Вища математика

х3 − 5

8.∫ х2 + 4х + 3 dx;

х3 − 5

9.∫ х2 + 3х − 4 dx;

	∫	х3 − 6
			dx;
10.		х2 − 5х + 4

ВИЗНАЧЕНИЙ ТА НЕВЛАСНИЙ ІНТЕГРАЛИ

Частинами:

ln 2	π	2π	1	3
⌠	⌠	⌠	⌠	⌠
x e–xdx ,	x sin x dx ,	x2 cos x dx ,	arccos x dx ,	x arctg x dx
⌡	⌡	⌡	⌡	⌡
0	0	0	0	0

Заміною:

–1

0,75

1

x dx

⌠

dx

⌠

dx

⌠

,

,

5–4x

⌡x x2–1

⌡(x+1) x2+1

⌡

–2

0

–1

Знайти площини фігур, обмежених лініями:

1.ax = y2, ay = x2

2.y = x2, x + y = 2

3.y = 2x, y = 2, x = 0

4.y = 2x – x2, x + y = 0

Знайти невласні інтеграли

141

+∞

+∞

+∞

⌠ dx

⌠(x2

+ 1)dx

⌠

dx

1-го роду:

2

,

4

,

,

+ 1

2

+ 1

⌡ x

⌡ x

⌡x

1

0

–∞

	1						1
	⌠		dx				⌠
2-го роду:						,	ln x dx
				2
			1–x
	⌡						⌡
	–1						0

ЧИСЛОВІ РЯДИ

І. Дослідити на збіжність ряди:

∞

(n +1) 2n

∞

nn

∞

2n −1 n

∞

1

∞

2n+1

∑

, ∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

(n −1)!

n

n!

3n +1

3

n

n

n

n 2

n=1

3

n=1

=

n=1

=

n 1

∞

3

n

∞

1

∞

5

n

∞

n!

∑

,

∑

,

∑

,

∑

n!

(n +1)!

9n

n=1

n=1

2n n

n=1

n=1

План:

1.Перевірка необхідної умови збіжності. Якщо вона не виконується, ряд розбігається.

2.Застосування однієї з ознак збіжності ряду з додатними членами (порівняння, Д’Аламбера, Коші з коренем, інтегрального Коші). Якщо обрана ознака не дає результату, переходимо до наступної ознаки.

3.Даємо відповідь

142

Зауваження. Ознака порівняння звичайно застосовується разом із гармонічним рядом або із рядом геометричної прогресії, тобто із рядом, про який точно відомо збігається він, чи ні.

ІІ. Дослідити на збіжність знакозмінні ряди, застосовуючи ознаку Лейбниця:

	∞	(−1)	n−1	∞	(−1)	n−1
	∑			, ∑			.
		n2			n2 +1
	n=1			n=1

СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

Завдання. Розкласти функцію y в ряд Тейлора в околі даної точки x:

1. y = ln x , x = 1. 2. y = x3 , x = 1.

3. y = 1/x , x = 3.

πx

4. y = sin 4 , x = 2.

Завдання. Розкласти функцію y в ряд Маклорена:

5. у = x2ex. 6. у = cos (x + а). 7. у = ex sin x.

Знайти перші чотири члени ряду Маклорена:

8. y = ln(l + ex). 9. y = ecos x. 10. y = cosnx.

11. у = – ln cos x. 12. у = (1 + x)x.

143

Розкласти дані функції в околі точки x = 0 за формулами розкладення в ряд Маклорена функцій ex, sin x, cos x, ln(l + x) і (l + x)m:

13. y = e2x		14. y = e–x	3	15. y = sin		x	16. y = cos2x
						2
17.	у = (x — tg x) cos x			18. y = ln(10 + x)
19. y = x ln(l + x)		20. y = 3
				8 – x3

Інтервал збіжності

Знайти інтервали збіжності степеневих рядів:

21. 10x + 100x2 + ... + 10n xn + ...

	x2		n+1	xn
22. x –	2 +... + (–1)			n +...
23. x +	x2	+... +	xn		+...
	20		n 10n–1

24. l + x + ... + n! xn + ...

