3.6.6 Гипотеза об однородности выборок

Имея две выборки, можно сформулировать и проверить гипотезу об их однородности. Под гипотезой об однородности выборки будем понимать гипотезу о том, что эти выборки извлечены из одной генеральной совокупности.

Пусть даны две независимые выборки из некоторых генеральных совокупностей, для которых неизвестен вид непрерывных теоретических функций распределения F₁(x) и F₂(x). Проверим нулевую гипотезу об их равенстве, т.е. H₀: F₁(x)=F₂(x). В качестве альтернативной гипотезы H₁ рассмотрим гипотезу H₁: F₁(x)F₂(x).

Проверка однородности двух выборок

по критерию Колмогорова-Смирнова

По критерию Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распределения. Статистика критерия Колмогорова-Смирнова вычисляется по формуле:

, (3.45)

где и – эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам, объемы которых соответственно n₁ и n₂.

Гипотеза H₀ отвергается, если наблюдаемое значение статистики , и принимается в противном случае. При выборкахn>50 и n>50 статистика имеет распределение, близкое к распределению Колмогорова.

Задача 21. Выборочная проверка двух торговых точек в магазинах города по недовесу колбасных изделий приведена в таблице:

Интервалы недовесов в граммах	Частота выборки
	№1	№2
0-10	4	6
10-20	5	9
20-30	10	12
30-40	12	15
40-50	16	18
50-60	21	22
60-70	18	19
70-80	10	11
80-90	8	5
90-100	6	3
Всего	100	120

Проверить на уровне значимости 0.01 гипотезу о том, что все недовесы описывает одна и та же функция распределения.

Решение.

1)Составим расчетную таблицу, разместив в ней накопленные частоты

Значения xi	Накопительные частоты выборки
	ni1	ni2
10	4	6	0.04	0.050	0.010
20	9	15	0.09	0.125	0.039
30	19	27	0.19	0.225	0.035
40	21	42	0.21	0.350	0.140
50	37	60	0.37	0.500	0.132
60	58	82	0.58	0.683	0.103
70	76	101	0.76	0.842	0.082
80	86	112	0.86	0.933	0.073
90	94	117	0.94	0.975	0.035
100	100	120	1	1	0.000

2) Найдем значения эмпирических функций распределения ии занесем данные в таблицу.

3) Найдем значения статистики :

4. Сравним полученную статистику с критерием, учитывая, что =1.63 – значение распределения Колмогорова на уровне значимости 0.01 (таблица, приложение 1):т.к. 1.034<1.63. Значит, нулевая гипотеза о том, что недовесы в этих магазинах носят устойчивый и закономерный характер, подтверждается эмпирическими данными.

Таблица 9

№ п/п	Тип гипотезы H0	Условия	Границы критической области на уровне значимости 	Статистика наблюдений
1	О числовом значении генерального среднего M(m0 или m=m0	 - известно	Функция Лапласа Ф(uкр)= 
		 - неизвестно	Распределение Стьюдента St с k=n-1 степенями свободы
2	О числовом значении дисперсии M(или	-гипотетическое значение для N(m, )	Распределение сk=n-1 степенями свободы
3	Сравнение дисперсий двух совокупностей DX=DY или	XN(m1,1) YN(m2,2) s1>s2	Распределение Фишера-Снедекора с k1=n1-1 и k2=n2-1 степенями свободы
4	Сравнение средних двух совокупностей	XN(m1,1) YN(m2,2) - известны	Функция Лапласа Ф(z) Z-нормированная нормальная СВ
		=- неизвестны, малые независимые выборки	Распределение Стьюдента с k=n1+n2-2 степенями свободы
5	Сравнение относительной частоты с гипотетической вероятностью p=p0	- относительная частота	Функция Лапласа Ф(u)
6	О законе распределения (критерий согласия гипотезы о теоретическом распределении с опытными данными)	r-число параметров теоретического распределения, вычисленных по выборке	Распределение сk=s-r-1 степенями свободы, где s-число интервалов группировки