)=0.45, найдем uкр=xкр= -1.65, т.е. левосторонняя критическая область составляет интервал (-;-1.65).
Воспользовавшись формулой критерия Uнабл.=, найдем значение критерияUнабл== -1.48. Т.к. -1.48(-;-1.65), т.е. Uнабл > xкр , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу H0. Значит, в качестве нормативного процента можно принять 6%.
б) По условию задачи в этом случае нулевая гипотеза H0: m0=5%, а альтернативная H1:m<6.5%. Т.к. в этом случае Uнабл==-2.96, причемUнабл попадает в критическую область -2.96(-;-1.65), где Uнабл < xкр , то отвергаем нулевую гипотезу H0, а принимаем альтернативную, т.к. она не противоречит данным эксперимента. В таком случае с вероятностью =0.05 возможно совершить ошибку I рода.