Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №1

Робота A1−2 по перемiщенню пробного заряду Q0 вздовж еквiпотенцiальної поверхнi (лiнiї) (тобто, коли початкова i кiнцева точки перемiщення заряду лежать на еквiпотенцiальнiй поверхнi), дорiвнює нулю, бо робота поля по перемiщенню заряду вздовж еквiпотен-

цiальної поверхнi A1−2 = Q0(ϕ1 −ϕ2) (на Рис. № 49: еквiпотенцiальнiй поверхнi ϕ1 = ϕ2).

Еквiпотенцiальнi поверхнi, або лiнiї завжди перпендикулярнi до лiнiй напруженостi (силових лiнiй) електростатичного поля (рис. 49).

3.2Електроємнiсть провiдникiв

3.2.1Електроємнiсть вiдокремленого провiдника

Електроємнiсть C вiдокремлених провiдникiв визначає, яку величину заряду Q можуть утримувати провiдники при одному i тому ж значеннi потенцiалiв провiдникiв ϕ вiдносно iнших провiдникiв, i в тому числi вiдносно Землi

	Q		(257)
Q = C ϕ C =		.
	ϕ

Одиниця вимiрювання електроємностi – фарада (Ф): 1 Ф – ємнiсть такого вiдокремленого провiдника, потенцiал якого змiниться на 1 В, якщо заряд провiдника змiнити на 1 Кл.

Електроємнiсть вiдокремленої сферичної кулi Cкул прямо пропорцiйна її радiусу R. Вiдомо, що потенцiал на поверхнi сферичної кулi радiусом R, дорiвнює

ϕR =	∞Edr =	−	Q 1			∞ =	Q	.	(258)
			4 πε0ε r
	Z					R	4 πε0εR
	R

Звiдки знайдемо електроємнiсть провiдної кулi Cкул

Cкул =	Q	=	Q · 4 πε0εR	= 4 πε0ε R .	(259)
			Q
	ϕR

3.2.2Конденсатори

Кондесатори – такi пристрої (сукупнiсть провiдникiв), якi мають властивiсть при досить малих розмiрах i невеликих потецiалах вiдносно оточуючих тiл, якi є провiдниками, накопичувати значнi величини зарядiв (мати велику

61

електроємнiсть). Конденсатори бувають плоскими, коаксiальними (цилiндричними) та у виглядi концентричних сферичних поверхонь. В технiцi застосовуються плоскi конденсатори. Електроємнiсть будь-якого конденсатора не залежить вiд рiзницi потенцiалiв (ϕ1 − ϕ2) = ϕ мiж його обкладками, а залежить лише вiд його форми. Якщо вiдомо, який заряд Q утримає провiдник при заданiй рiзницi потенцiалiв ϕ мiж його обкладками, можна знайти електроємнiсть провiдника за формулою

	Q	(260)
C =	ϕ1 − ϕ2 .

За допомогою цiєї формули (260) визначається електроємнiсть плоского конденсатора. Враховуючи те, що для плоского конденсатора напруженiсть

поля мiж його обкладками залежить вiд поверхневої густини заряду σ i стано-

вить E =

σ

, а рiзниця потенцiалiв

ϕ мiж обкладками плоского конденса-

ε0ε

x2

σdx

σ

тора дорiвнює ϕ = Z

=

(x2 −x1), можна обчислити електроємнiсть

ε0ε

ε0ε

x1

плоского конденсатора

Cпл =

Q

=

σ · S

= ε0 ε

S

,

(261)

ϕ1

− ϕ2

σ

x2

R

dx/(ε0ε)

d

x1

де d = x2 −x1 – вiдстань мiж обкладками конденсатора; S – площа обкладок плоского конденсатора.

Електроємнiсть цилiндричного та сферичного конденсаторiв визна-

чаються аналогiчним шляхом i вiдповiдно дорiвнюють
Cцлд =	2π ε0 ε l			,	Cсф =	4π ε0 ε r1 r2	,	(262)
	ln	r2				r2 − r1
		r1

де l – довжина (або висота) цилiндра; ri – вiдстанi вiд осi цилiндра або вiд центра сфери до обкладок конденсаторiв.

Для паралельного з’єднання конденсаторiв (рис. 50) еквiвалентна електроємнiсть Cпрл визначається за умови, що рiзниця потенцiалiв ϕАБ для всiх конденсаторiв однакова. Конденсатори утримують рiзнi зяряди

Q1	= C1	ϕАБ
Q2	= C2	ϕАБ
. . . . . . . . . . . .
Qn = Cn		ϕАБ .

