Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №1

Таблиця 1: Порiвняння формул поступального i обертального рухiв

Маса	m
Швидкiсть		~
	~v = dr/dt
Прискорення		~
	~a = dv/dt
Радiус-вектор	~r(t) = ~r0 + ~vt+
(a = const)		+~a t2/2
	→	→
Сила
	F = m a
	→	→
Iмпульс	p
		= m v
	→
Головне рiвняння	F = dp/~dt
поступального руху	dA = F ds		=
Робота
		→ →
		= F ds cos α
Кiнетична енергiя
поступального руху	T = m v2/2

Момент iнерцiї	J =		i miri2
		= P
Кутова швидкiсть	ω~		~
			dϕ/dt
Кутове прискорення			~
	~ǫ = dω/dt
Кут (ε = const)	ϕ(t) = ϕ0 ±2̟t±
			ε t /2
	→		→±
			→
Момент сили	M = r F ;
	M = r F sin α
Момент iмпульсу	→		→ →
	L= hr p i;
	L = r p = J̟
Головне рiвняння динамики	~		~
	M = dL/dt
обертального руху
Робота при обертальному русi			→ →
	dA = M d ϕ =
	= M dϕ
Кiнетична енергiя
обертального руху	T = J̟2/2

1.4 Перетворення Галiлея (механiчний принцип вiдносностi)

Системи вiдлiку, в яких виконується перший закон Ньютона (тiло зберiгає стан спокою, або прямолiнiйного рiвномiрного руху), є iнерцiальними. Якщо iнерцiйна система K′ рухаєть-

→

ся зi швидкiстю u (u = const) вiдносно другої

→

iнерцiальної системи вiдлiку K, радiус-вектор r(t) координати матерiальної точки вiдносно системи вiдлiку K буде:

~r(t) = ~r ′ (t) + ~u t,

(81)

де ~r ′ (t) є радiус-вектор матерiальної точки вiдносно системи вiдлiку K′. Миттєвi вектори швид-

костi	→	i прискорення	→	матерiальної точки вiдносно iнерцiйної системи вiд-
	v		a

лiку K визначаються згiдно з визначеннями за формулами перетворень Галiлея:

	~v		d~r	=	d ~r ′ (t) + ~u t	=	d~r ′	+ ~u = ~v ′ + ~u.	(82)
		≡ dt					dt
					dt

21

~a

d~v

= d ~v ′ + ~u = d~v ′

= ~a ′

d →u

= 0,

бо

→u= const . (83)

≡

dt

dt

dt

dt

Перетворення Галiлея свiдчать про те, що швидкостi складаються (правило складання швидкостей у класичнiй механiцi - принцип вiдносностi), а прискорення матерiальної точки (тiла) залишається незмiнним у всiх iнерцiальних системах вiдлiку.

1.5Механiчнi коливання

Коливаннями називається рух, або процес, який характеризується певною повторюванiстю у часi.

Коливання називаються вiльними, або власними, якщо вони виконуються за рахунок первiсно наданої енергiї при наступнiй вiдсутностi зовнiшнiх дiй на коливальну систему (систему, яка виконує коливання).

Гармонiчнi коливання – коливання, при яких коливальна величина, на-

приклад s, змiнюється у часi за законом синуса, або косинуса
s = A cos(ω0t + ϕ),	(84)

де A – амплiтуда, максимальне значення коливальної величини; ω0 – кругова (циклiчна) частота; ϕ – початкова фаза коливання при t = 0; (ω0t + ϕ) – фаза коливання.

Перiод коливання T – мiнiмальний iнтервал часу, через який стан си-

стеми, що коливається, повторюється
T =	2 π	.	(85)
	ω0

Частота – вiдношення числа повних коливань системи до часу, за який

	цi коливання вiдбулися	1		ω0
	ν =		=		.	(86)
		T
				2 π

Вимушенi коливання – коливання, що вiдбуваються пiд дiєю зовнiшньої переодичної сили. Наприклад, сили, яка змiнюється по закону косинуса або

синуса: F (t) = F0 cos ωзвн.

Одиниця вимiру частоти – герць (Гц): 1 Гц – частота такого перiодичного процесу, при якому за одиницю часу (1 секунду) вiдбувається одне повне коливання.

22

Диференцiальне рiвняння для гармонiчних коливань

	d2 s(t)	+ ω02 s(t) = 0,	(87)
	d t2
рiшення якого представляє гармонiчне коливання
s(t) = A cos (ω0t + ϕ).			(88)

Для перевiрки цього твердження обчислимо першу та другу похiднi вiд ви-

разу (88) по часу t
		ds(t)	= −Aω0 sin(ω0t + ϕ)	(89)
		dt
i
	d2s(t)		= −Aω02 cos(ω0t + ϕ).	(90)
		dt2

Можна помiтити, що вираз (90) дорiвнює виразу (84), яке домножене на величину −ω02. Тобто, дiйсно, вираз (88) задовольняє диференцiальне рiвняння (87), представляючи його рiшення.

