Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №1

	i		m
	p V1	=		R T1.	(166)
			M

Звiдки, знайшовши рiзницю лiвих та правих частин рiвняннь (166), отримає-
мо				m
		p (V2 − V1) =			R (T2 − T1)
				M
або
p V =	m	R T.	(167)
	M

Дiйсно, для iзобаричного процесу (p = p0 = const) робота A дорiвнює площi заштрихованого прямокутника (рис. 31).

Для iзотермiчного процесу (T =
const), виходячи з рiвняння (118), за-
лежнiсть тиску вiд об’єму має вигляд
p = m R T	= const.	(168)
M V	V

Рис. № 31:

Звiдки, якщо тиск газу змiнюється за законом Бойля-Марiотта, робота, що виконує газ A проти зовнiшних сил, дорiвнює

V2	V2
A = Z	pdV = Z
V1	V1

m R T dV = M V

	m	R T ln	V2	=	m	R T ln	p1		.	(169)
	M		V		M
Рис. № 32:							p	2
		1
					При iзохоричному процесi (V =
				V0	= const, dV = 0) газ не виконує
				роботу, бо змiнює свiй об’єм
							dA = p dV ≡ 0.			(170)
				Дiйсно, площа пiд кривою p						= f (V )

(рис. 32) при змiнi стану системи вiд точки 1 до 2 дорiвнює нулю.

2.2.6Адiабатичний процес

Адiабатичним називається процес, коли вiдсутнiй теплообмiн газу iз зовнiшнiм середовищем (δQ = 0). Це вiд-

41

бувається, наприклад, при досить швидкiй змiнi тиску, або об’єму газу. Виходячи з рiвняння першого начала термодинамiки δQ = dU +δA, отримуємо, що при адiабатичному процесi виконується спiввiдношення

− dU = δA .

(171)

Тобто, враховуючи те, що δA = p dV , вираз (171) перепишемо

p dV = − dU.

(172)

Тобто, газ виконує роботу проти зовнiшних сил за рахунок зменшення своєї внутрiшньої енергiї. Якщо вiдома змiна температури газу T при адiабатичному процесi, робота, що виконує один моль газу, дорiвнює

		U2	dUm = − (Um2 − Um1 ) =
A = − Z
		U1
−	i	R(T2 − T1) = −CV		T.	(173)
	2

Для довiльної маси газу m вираз (172) з урахуванням (173) трансформується

в рiвняння
	m				(174)
p dV = −			CV	T,
	M
з якого знайдемо диференцiал температури dT
dT = −		M p dV		.	(175)
		m CV

Знайдемо диференцiали вiд лiвої та правої частин рiвняння Менделеєва-Клайперона (диференцiал вiд виразу (118))

d(p V ) =	m	R dT,	V dp + p dV =	m	R dT .	(176)
	M			M

З другого рiвняння (176) виключимо dT , пiдставивши (175) в (176)

	mRM pdV	(177)
V dp + p dV = −	M mCV .

Пiсля скорочень в правiй частинi виразу (177) отримаємо

R	(178)
V dp + p dV = −CV p dV.

42

Враховуючи те, що R = Cp − CV

i Cp/CV

= γ, вираз (178) переходить в

диференцiальне рiвняння Пуасона з роздiльними змiнними

V dp = −(γ − 1) p dV,

dp

dV

(179)

= −γ

.

p

V

Пiсля iнтегрування рiвняння (179) отримаємо

p2 dp

V2 dV

p2

V2

p2

V1

Z

= −γ Z

ln

= −γ ln

ln

= γ ln

.