62

Повний заряд Q, що утримує батарея з паралельно з’єднаних конденсаторiв, дорiвнює

Q =	n	Qi = ϕАБ	n	Ci .	(263)
	X		X
	i=1		i=1

Звiдки повна ємнiсть батареї C дорiвнює сумi електроємностей окремих конденсаторiв Ci

	Q		N		(264)
		=	X	Ci
C =
	ϕАБ		i=1

При послiдовному з’єднаннi конденсаторiв (рис. 51) кожний з конденсаторiв утримує однаковий заряд Q, а загальна рiзниця потенцiалiв ϕ дорiвнює сумi рiзниць потенцiалiв ϕi на кожному з конденсаторiв батареї.

ϕ =	N	ϕi .	(265)
	X

i=1

Тому, виходячи з того, що ϕi = Q/Ci, обернена величина еквiвалентної електроємностi C дорiвнює сумi обернених величин окремих конденсаторiв

ϕ = Q = Q

N

(1/Ci) .

(266)

X

C

i=1

Тобто,

N

Рис. № 51:

1/C =

X

(1/Ci) ,

i=1

або

C1C2 . . . Cn

Cпсл =

(267)

C2C3 . . . Cn + C1C3 . . . Cn + . . . + C1C2 . . . Cn−1

3.2.3 Енергiя системи нерухомих зарядiв

та вiдокремленого провiдника

Пiдрахуємо, наприклад, потенцiаль-

ну енергiю W1 та W2 двох зарядiв Q1 та

Q2. В мiсцi положення заряду Q1 заряд

Q2 утворює потенцiал ϕ12 =

1

Q2

.

4π ǫ0

ǫ r

I тому, енергiя W1 першого заряду Q1

в полi другого заряду Q2 буде дорiвню-

вати

W1 = Q1 ϕ12 = Q1

1

Q2

,

(268)

4π ǫ0 ǫ

r

63

де r – вiдстань мiж зарядами. Аналогiчно енергiя W2 другого заряду

	буде	1		Q1
	W2 = Q2 ϕ21 = Q2				.
		4π ǫ0 ǫ r

Тобто, отримуємо, що енергiя двох точкових зарядiв W можна отримати, що

W = 1/2(Q1 ϕ12 + Q2 ϕ21) .

(269)

= W1 = W2. Звiдки

(270)

Енергiя W системи n нерухомих зарядiв Qi визначається сумою добуткiв величин точкових зарядiв Qi на потенцiали ϕi, якi утворюються всiма iншими (n − 1) зарядами в мiсцi положення Qi-заряду,

W = 1	n	(271)
	X Qi ϕi .

2i=1

Усумi останньої формули немає добутку i-заряду та потенцiалу ϕi вiд цього ж заряду, бо потенцiал поля вiд заряду в мiсцi положення цього ж заряду дорiвнює нулю. Наприклад, коли iснує система з трьох зарядiв, їх енергiя W дорiвнює

W = 1/2(Q1 ϕ21 + Q1 ϕ31 + Q2 ϕ12 + Q2 ϕ32 + Q3 ϕ13 + Q3 ϕ23) . (272)

Енергiя зарядженого вiдокремленого провiдника теж визначається потенцiалом провiдника ϕ (бо поверхня провiдника представляє еквiпотенцiальну поверхню) та зарядом всього провiдника. Для того, щоб збiльшити заряд вiдокремленого провiдника на величину dQ, необхiдно цей заряд перенести з нескiнченностi на поверхню провiдника. При цьому необхiдно виконати роботу dA, яка дорiвнює

dA = ϕ dQ ,

(273)

де ϕ – потенцiал поверхнi провiдника, яка є еквiпотенцiальною поверхнею (ϕ = const).