25. l + 2x2 + ... + 2n–1 x2(n–1) +...

26. 1 + 3x + ... + (n–1) 3n–1 xn–1 +...

Наближенні обчислення

27. Обчислити наближене значення π. (arcsinx = x+ 16 x3 + 403 x5 +1125 x7 +... x <1)

	1 sin x
28. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл	∫0	x
		dx.
144

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ № 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

(тут N — номер студента у списку) 1. Знайти ранг матриці А:

3	–5	5	–3
А = 5	–7	5	–9	.

8 –12 N –12

2.Розв’язати систему рівнянь за допомогою оберненої матриці, правила Крамера, метода Гауса і порівняти результати:

3x		− 2 x + 4 x				= N + 4
7 x		1+ 6 x		2− 3x		3= 4 N − 3	.
	1		2		3
	+ 10 x2			− 10 x3 = N − 10
x1

3.З’ясувати питання про сумісність системи рівнянь. У разі сумісності системи знайти множину її розв’язків:

	2x + 3x			2	− x − х		4		= 3
	1					3
3x1 + x2						+ 5x4			= 7
x − 9x			+	4x +19х					.
		2						4	= N
	1				3

4. Знайти множину розв’язків системи рівнянь:

	2x −5x + 3x − х = 0
	1		2	3	4
3x1 +		2x2	−5х3	− 2x4	= 0
Nx + x −(N +1)x − х = 0.
	1	2		3	4

145

5.Для кожного значення параметру α R з’ясувати питання про сумісність системи рівнянь. У разі сумісності системи знайти множину її розв’язків:

2x + 2x

2

− x

3

+ 5х

4

= 0

1

а)

3x1

+ 5x2

− 3х3 +13x4

= 0

;

+13x

− 7x + Nх

= α

7x

2

4

1

3

x1

+ α x2

= 0

α x

+ x

= 0

б)

1

2

+ x2

= α

x1

РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ № 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

(тут N – номер студента у списку)

1.

За яких значень α та β вектори

= (N, α, − 2)

та

= (N − 2, 3, β )

b

a

колінеарні?

2.

За якого значення параметру α два вектори

= (1, N, − 2)

та

a

= (N − 3, − 2, α) взаємно перпендикулярні?

b

3.

Знайти скалярний і векторний добутки векторів

= (1, N, − 2)

та

a

b = (N − 3, − 2, 2) .

4.Знайти площу ABC, якщо А(N, 2), В(N+1, –3) та С(–2, N–3).

5.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки А(N, –1) та В(4, N).

6. Знайти точку перетину прямої	x + 3		=	y + 2	та прямої, заданої
	0			N

рівнянням Nx + 4y + 9 = 0. 146

7. Знайти кут між прямими 2Nx + 7y + 3 = 0 і x – 4Ny – 1 = 0.

РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ №3. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

1. Обчислити:

2x −8

1) lim sin πx ,

x→3

3)

limsin5x + sin6x + sin7x

,

x→π

sin9x − sin4x

5)

lim

x2 − 2x2 − 3

,

x

3

−3x

+ 2

x→−1

7)

lim

7x

2 +5x

2 +1

,

14x2 + 2x +

3

x→∞

9)

lim

4x3 +1 − x

,

3x + 5

x→∞

11) lim 3

2x2 + 3x

,

3

2

x→∞

x

− 2x

13) lim

2

x

+ 4x − x ,

x→∞

15) lim sin x ,

x→∞ x

tgx − sin x

17) lim 3 ,

x→0 x

2cos x −1

2) limπ 3x − π ,

x→ 3

x2 − x − 2

4) lim 3 ,

x→−1 x +1

6) limn[ln(n + 6)− ln n],

n→∞

2x − 3

8) lim 2 + ,

x→∞ x 2

10)

lim

x2 +1

,

x +1

x→∞

−

,

12)

lim

1+ x

1− x

x

x→0

14)

limsin 4x ,

x→0 sin5x

16)

lim

1− cos2x ,

x→0

xsin x

18)

lim

arctg(2x −1)