Диференцiальне рiвняння для гармонiчних вимушених коливань

має вигляд
	d2 s(t)	+ ω02 s(t) = F0 cos ωзвн .	(91)
	d t2

Рiшення рiвняння (91) детально буде розглянуто пiзднiше в роздiлi в зв’язку з вивченням коливальних процесiв у RLC-контурi. Зараз лише констатуємо той факт, що при спiвпаданнi частот власних ω0 та вимушених ωзвн коливань спостерiгається ефект резонансу, при якому вiдбувається рiзке збiльшення амплiтуди коливань.

Гармонiчнi коливання можна вiдобразити за допомогою методу амплiтуди коливання, що обертається або методу векторних дiаграм.

Вектор коливання ~s, який обертається з кутовою швидкiстю ω0, в початковий момент часу (t = 0) утворює кут ϕ з вiссю OX декартової системи координат (рис. 15). Довжина цього вектора ~s дорiвнює амплiтудi коливання A. Припустимо, що деяка матерiальна точка здiйснює прямолiнiйнi гармонiчнi коливання вздовж осi OX навколо

Рис. № 15:	23

положення рiвноваги, яке спiвпадає з початком декартової системи координат. Тодi залежнiсть коор-

динати положення матерiальної точки x(t) можна записати, зробивши замiну s на x у виразi (84)

x(t) = A cos(ω0t + ϕ) .

(92)

Швидкiсть v та прискорення a матерiальної точки визначаються вiдповiдно до їх визначення

					dx(t)						(93)
	v(t) =							= −Aω0 sin(ω0t + ϕ)
						dt
i		dv(t)					d2x(t)
a =				=						= −Aω02 cos(ω0t + ϕ) .	(94)
		dt					dt2

Виходячи з визначення прискорення (вираз 94), можна, згiдно з другим законом Ньютона, записати рiвняння для сили F , що дiє на матерiальну точку масою m

F (t) = m a = −m Aω02 cos(ω0t + ϕ) = −m ω02 x(t) .

(95)

Аналiз формули (95) показує, що сила, яка змушує матерiальну точку коливатися, по-перше, залежить вiд часу (за законом косинуса), а, по-друге, спрямована в протилежний бiк порiвняно зi змiщенням точки. Тобто, якщо тiло змiщується в бiк вiд точки рiвноваги, сила спрямована до точки рiвноваги.

Кiнетична енергiя T матерiальної точки, яка виконує гармонiчнi коливання, дорiвнює

		m v2		m A2ω02	2	(96)
	T (t) =		=		sin (ω0t + ϕ) .
		2		2

Потенцiальна енергiя Π матерiальної точки, що здiйснює коливальнi рухи, визначається за формулою

	x				x		−m ω02 x(t) dx =
Π(t) = −Z		F (t)dx = − Z
	0			0
=	m ω02 x2		x	=	m A2ω02 x2			cos2(ω0t + ϕ) .	(97)
	2
				2
			0

У результатi отримаємо, що повна енергiя матерiальної точки E, виходячи з виразiв (96) i (97), не залежить вiд часу i дорiвнює

	m A2ω2			m	A2ω2
E = T (t) + Π(t) =		0	sin2(ω0t + ϕ) + cos2(ω0t + ϕ) =			0	. (98)
	2				2

24

1.5.1Пружинний маятник

Пружинний маятник – це маса m, яка прикрiплена до абсолютно жорсткої пружини з коефiцiєнтом k, так, що ця маса може коливатися без тертя в горизонтальному (або вертикальному) напрямку, як показано на рис. 16. Рiвняння динамiки маси, виходячи з другого закону Ньютона, має вигляд

m a = −k x(t)

m

d2 x(t)

= −k x(t) .

(99)

dt2

Виходячи з (99), сформулюємо диферен-

цiальне рiвняння коливань пружинного ма-

ятника

d2 x(t)

k

(100)

+

x(t) = 0 .

dt2

m

Циклiчну частоту ω0

та перiод T = 2π/ω0

коливань пружинного маятника знайдемо з

порiвняння рiвнянь (100) та (90)

ω0 = v

,

T = 2π

m .

(101)

k

u

s

u m

k

t

Рис. № 16:

Виходячи з (97), знайдемо потенцiальну

енергiю Π пружинного маятника, величина

деформацiї якого дорiвнює

x = x(t),

m ω02 x2

k x2

(102)

Π =

=

.