Повна робота, яку необхiдно виконати, щоб збiльшити заряд провiдника вiд нуля до Q, або збiльшити потенцiал провiдника вiд нуля до ϕ, дорiвнює

Q	ϕ		ϕ2
A = Z	ϕ dQ = Z	C dϕ =	C	, (274)
			2
0	0

64

де C – електроємнiсть провiдника. Енергiя провiдника W , згiдно з законом збереження енергiї, дорiвнює роботi A

	C ϕ2		Q ϕ		Q2
W =		=		=		. (275)
2		2			2 C

3.2.4 Енергiя зарядженого конденсатора та електростатичного поля

Енергiя зарядженого конденсатора визначається рiзницею потенцiалiв ϕ мiж його обкладками, його елек-

троємнiстю C

	C (Δϕ)2		Q ϕ			Q2
W =		=			=		. (276)
2		2				2C

Формулу (275), а також враховуючи те, що для конденсатора ϕ = E d (E – напруженiсть поля конденсатора), i те, що електроємнiсть плоского конденсатора є C = ε0 ε S/d (S – площа обкла-

док конденсатора; d – вiдстань мiж його обкладками), можна переписати, отримавши вираз для енергiї електростатичного поля

	ε0 ε E2		ε0	ε E2		(277)
W =		Sd =			V,
				2
2

де V – внутрiшнiй об’єм плоского конденсатора.

Об’ємна густина енергiї електростатичного поля w – енергiя одиницi об’єму є

	w =	W	=	ε0 ε E2	=	E D	,	(278)
		V		2		2
~	~
де D = ǫ0	ǫ E – вектор електричного змiщення.

3.3 Постiйний електричний струм

Електричний постiйний струм –

упорядкований (спрямований) рух електричних зарядiв пiд дiєю прикладеного електростатичного поля. Кiлькiсною характеристикою електричного струму

65

є скалярна величина, яка називається силою струму I i дорiвнює вiдношенню кiлькостi перенесених зарядiв dQ через поперечний перерiз провiдника до часу dt, за який цi заряди перенесенi

I =	dQ	.	(279)
	dt

→

Вектор густини струму j визначається як вiдношення змiни сили струму dI до площi елементарної поверхнi dS, орiєнтованої перпендикулярно до напряму руху зарядiв, якi утворюють струм.

~		dI		(280)
j	= dS		~n ,

де ~n – одиничний вектор, який спрямовано вздовж нормалi до поверхнi dS. В iнтегральнiй формi струм I можна представити як потiк вектора густини струму (iнтеграл по поверхнi S вiд

	~	~
скалярного добутоку векторiв j i dS)
I = Z	~j d~S ,	(281)
s

де ~ . dS = ~n dS

3.3.1 Електрорушiйна сила (EPC)

Джерело струму – пристрiй, за допомогою якого пiдтримується постiйною рiзниця потенцiалiв за рахунок роботи сил неелектричного походження.

Сили неелектричного походження, якi дiють на заряди з боку джерел струму, i якi переносять заряди в напрямку протилежному, порiвняно з напрямком руху носiїв струму пiд дiєю електростатичного поля, називаються стороннiми силами. Стороннi сили виконують роботу, яка витрачається на роздiлення зарядiв на додатнi та вiд’ємнi заряди на клемах джерела струму.

66

Звiдки, ЕРС джерела струму ǫ дорiвнює вiдношенню роботi A стороннiх сил, яка виконується для роздiлення зарядiв протилежного знаку i яка виконується за рахунок енергiї неелектричного (хiмiчного, механiчного та iнших видiв енергiї) походження, до величини перемiщеного заряду Q вздовж замкнутого кола

ε =	A	.	(282)
	Q

3.3.2 Закон Ома

Закон Ома для дiлянки кола, яка не мiстить джерела струму: величина струму I прямо пропорцiйна прикладенiй напрузi U i обернено пропорцiйна

опору R провiдника
I =	U	.	(283)
	R

Одиниця опору R – Ом: 1 Ом опiр провiдника, в якому при напрузi 1 В тече струм 1 А.

Величина, яка обернена до R, називається електропровiднiстю

G =	1	.	(284)
	R

Одиниця провiдностi G – сименс (См): провiднiсть провiдника, який має опiр 1 Ом. Величина опору провiдника залежить вiд питомого електричного опору ρ провiдника, довжини l i площi S поперечного зрiзу

провiдника
R = ρ	l	.	(285)
	S
Величина, яка обернена до ρ, називається питомою провiднiстю γ
γ = 1/ρ .			(286)

Знаходячи опiр R як функцiю густини струму j та провiдностi γ дiлянки кола з рiвняння закону Ома, вираз (283) можна трансформувати у тотожне

рiвняння

U

l

U

I

1

U

R =

ρ

=

=

·

.