(180)

p

V

p1

V1

p1

V2

p2

V1

Потенцiювання виразу (180) дає рiвняння адiабатичного процесу або рiв-

няння Пуасона

p1 V1γ = p2 V2γ = ··· = p V γ = const ,

(181)

де γ = Cp/CV – показник адiабати, або коефiцiєнт Пуасона дорiвнює

	γ =	Cp		=	cp	=	i + 2	> 1. (182)
		C	V		c		i
					V

Рiвняння Пуасона можна представити в iнших змiнних T, V p, T виходячи з рiвняння Менделеєва-Клайперона (118)

T V γ−1 = const,
T γ p1−γ = const .	(183)

Рiвняння Пуасона (181) вiдрiзняється вiд рiвняння закону Бойля-Марiотта (115) тим, що в рiвняннi (181) об’єм V має показник адiабати γ = cp/cV

Рис. № 33:		const		(184)
	p =		.
		V γ

Оскiльки коефiцiєнт Пуасона завжди бiльше одиницi (γ = cp/cV > 1 ), графiк залежностi p = F (V ) бiльш ”рiзький” (тобто, тиск, наприклад, бистрiше спадає iз зростом об’єму), що показано на рис. 33 (переривиста крива вiдповiдає

const !

закону Бойля-Марiотта p = , суцiльна крива лiнiя описує адiабатич-

V

ний процес).

Роботу δA, яку виконує газ проти зовнiшних сил при його адiабатичному розширеннi, визначається за формулою

m	(185)
δA = −M CV dT.

43

Рис. № 34:

Повна робота газу A при адiабатичному розширеннi, якщо вiдома змiна його об’єму вiд V1 до V2 i i температури вiд T1 до T2, дорiвнює

m

T2

m

Z

A = −

CV

dT =

CV (T1 − T2)

M

M

T1

(186)

i

A =

p1 V1

1

−

V1

!γ−1

=

R T1

m

1

−

V1

!γ

γ − 1

V2

(γ − 1) M

V2

(187)

2.2.7Термiчний коефiцiєнт корисної дiї

При коловому (або циклiчному) процесi система (iдеальний газ), проходячи через ряд станiв, якi характеризуються макроскопiчними параметрами: температура T , тиск p i об’єм V , повертається в початковий стан. Будь-який замкнутий цикл змiни стану iдеального газу можна розкласти на два процеси: збiльшення i зменшення об’єму газу.

При збiльшеннi об’єму при переходi iз стану 1 в стан 2 газ виконує додатню роботу проти зовнiшнiх сил. На графiку цю додатню роботу +A1 можна представити площею пiд кривою залежностi тиску вiд об’єму (1 − a − 2), яка вiдповiдає зменшенню тиску вiд p1 до p2 (рис. 34 а).

Якщо ”траєкторiя” змiни параметрiв iдеального газу в координатах p−V при зменшеннi об’єму газу (2 −б−1) не

спiвпадає з траєкторiєю(1 − a − 2), то газ виконує вiд’ємну роботу −A2, яка дорiвнює площi (рис. 34а) пiд кривою залежностi тиску вiд об’єму (2 −б −1).

Сумарна робота A, яку виконує газ, параметри якого змiнюються по замкненiй траєкторiї, дорiвнює площi, яка ”обмежена” кривою залежностi тис-

I

ку вiд об’єму (1−a−2−б−1), бо A = A1 −A2 > 0. При цьому A = p dV > 0.

44

Цикл, в якому параметри газу змiнюються за стрiлкою годинника, називається прямим циклом. У разi змiни стану параметрiв газу по траєкторiї проти годинникової стрiлки годинника (обернений цикл), газ виконує

I

вiд’ємну работу A = p dV < 0 (рис. 34 б).

Прямий цикл використовується у циклiчних двигунах, якi виконують роботу за рахунок отриманої iз зовнi теплоти. Обернений цикл використовується у холодильних машинах, в яких за рахунок роботи зовнiшнiх сил переноситься теплота до тiл з бiльш високою температурою вiд тiл з меншою температурою.

При циклiчному процесi повна змiна внутрiшньої енергiї U = 0 (бо параметри газу в початковiй та кiнцевiй точках "траєкторiї"однаковi) i вся теплота Q, яка надається газу, йде на виконання їм роботи

Q = Q1 − Q2 = U + A = A,

(188)

де Q1 – кiлькiсть теплоти, яка надається системi вiд нагрiвача, Q2 – кiлькiсть теплоти, яка повертається газом пiсля закiнчення повного циклу.

