Вища математика

6.ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

6.1.ВСТУП

6.1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ

Визначення

Рівність, що зв'язує між собою незалежні змінні, функцію цих змінних і її похідних до деякого порядку включно, називається диференціальним рівнянням. Якщо в диференціальному рівнянні похідна невідомої функції береться тільки по одної незалежної змінної, то рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням, у противному випадку — диференціальним рівнянням у частинних похідних.

1. y′ + P(t)y = Q(t)

— звичайне диференціальне рівняння (ЗДР).

∂2u ∂2u

2. ∂x2 + ∂y2 = 0

— рівняння в частинних похідних (РЧП).

Звичайне диференціальне рівняння має наступний загальний вид:

91

F(x,y,y′,…,y(n)) =0,

(1)

де F: I×D → R, I R, D R, I = <a;b>.

Визначення

Порядком ЗДР називається найвищий порядок похідної невідомої функції, що входить в ЗДР.

Визначення

Якщо рівняння (1) можна розв’язати щодо старшої похідної:

y(n) = f(x,y,y′,…,y(n–1)),

(2)

f: I×D0→R, D0 R, I=<a;b>, то рівняння (2) називається ЗДР, розв’язаним щодо старшої похідної.

Серед ЗДР важливим класом є рівняння виду

y′ = f(x,y),

(3)

f: I×D0 → R, D0 R.

Праві частини f рівнянь і систем, розв’язаних відносно похідної, будемо вважати неперервними функціями на області визначення.

92

Визначення

ЗДР виду (3) називаються ЗДР в нормальній формі Коші.

Визначення

Функція y = ϕ(x): I → R, диференційована на I, називається розв’язком ЗДР (3), якщо виконуються наступні умови:

(x; ϕ(x)) I×D0 x I,

ϕ′(x) = f(x, ϕ(x)) x I.

Визначення

Графік розв’язку y = ϕ(x) в R2 називається інтегральною кривою ЗДР.

6.1.2. ЗДР 1-ГО ПОРЯДКУ В НОРМАЛЬНІЙ ФОРМІ КОШІ

F(x,y,y′) = 0,

(1)

93

де F: I D → R, D R2, I = <a;b> — рівняння 1-го порядку в загально-

му вигляді. ЗДР 1-го порядку в нормальній формі Коші має такий

вигляд:

y′ = f(x,y)

(2)

або

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0

(3)

Уже для найпростішого ЗДР

y′ = f(x)

(4)

видно, що шукана функція

⌠

y = f(x)dx + C, C R (5)

⌡

визначається неоднозначно. ЗДР (4) має нескінченну незліченну множину розв’язків, кожний з яких виходить із (5) при фіксуванні певним чином довільної постійної C R. Розв’язок рівняння (4) у вигляді (5) називають його загальним розв’язком. Кожний розв’язок, отриманий із загального фіксуванням C називається частинним.

6.1.3. ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ РІВНЯННЯ (2)

Нехай f(x,y) визначена в області G R2. Кожній точці (x;y) G

рівняння (2) ставить у відповідність певні значення похідної dydx. Це

94

значення є тангенс кута нахилу дотичній до інтегральної кривої рівняння (2), що проходить через цю точку. Таким чином, ЗДР (2) кожній точці (x;y) G ставить у відповідність деякий напрямок (1; f(x,y)). Одержуємо поле напрямків.

Задача інтегрування ЗДР (2) геометрично витлумачується так: знайти такі криві, щоб напрямок їхніх дотичних у кожній точці збігалося б з напрямком поля в цій же точці.

Для побудови поля напрямків зручно користуватися ізоклінами, тобто такими кривими на площині x0y, де напрямки поля співпадають: f(x,y) = C, C R.

Приклад

dydx = x2 + y2

1) x2 + y2 = 0	x = y = 0 →
точка (0;0),
2) x2 + y2 = 1	→	окружність
радіуса 1 із центром у
точці (0;0),
3) x2 + y2 = 4	→	окружність

радіуса 2 із центром у точці (0;0),

і так далі.

Опираючись на побудоване поле напрямків побудуємо сімей-

ство інтегральних кривих заданого рівняння (див. рис.).

На цьому прикладі видно, що інтегральні криві утворюють

сімейство, що залежить від одного параметра C.