I

S

I

S

ρ

l

67

l

Враховуючи те, що U = R Edx = E · l, отримуємо рiвняння закону Ома у

0

диференцiальнiй формi
j = γ E,		~	~	(287)
		j = γ E .
	3.3.3	Температурна залежнiсть опору

Експериментально встановлено, що температурна залежнiсть опору R та питомого опору ρ провiдника можна представити лiнiйними функцiями як у шкалi температур Цельсiя

ρ = ρ0 (1 + αt),	R = R0 (1 + αt),
			(288)
так i у термодинамiчнiй шкалi темпера-
тур
ρ = αρ0 T,	R = αR0 T,		(289)
де ̺0 i R0 вiдповiдно опiр та питомий опiр провiдника при 0o C; α =		1	K−1
		273
– температурний коефiцiєнт опору.

3.3.4 Закон Джоуля – Ленца

Кiлькiсть теплоти dQ, яка видiляється у провiднику з опором R, до якого прикладена напруга (або рiзниця потенцiалiв) U , i, по якому тече струм I, дорiвнює

dQ = I U dt = I2 R dt = U 2 dt. (290) R

У диференцiальнiй формi закон Джоуля – Ленца має вигляд

dQ = I2 R dt = ρ dl (j dS)2 dt = ρ j2 dV dt, dS

(291)

де dV = dS · dl.

Питома теплова потужнiсть струму w = dQ/(dV dt) у диференцiальнiй формi є

w = ρ · j2 = ρ · γ2 · E2 = j E2 .

(292)

68

3.3.5 Закон Ома для неоднорiдної дiлянки кола

Закон Ома для неоднрiдної iзольованої дiлянки кола з опором R у iнтегральнiй формi (узагальнення закону Ома), дозволяє визначити струм I як

	I =	ϕ1 − ϕ2 + ε12	,	(293)
		R

де ε12 i ϕ1 − ϕ2 – вiдповiдно ЕРС i прикладена рiзниця потенцiалiв, що входять до дiлянки кола.

Для повного (або замкнутого) ко-

	ла		ϕ1 − ϕ2 + ε12
	I	−		,	(294)
			R + r

де r – внутрiшнiй опiр джерела струму.

3.3.6 Правила Кiрхгофа

1. Алгебраїчна сума струмiв, що зходяться у довiльно обраному вузлi розгалуженого електричного кола, в якому сходяться (рис. 52) не менше, нiж три провiдника зi струмами, дорiвнює нулю

Ik = 0.

(295)

X k

Домовились, що струми, якi пiдтiкають до вузла, мають знак "+ а тi, що витiкають з вузла, мають – "−".

2. У будь-якому довiльно обраному замкнутому контурi (рис. 53) розгалуженого електричного кола, алгебраїчна сума добуткiв струмiв Ii та опорiв Ri дорiвнює алгебраїчнiй сумi ЕРС εk, якi зустрiчаються в обраному кон-

турi

Рис. № 52:

X	Ii Ri =	X	εk .	(296)
i		k

Знаки добуткiв Ii Ri та εk у виразi (296) є додатнiми, якщо вони спiвпадають з довiльно обраним напрямом обходу замкнутого контура кола. Якщо пiсля

69

розв’язання задачi визначений струм є вiд’ємний, то напрям дiйсного струму протилежний, порiвняно з обраним напрямом обходу. Якщо струм має додатнiй знак, напрям струму спiвпадає з обраним напрямом обходу.

3.4 Одиницi вимiрювання i константи в електрицi,

постiйному струмi

1.Сила струму – [I] = [Q/c] = А (ампер).

2.Заряд – [Q] = А·с = Кл (кулон).

3.Електрична стала – ε0 = 8, 85·10−12 Кл2/(Н/м2).

4.Напруженiсть електростатичного поля –

[E] = [F/Q] = Н/Кл=В/м.

5. Потiк вектора наруженостi електростатичного поля – [ΦE ] = [E · S] = Н·м2/Кл.

6.Потенцiал – [ϕ] = В (вольт)= Дж/Кл.

7.Електроємнiсть – [C] = Ф (фарада) = Кл/В.

8.Опiр – [R] = Ом (ом).

9.Провiднiсть – [G] = [1/R] = См (сименс).

10.Заряд електрона – e = 1, 6 · 10−19 Кл.

11.Маса електрона – me = 9, 11 · 10−31 кг.

70