Термiчний коефiцiєнт корисної дiї для кругового циклу є

η =	Q1 − Q2	.	(189)
	Q1

Коловий процес називається оборотним, якщо вiн може проходити як в прямому, так i в зворотному напрямку. Причому це такий процес, якщо система змiнюється спочатку в прямому, а потiм в зворотному напрямку i повернення системи (iдеального газа) в початковий стан не приводить до термодинамiчних змiн в самiй системi i змiн у зовнiш-

ньому середовищi. Тобто, траєкторiї змiни

Рис. № 35:

термодинамiчних параметрiв як в прямому, так i в зворотному напрямках повнiстю спiвпадають.

Класична термодинамiка розглядає рiвноважнi (квазiстатичнi) процеси, коли в кожний наступний, або попереднiй моменти часу система (iдеальний газ) характеризується рiвноважними параметрами: тиском, об’ємом i температурою (тобто, перехiд вiд одного стану в iнший вiдбувається за досить

45

довгий час спостереження без будь-яких змiн в оточуючому середовищi). Будь-якi рiвноважнi процеси є оборотними i є iдеалiзацiєю реальних процесiв.

Циклом Карно називається прямий круговий цикл iдеальної теплової машини, який вiдповiдає оборотнiй змiнi стану iдеального газу (без урахування витрат на теплопровiднiсть, теплове випромiнювання, тертя i т.д.), який включає двi iзотерми (одна описує iзотермiчне розширення газу, а друга – iзотермiчне стиснення) i двi адiабати – розширення i стиснення газу (рис. 35).

Для циклу Карно термiчний коефiцiєнт корисної дiї η визначається температурами нагрiвача T1 i холодильника T2

η =	T1 − T2	.	(190)
	T1

Справедливiсть цiєї формули буде доведено у наступному параграфi.

2.2.8Ентропiя iдеального газу

Ентропiя iдеального газу dS – це вiдношення кiлькостi теплоти δQ, яку отримує газ, до температури нагрiвача

	δQ	= dS .	(191)
	T

Це вiдношення ще також називається зведеною кiлькiстю теплоти.

Для iдеального газу, який здiйснює замкнутий оборотний iзотермiчний (dU = 0) цикл, iнтеграл по замкнутiй "траєкторiї" дорiвнює нулю

S = I	δQ	= 0 ,	(192)
	T

бо для оборотного замкнутого циклу δQ = dU + dA = 0 (площа фiгури, яку обмежує замкнутий оборотний цикл змiни стану газу в координатах p − V , дорiвнює нулю та dU ≡ 0).

46

Для необоротного замкнутого циклу ен-

тропiя iдеального газу збiльшується

S = S2 − S1 = I

δQ

= I

d

U + dA

> 0,

T

T

(193)

бо робота, яку виконує газ при необоротно-

му замкнутому циклi, є додатньою. Тобто

для довiльного замкнутого циклу ентропiя

iдеального газу дорiвнює нулю, або збiль-

шується

S ≥ 0.

(194)

При змiнi стану газу з положення 1 в поло-

ження 2 змiна ентропiї

S1−2 дорiвнює

2

δQ

2

d

U + δA

S1−2 = S2 − S1 = Z

= Z

.

(195)

T

T

1

1

Наведений вираз дозволяє визначити зростання ентропiї для довiльного переходу стану iдеального газу. Оскiльки

dU =

m

CV dT, а δA = p dV =

m

R T

dV

,

V

M

M

знайдемо змiну ентропiї

S1

2

=

m

CV

T2

dT

+ R

V2

dV

.

−

V

M

Z

T

Z

T1

V1

або

m

T2

V2

! .

S1−2

=

CV ln

+ R ln

M

T1

V1

Для адiабатичного процесу, коли δQ =

0, отримуємо, що

S1−2 = 0 S = const.

(199)

Для iзотермiчного процесу (T = const)

		m			V2				(200)
S1−2 =				R ln			.
		M			V1
Для iзохоричного процесу (V = const)
	m					T2			(201)
S1−2 =				CV ln				.
	M					T1

(196)

(197)

(198)

47

Визначимо коефiцiєнт корисної дiї η циклу Карно, який представлено в координатах T − S на рис. 36. На дiлянцi 1−2, яка вiдповiдає адiабатичному розширенню газу (рис. 34), робоче тiло отримує тепло Q1 вiд нагрiвача з температурою T1. Виходячи з формули (191), яка визначає змiну ентропiї, кiлькiсть теплоти Q1 дорiвнює

Q1 = T1 S2−1 = T1 (S2 − S1) .