95

6.1.4. ЗАДАЧА КОШІ ДЛЯ РІВНЯННЯ (2)

Часто на практиці виникає задача відшукання не всіх розв’язків рівняння (2), а лише тих, які задовольняють деяким умовам. Одна з умов, яка найбільше часто зустрічається є так звана початкова умова

y(x0) = y0, (х0, y0) G

(6)

Числа х0, y0 називаються початковими даними, а задача відшукання розв’язків ЗДР (2), що задовольняють початковій умові (6) —

задачею Коші:

y′ = f(x,y),

y(x0) = y0

Зпопереднього пункту ясно, що геометричний зміст розв’язку задачі Коші складається у виділенні з нескінченної множини інтегральних криві рівняння (2) саме тих, графіки яких проходять через наперед

задану точку (х0, y0) G.

Важливою задачею є з'ясування умов на функцію f(x,y), при яких

можна затверджувати, що розв’язок задачі Коші існує і єдиний.

6.2. ІСНУВАННЯ Й ЄДНІСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧІ КОШІ

96

6.2.1. УМОВА ЛИПШИЦЯ. ДОСТАТНЯ УМОВА

Розглянемо задачу Коші (2),(6):

y′ = f(x,y),

y(x0) = y0

де f(x,y) C(G), G R2.

Визначення

Говорять, що f Lipy(G), якщо L=const. > 0, що (x,y1),(x,y2) G:

|f(x,y1) – f(x,y2)| ≤ L|y1 – y2|.

Визначення

Область G називається опуклою, якщо разом з будь-якими двома її точками їй належить і весь відрізок, що з'єднує ці точки.

Теорема (достатня умова виконання умови Липшиця)

Якщо f(x,y) в опуклій по y області G має обмежену частинну похідну по y, то f Lipy(G).

Доведення

97

На відрізку, що з'єднує точки (x,y1) і (x,y2) до функції f(x,y) як функції змінної y застосуємо теорему Лагранжа про середнє значення:

f(x,y1) – f(x,y2) = f y′(x,z)(y1 – y2), де y1 ≤ z ≤ y2.

Але за умовою теореми L > 0: |f y′(x,z)| ≤ L. Тоді: |f(x,y1) – f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|.

Теорему доведено.

Зауваження. Зворотне твердження, взагалі кажучи, невірно. Наприклад, f(x,y) = |y|: L = 1, але в точці y = 0 не існує похідна f y′.

Позначимо D = {х R, y R: |x – x0| ≤ a, |y – y0| ≤ b} G — прямокутник із центром у точці (x0,y0). Очевидно, функція f буде неперервною й у замкнутому прямокутнику D, а отже, і обмеженої в ньому, тобто M = const. > 0:

|f | ≤ M < ∞, (x;y) D.

6.2.2.ТЕОРЕМА ПІКАРА-КОШІ

Теорема Пікара-Коші

Якщо функція f у замкнутому прямокутнику D неперервна по х и y і

задовольняє умові Липшиця по змінної y, то на відрізку

98

I = {х R: |x – x0| ≤ h}, де

h = min(a, Mb ), розв’язок задачі Коші (2), (6) існує і єдиний.

Доведення

План:

1. Рівносильність задачі Коші й інтегрального рівняння

x

⌠

y(x) = y0 + f(t,y(t))dt .

⌡

x0

2.Побудова послідовності наближень і доведення її збіжності.

3.Доведення того, що границя послідовності наближень є розв’язком.

4.Доведення єдності.

99

6.2.3. ЗАУВАЖЕННЯ ДО ТЕОРЕМИ ПІКАРА-КОШІ. НАСЛІДКИ

Зауваження 1

Теорема носить локальний характер, тому що затверджується існування розв’язку задачі Коші на, взагалі кажучи, малому околі I

точки x0. Насправді, в умовах теореми розв’язок задачі Коші завжди можна продовжити до границі області G:

Зауваження 2

Неперервність функції f(x,y) істотна для існування розв’язку задачі Коші, а умова Липшиця — для єдності. Це підтверджує теорема Пєано:

Теорема Пєано

Якщо f C(G), то задача Коші (2), (6) має розв’язок в деякому околі

точки x0.

100