2

2

1.5.2 Фiзичний маятник

Фiзичний маятник – це тверде тiло, яке виконує пiд дiєю сили тяжiння коливання навколо нерухомої горизонтальної осi, яка не проходить через центр маси твердого тiла (рис. 17). Момент iнерцiї тiла вiдносно осi обертання (пiдвiсу) тiла дорiвнює J .

Головне рiвняння динамiки обертального руху твердого тiла в скалярнiй формi є

M = J ε Fτ l = J

де, виходячи з рис. 17, Fτ мати вигляд

d2α	,	(103)
2
dt

= −p sin α = −m g sin α. Тому рiвняння (103) буде

J	d2α	= −m g l sin α .	(104)
	dt2

25

Для малих кутiв α виконується спiввiдношення lim sin α = 1 i рiвняння (104)

α→0 α

змiниться на рiвняння

J	d2	α	+ m g l α = 0 ,	(105)
		2
	dt

яке представляє диференцiальне рiвняння гармонiчних коливань. Пiсля порiв-

няння рiвняння (105) з (90) отримаємо циклiчну частоту ω0 та перiод T ко-
ливань фiзичного маятника
ω0	= v		=			g	,
		m g l		s
	u
	u J					L
	t

T =	2π = 2π v			J		= 2πv	L	,	(106)
	ω0	u				u
		u m g l				u g
		t				t

де L = J/(m l) – приведена довжина фiзичного маятника .

Рис. № 18:

1.5.3Математичний маятник

Математичний маятник (рис. 18) представляє iдеалiзовану систему, яка включає матерiальну точку масою m, що пiдвiшена на нерозтяжнiй досить довгiй невагомiй нитi. Коливання матерiальної точки здiйснюються лише пiд дiєю складової сили

тяжiння ~ (рис. 18). Математичним маят-

Fτ

ником можна вважати таким, що є частковим випадком фiзичного маятника, для якого момент iнерцiї J дорiвнює

J = m l2 ,

(107)

де l – довжина нитi маятника.

Тому вирази (106) трансформуються на випадок математичного маятника i будуть мати вигляд

ω0 = s				,	T = 2πv	l	.	(108)
		g
					u
		l			u g
					t

1.6 Одиницi вимiрювання, константи в механiцi

1. Вiдстань, перемiщення, довжина – [s], [r], [R], [h], [l], = м.

26

Час, перiод, iнтервал часу – [t],

[T ], [τ ] =

c.

Швидкiсть – [v] = м/с.

кг·м

Iмпульс – [p] = [m v] =

.

c2

Прискорення – [a] = м/с2.

Кут (плоский) – [ϕ] = град, рад.

Кутова швидкiсть – [ω] = град/с, рад/с.

Кутове прискорення – [ε] = град/с2, рад/с2.

Частота – [ν] = c−1 = Гц.

Кругова (циклiчна) частота – [ω]=град/с, рад/с.

Сила – [F ] = [m a] =

Н =

кг·м/c2.

2

Робота, енергiя – [A] = [F s] = [m g h] =

m v

= Дж

2

2

3

.

Потужнiсть – [N ] = [A/t] = Вт = Дж/с = кг·м /с

Момент iнерцiї –2[J ] =

hm r2i = кг·м2.

Площа – [S] = м .

Об’єм – [V ] = м3.

кг·м2

Момент сили – [M ] = [r F ] = Н м =

;

·

c2

Момент iмпульсу – [L] = [r p] = кг·м2.

m

Питома густина – [ρ] =

"

# = кг/м3.

V 3

м2

м3

Гравiтацiйна стала – G = 6, 67

·

10−11

Н · 2

= 6, 67

·

10−11

.

с

2

кг

· кг

Прискорення вiльного падiння – g = 9, 8

"

м

#.

2

с

"

Fдеф

#

Н

кг

Коефiцiєнт жорсткостi тiла (пружини) – [k] =

=

=

.

2

x

м

с

Коефiцiєнт тертя – [µ] = " Fтерт # = 1 (безрозмiрний).

N

Модуль Юнга (вiдносне подовження)– [ε] = " l # = 1 (безрозмiрний). l

27

2 Молекулярна фiзика i термодинамiка

2.1 Молекулярно-кiнетична теорiя (закони iдеального газу)

2.1.1Iдеальний газ

Iдеальний газ – це сукупнiсть атомiв, або молекул, якi не взаємодiють (потенцiйна енергiя взаємодiї молекул газу дорiвнює нулю), якi абсолютно пружно зiткаються мiж собою та iз стiнками посудин (виконується закон збереження механiчної енергiї атомiв, або молекул). Iдеальний газ є сукупнiстю абсолютно твердих кульок, якi не взаємодiють, вiдстань мiж якими бiльша, нiж дiаметр цих кульок (молекул). Об’ємом однiєї молекули iдеального газу можна знехнувати порiвняно з об’ємом газу в цiлому.