(202)

На дiлянцi 3 − 4, яка вiдповiдає адiабатичному стисненню газу, робоче тiло вiддає деяку кiлькiсть теплоти −Q2, яка дорiвнює

	−Q2 = T2			S1−2 = T2 (S1 − S2) .				(203)
За визначенням коефiцiєнт корисної дiї η дорiвнює
η =	Q1 − Q2	=	T1 (S2 − S1) + T2 (S1 − S2)		=	T1 − T2	.	(204)
	Q1			T1 (S2 − S1)		T1

2.3 Одиницi вимiрювань, константи в молекулярнiй фiзицi

1.Маса газу – [m]=кг.

2.Атомна одиниця маси – [mi] = 1 а.о.м.= 1, 66054·

10−27 кг.

3.Вiдносна молекулярна маса – [Mr] = mмол/mi.

4.Об’єм газу – [V ] =м3.

5.Об’єм одного моля – Vm = 22, 41·10−3 м3/моль.

6.Температура – [T ] = K.

7.Густина газу – [ρ] = " mV # = мкг3 .

8.Питомий об’єм – [v] = V /m = 1/ρ = м3/кг.

9.Молярна маса – [M ]=кг/моль (M = Mr·10−3 кг/моль).

10.Кiлькiсть речовини – [ν] = [m/M] = моль.

11.Тиск – [p] = Па = мН2 .

12.Кiлькiсть молекул – [N ] = 1.

13.Число Авогадро – NA = 6, 022 · 1023 [моль−1].

14.Концентрацiя молекул газу – [n] = " NV # = (м3 моль)−1.

15.Температурний коефiцiєнт розширення газiв – [α] = 1/273, 15 К−1.

48

16.Молярна газова стала – R = 8, 31 Дж/(моль ·К).

17.Стала Больцмана – k = R/NA = 1, 38 · 10−23 Дж/К.

18.Нормальний тиск – p0 = 1, 013 · 105 Па.

19.Потрiйна точка води – T = 273, 15 К.

20.Кiлькiсть теплоти – [Q] = Дж.

21.Питома теплоємнiсть – [c] = Дж/(кг·К).

22.Молярна теплоємнiсть – [Cm] = Дж/(моль·К).

23.Ентропiя (зведена кiлькiсть теплоти) – [S] = Дж/К.

49

3Електрика та постiйний струм

3.1Електростатика

Точковий заряд Q – заряд, який розташовано в точцi i, лiнiйнi розмiри якого значно меншi, нiж вiдстанi, на яких розглядається дiя цього заряду на iншi.

Пробний заряд Q0 – завжди додатнiй точковий заряд довiльної величини.

3.1.1Закон збереження електричного заряду

Алгебраїчна сума електричних зарядiв будьякої замкненої системи (системи, що утворюється k зарядами, i яка не обмiнюється зарядами iз зовнiшнiми тiлами) залишається незмiнною, незалежно вiд того, якi процеси вiдбуваються в системi. Закон збереження електричного заряду можна сформулювати у виглядi

k	Qi = const.	(205)
X

i

3.1.2Закон Кулона

Модуль вектора сили взаємодiї мiж двома нерухомими точковими зарядами прямо пропорцiйний добутку зарядiв Q1 i Q2 i обернено пропорцiйний квадрату вiдстанi r2 мiж ними

	Fq = k	|Q1 Q2|	,	(206)
		r2

де k є коефiцiєнт пропорцiйностi i в СI дорiвнює

k =	1	(207)
	4πε0ε

i де ε0 – електростатична стала (ε0 = 8, 85 · 10−12 Кл2/Н·м2), величина ε

характеризує, у скiльки разiв сила Кулона у вакуумi бiльша нiж сила Кулона,

Рис. № 37:

яка дiє мiж тими ж зарядами, у даному середовищi.

50