,

4x

2

−

1

1

x→ 2

147

1− cos10x

1+ 3

19) lim

,

20) lim

x

,

1− cos15x

x→0

x→−11+ 5 x

x +1 x

2x + 3 x+1

21) lim

,

22) lim

,

x→∞ x −1

x→∞

2x +1

23) limn[ln(n + 4)− ln n],

24) limn[ln n − ln(n + 2)],

n→∞

n→∞

25) lim(1+ sin x)

1

,

26) lim

4

x

− 2

x

,

2x

x

x→0

x→0

27) lim(sin 2x)tg 2 2x,

x→

π

4

2. Обчислити:

sin px

3

lim

ln(px + q)

1.

lim

2.

x→+∞ ln(qx − p)

x→0 eqx −1

+

p

qx

1

3.

lim 1

4.

lim x p (ln x)q

x

x→+∞

x→+0

lim (e px −

lim(ln2

px)2

)

qx

5.

px + q

6.

x→+∞

x→+0

Додаток: Значення параметрів p та q для кожного з варіантів

визначається за таблицею:

Варіант	p	q	Варіант	p	q	Варіант	p	q
1	1	4	13	11	4	25	5	9
2	3	11	14	9	4	26	10	8
3	2	7	15	6	4	27	9	8
4	5	1	16	3	5	28	1	9
148

5	3	1	17	6	5	29	10	9
6	9	2	18	7	6	30	12	4
7	10	4	19	5	12	31	6	10
8	4	2	20	7	2	32	11	10
9	2	3	21	8	7	33	2	11
10	3	10	22	11	6	34	8	12
11	5	3	23	4	11	35	12	1
12	9	5	24	8	3

РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ №4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

І. Дослідити функції та побудувати їх графіки:

		y =	x + p	2. y = x3 − px2 + q
	1.		x + q

3.	y = (x + p)e−qx	4.	y = px4 − qx2
5.	y = (x + p)11 (x − q)12	6.	y =	(x +1)2
				(x − p)(x − q)

ІІ.Розв’язати задачі на екстремум:

7.До конусу з радіусом основи p та висотою q вписано циліндр найбільшого об’єму (основа циліндру знаходиться на основі конусу). Знайти об’єм цього циліндру.

8.Лист картону має форму прямокутника з боками p та q. По кутам цього прямокутника вирізали квадрати та зігнули виступаючі частини фігури.

149

Отримали відкриту зверху коробку, висота якої дорівнює боку

квадрата. Якою має бути довжини боку квадрата, щоб об’єм коробки

був найбільшим?

9.У селі А живе 10p школярів, в селі В живе 10q школярів. Відстань між селами А та В дорівнює 10 км, ці села з’єднує пряма дорога. В якому місці цієї дороги треба побудувати школу, спільну для сіл А та В, щоб всі школярі сіл А та В разом проходили (до школи та зі школи) найменшу можливу відстань?

10.Агрофірма має 1500 тонн винограду та хоче його продати на ринку. Сьогодні 1 кг винограду коштує 10 грн. Кожного дня вартість 1 кг винограду підвищується на 10p копійок. Кожного дня псується 9q тонн винограду. Як довго агрофірма може відкладати продаж винограду, щоб у результаті продажу отримати найбільшу можливу суму?

Додаток: Значення p та q для кожного з варіантів визначається за

попередньою таблицею.

РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ №5. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

1.

∫

(x + m)sin xdx

2.

∫

(mx + n)

dx

m2 − nx − x2

3.

∫(x − n)2 (2x + m)5 dx

4.

∫sin( x +

πm

) cos 2 (x −

πn

)dx

2

2

150