2.1.2Макроскопiчнi характеристики газу

Для iдеального газу iснують такi характеристики:

Об’єм V – це об’єм посудини, яку займає дана маса газу;

Питомий об’єм v - об’єм одиницi маси. Для однорiдної маси m газу (коли густина ρ = m/V = const) питомий об’єм v визначається як

v = V /m = 1/ρ.

(109)

Молярний об’єм Vm визначається як об’єм одного моля газу. Кiлькiсть

молей (кiлькiсть речовини) ν є
ν = m/M,	(110)

де M – молярна маса газу. Молярна маса дорiвнює масi одного моля газу, яка для даного газу визначається з перiодичної системи елементiв Менделеє-

ва: M = mа.о.м. · 10−3 кг/моль.

Тиск газу – це вiдношення модуля сили F , з якою дiє газ на внутрiшню

поверхню посудини, до площi	S поверхнi, на яку дiє ця сила
p =	F/S	[Па] = 1	Н	.	(111)
			м2

28

Температура – фiзична величина, що характеризує стан термодинамiчної рiвноваги макроскопiчної системи (газу). У практицi частiше застосовують двi температурнi шкали: термодинамiчна i мiжнародна практична, якi градуйованi вiдповiдно у градусах Кельвiна (К) i у градусах Цельсiя (0C). У Мiжнароднiй практичнiй шкалi температур точки замерзання (0 0C) та кипiння води (100 0C) при нормальному тиску 1,013.10−5 Па беруться як репернi.

Термодинамiчна температурна шкала має лише одну реперну точку – потрiйна точка води, температура (373,16 К), при якiй вода, льод i насичений пар знаходятся у термодинамiчнiй рiвновазi при тиску 609 Па. Зв’язок мiж температурами T i t, якi визначаються за рiзними температурними шкалами, об’єднуються рiвнянням

T = 273, 16 + t.

(112)

2.1.3Закони iдеальних газiв

1.Закон Авагадро: молi буд-яких газiв

при однакових температурi i тиску займають однаковий об’єм (при нормальних температурi i тиску, наприклад, цей об’єм становить 22,41·10−3 м3/моль) та утримують однакове число молекул, що має назву число Авагадро NA = 6, 022 · 1023 моль−1.

2. Закон Дальтона (про порцiйний
тиск). Тиск p сумiшi iдеальних газiв дорiв-
нює сумi порцiйних тискiв p1, p2...pn, що вхо-
дять до складу цiєї сумiшi
p = p1 + p2 + p3 + . . . + pn.	(113)			Рис. № 19:
3. Закон Бойля-Марiотта – iзотермiчний процес (T = const).
	p1V1 = p2V2 = ... = pnVn = const ,				(114)
або		const
	p =		.		(115)
		V

Залежнiсть тиску вiд об’єму iдеального газу при постiйнiй температурi (гiперболiчна залежнiсть) представлена на рис. 19.

29

4. Iзобаричний процес Закон Шарля

(p = const)

p0/p = T0/T	або
p = αp0T.	(116)

Лiнiйна залежнiсть тиску iдеального газу вiд температури при постiйному об’ємi наведена на рис. 20.

5. Iзохоричний процес Закон Гей-Люсака (V = const) (рис. 21).

V0/V = T0/T

або

V = αV0T, (117)

де p0 i V0 – в (116) i (117) вiдповiдно тиск i об’єм газу при T = 273, 16 K; α = 1/273, 16 K−1.

6. Рiвняння Менделеєва-Клайпе- рона отримано пiсля об’єднання рiвняння Бойля-Марiотта та Гей-Люссака в одне. Тобто рiвняння Менделеєва-Клайперона об’єднує всi три макроскопiчнi параметри газу в одне рiвняння

Рис. № 21:

p1V1/T1 = p2V2/T2 = . . . = pnVn/Tn = const ,

pV /T =	m	R = υ R = const ,	(118)
	M

де R = 8, 31Дж/(моль К) – унiверсальна газова стала; υ = m/M – кiлькiсть молей

газу.

Рiвняння Менделеєва-Клайперона (118) для одного моля газу (υ = m/M = 1) має вигляд

pVm = RT .

(119)

Графiчно ”поступовий перехiд” зi стану газу (1) з параметрами p1, V1, T1 в стан (2) з параметрами p2, V2, T2, представленого на рис. 22, можна описати, наприклад, iзотермiчним переходом (перехiд 1 – 1’) плюс iзохоричним переходом (1’ – 2). У той же час рiвняння Менделеєва-Клайперона (118) спрощує опис цього переходу лише до одного рiвняння.

30