Вища математика

Визначення

Число a називається границею послідовності {xn}, якщо ε>0 N N,

n > N: xn – a < ε. Позначають границю так: lim xn = a, або xn → a.

n→∞

Виходячи з визначення модуля, можна записати

–ε < xn – a < ε, або a – ε < xn < a + ε.

Визначення

Якщо послідовність {xn} має границю, то її називають збіжною.

Визначення

Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо M > 0, що n: xn < M.

Теорема

Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

41

Доведення

Нехай lim xn = a, тоді в будь-який ε-окіл точки a попадають всі xn

n→∞

за винятком хіба лише скінченного числа точок xn. Нехай, починаючи з n = N+1 всі xn потрапили до інтервалу (a – ε; a + ε). Виберемо з чисел a – ε і a + ε найбільше за модулем і позначимо цей модуль M′. Тоді n>N: xn < M′. Позначимо

M = max(M′, x1 ,…, xN ).

Тоді n: xn < M. Теорему доведено.

Визначення

Послідовність {xn} (величина x) називається нескінченно малою

(НМ), якщо lim xn = 0.

n→∞

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

Сума скінченного числа нескінченно малих величин є нескінченно мала

Добуток обмеженої величини на нескінченно малу є нескінченно малою величиною

Добуток нескінченно малої на послідовність, що має скінченну границю, є нескінченно малою

42

Якщо lim xn = a, то {αn}→0, що xn = a + αn і навпаки, якщо

n→∞

xn = a + αn, де {αn}→0, то lim xn = a.

n→∞

Визначення

Послідовність {xn} (величина x) називається нескінченно великою (НВ), якщо M > 0 N(M), n > M: xn > M. Записують це так:

lim xn = ∞, або xn → ∞.

n→∞

Теорема
Якщо xn → ∞, то yn =	1	→ 0, і навпаки, із yn =	1	→ 0 витікає xn → ∞.
	xn		xn

3.1.2. ВЛАСТИВОСТІ ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Теорема

Якщо {xn}→a, {yn}→b, то lim (xn ± yn) = a ± b.

n→∞

Доведення

За властивістю нескінченно малих величин і за умовами теореми:

43

xn = a + αn і yn = b + βn ,

тоді xn ± yn = (a ± b) + (αn ± βn). Але, за першою властивістю нескінченно малих величин, (αn ± βn) = γn — нескінченно мала. Тоді, за останньою властивістю нескінченно малих величин,

lim (xn ± yn) = a ± b.

n→∞

Теорема

Якщо {xn}→a, {yn}→b, то lim (xn yn) = a b.

n→∞

Звідси маємо наслідок: lim (c xn) = c lim xn.

n→∞ n→∞

Теорема

Якщо {xn}→a, {yn}→b ≠ 0 і всі yn ≠ 0, то lim xn	= a.
n→∞ yn	b

3.1.3. МОНОТОННІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Визначення

Послідовність {xn} називається спадною, x1 > x2 >…> xn >… .

Визначення

Послідовність {xn} називається зростаючою, x1 < x2 <…< xn <… .

44

Визначення

Послідовність {xn} називається неспадною, x1 ≤ x2 ≤…≤ xn ≤… .

Визначення

Послідовність {xn} називається незростаючою, x1 ≥ x2 ≥…≥ xn ≥… . Кожна з перелічених послідовностей називається монотонною.

Теорема (достатня умова збіжності послідовності)

Обмежена монотонна послідовність має скінченну границю.

Широко відомий приклад застосування цієї теореми:

	1 n	= e ≈ 2,718.
lim 1 +	n
n→∞

У літературі доводиться, що послідовність 1 + 1n n монотонно зростаюча і при тому обмежена, принаймні, числом 3.

3.1.4. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

45

Визначення

Нехай задано дві змінні x та y разом із областями їх зміни D і E. Якщо кожному значенню x D за певним законом f ставиться у відповідність єдине значення y E, то говорять, що задана однозначна функція y = f(x), або f: D → E. При цьому D називають областю визначення, а E — множиною значень функції.

Існують три способи завдання функції — табличний, графічний і аналітичний (тобто, формулою).

Основними елементарними функціями є: y = xa, a R,

y = ax, a > 0, a ≠ 1, x R

y = logax, a > 0, a ≠ 1, x R+

y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, x R y = arcsin x, y = arccos x, x [–1;1]

y = arctg x, y = arcctg x, x R

Функція, утворена з основних елементарних функцій виконанням скінченного числа арифметичних дій та операцій утворення складних функцій, називається елементарною.

Існує два визначення границі функції. Наведемо одне з них:

46

Визначення за Коші

Число A називається границею

ε > 0 δ(ε) > 0, при 0 < x – a < δ:

чином: lim f(x) = A.

x→a

Визначення

функції y = f(x) при x → a, якщо f(x) – A < ε. Це записують таким

Число A називається границею функції y = f(x) при x → ∞, якщо

ε > 0 M(ε) > 0, при x > M: f(x) – A < ε. Це записують таким чином:

lim f(x) = A.

x→∞

Визначення

Функція y = f(x) при x →a називається нескінченно великою, якщо

M > 0 δ(M) > 0, при 0 < x – a < δ: f(x) > M. Це записують таким

чином: lim f(x) = ∞.

x→a

Визначення

Число A називається границею функції y = f(x) справа при x → a

(x > a), якщо функція визначена в правому околі точки a, і ε > 0

δ(ε) > 0, при a < x < a + δ: f(x) – A < ε. Це записують таким чином:

lim f(x) = A = f(a + 0).

x→a+0

47

Аналогічно визначається границя функції зліва.

Теорема

Функція y = f(x) має границю A при x → a, тоді і тільки тоді, коли вона в точці a має границю справа і границю зліва, кожна з котрих дорівнює A.

Сформулюємо основні теореми про границі функції.

Теорема

Функція y = f(x), що має границю A при x → a, обмежена в околі точки a.

Теорема

Якщо функція y = f(x) має границю, то ця границя єдина.

Теорема Гур’єва

Якщо f1(x) ≤ f(x) ≤ f2(x), і lim f1(x) = lim f2(x) = A, то lim f(x) = A.
x→a	x→a	x→a

48

Теорема

Число A є границею функції y = f(x) при x → a, тоді і тільки тоді, коли різниця f(x) – A є нескінченно малою функцією.

Теорема

Границя суми, різниці, добутку та частки функцій дорівнює відповідно сумі, різниці, добутку та частки границь функцій. Для частки, природно, треба, щоб знаменник був відмінним від нуля.

Визначення

Дробовий вираз, чисельник і знаменник якого є змінними величинами, що прямують до нуля (нескінченності), називається невизначеністю

0 ∞

виду 0 ∞ .

3.1.5. ДВІ ОСОБЛИВІ ГРАНИЦІ

Перша особлива границя

lim sin x= 1.

x→0 x

49

	Функція	sin x	не визначена при х = 0, тому що чисельник і
		x

знаменник дробу звертаються в нуль, тобто ми маємо невизначеність виду 00 . Знайдемо границю цієї функції при х →0. Розглянемо

окружність радіуса 1 (дивись мал.6); позначимо центральний кут МОВ через х, при цьому 0 < х < π/2. На малюнку 6 бачимо:

площа MOA < площі сектора MOA < площі COA.	(1)
Площа MOA = 1 ОА МВ = 1sin х.
2	2

Площа сектора MOA = 1 ОА АМ= 1 х.
		2			2
Площа COA = 1 ОА CA = 1 tg х.
		2			2
Нерівності (1) після скорочення на
записуються так:
Мал. 6		sin х < х < tg х.
Розділимо всі члени на sin х:
	x	1
1 <		<		,
	sin x		cos x

1

2

або

50