Вища математика
.pdfxi = xi, i = 1,2,3…,n,
де — визначник матриці A, xi — визначник, утворений із заміною коефіцієнтів при xi вільними членами bi.
Метод Ґаусса
Нехай є система (3) n рівнянь з n невідомими
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1a…21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = b2
an1x1 + an2x2 +…+ annxn = bn
Визначимо елементарні операції:
•додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на деякий множник.
•перестановка рівнянь в системі.
•перенумерування рівнянь або невідомих.
Застосовуючи ці операції, можна систему (3) привести до
трикутного виду:
21
c11x1 + c12x2 +…+ c1nxn = d1 |
|
|
c22x2 +…+ c2nxn = d2 |
… … … … |
|
|
cnnxn = dn |
А вже цю трикутну систему легко розв’язати, починаючи з останнього рівняння і поступово рухаючись знизу вверх.
Метод оберненої матриці
Нехай є система (4) n рівнянь з n невідомими
Ax = b,
Помножуючи обидві частини рівняння зліва на A–1, отримуємо
A–1Ax = A–1 b,
x = A–1 b.
Остання рівність є формулою розв’язку системи (4).
22
2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
Визначення
n-вимірним простором Rn називається множина упорядкованих сукупностей дійсних чисел (x1,x2,…,xn) в обраній системі координат. Точка простору позначається P(x1,x2,…,xn) Rn.
Наприклад, R1 — це пряма — одновимірний простір, R2 — це площина — двовимірний простір, R3 — це звичний для нас простір — тривимірний простір. Для n ≥ 4 наочність зникає.
Визначення
n-вимірним вектором a Rn називається напрямлений відрізок.
Це визначення вектора ґрунтується на наочності для n ≤ 3, тому розглянемо інший спосіб описання вектора. Визначимо n-вимірний вектор із Rn як довільний упорядкований набір дійсних чисел. Позначимо його a(a1,a2,…,an).
23
Визначення
Довжиною, або модулем вектора a(a1,a2,…,an) Rn називається число
|
= |
|
. |
|
a |
a12 + a22 + … + an2 |
(1) |
2.1. ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ
Визначення
Сумою двох векторів a і b називається третій вектор c, напрямлений із початку вектора a у кінець b, якщо початок b збігається з кінцем a.
ab
c = a + b
Мал.1
Якщо a = (a1,a2,…,an) і b = (b1,b2,…,bn),
то c = a + b = (a1 + b1,a2 + b2,…,an + bn).
24
Визначення
Протилежним для вектора a вектором –a називається паралельний йому, рівний за довжиною і протилежно напрямлений вектор.
Якщо a = (a1,a2,…,an), то –a = (–a1,–a2,…,–an).
Щоб від вектора a відняти вектор b, треба до вектора a додати вектор –b, протилежний до вектора b.
Визначення
Добутком вектора a на число α називається вектор, довжина якого дорівнює α a , однаково напрямлений з a, якщо α > 0, і протилежно напрямлений з a, якщо α < 0.
Якщо a = (a1,a2,…,an), то αa = (α a1, α a2,…, α an).
Визначення |
|
||||||||
Скалярним добутком вектора a на вектор b називається число |
|
||||||||
(a,b) = a b = |
|
a |
|
|
|
b |
|
cos ϕ, де ϕ — кут між a і b. |
(2) |
|
|
|
|
||||||
Скалярний добуток в Rn визначається такою рівністю: |
|
||||||||
(a,b) = a b = a1b1 + a2b2 +…+ anbn. |
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
Визначення
Вектори a і b, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаються
ортогональними.
Визначення
Векторним добутком векторів a і b називається вектор c такий, що
1)c = a b sin ϕ, де ϕ — кут між a і b (a,b) = a b,
2)c a і c b,
3)якщо c ≠ 0, то вектори утворюють праву трійку, тобто з кінця вектора c найкоротший поворот від a до b здійснюється проти годинникової стрілки.
Векторний добуток векторів позначається так: c = a b. Векторний добуток a a = 0 за визначенням. Нехай задано вектори a = (ax,ay,az), b = (bx,by,bz) у прямокутній системі координат i, j, k. Знайдемо їх векторний добуток a b.
c = a b = (ax i + ay j + az k)(bx i + by j + bz k) =
26
= axbx (i i) + axby (i j) + axbz (i k) +
+aybx (j i) + ayby (j j) + aybz (j k) +
+azbx (k i) + azby (k j) + azbz (k k).
Враховуючи, що i i = j j = k k = 0, а також, що i j=k, j i= –k, j k=i, k j= –i, k i=j, i k = –j, одержуємо
c = axby k – axbz j + aybz i – aybx k + azbx j – azby i =
= (aybz – azby) i + (azbx – axbz) j + (axby – aybx) k. |
(4) |
Бачимо, що при i, j, k стоять визначники другого порядку. Отже, для знаходження векторного добутку отримали формулу
i |
j k |
|
c = a b = ax |
ay az . |
(5) |
bx |
by bz |
|
Визначення
Нехай задано три вектори a, b і c. Змішаним добутком трьох векторів називається число (a b) c.
27
2.2. ПРЯМА ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ
Загальне рівняння прямої, що належить координатній площині x0y, має вигляд:
A x + B y + C = 0, |
(6) |
де C — вільний член.
Дослідимо загальне рівняння.
Якщо C = 0, то A x + B y = 0 — рівняння прямої, що проходить через початок координат.
Якщо A = 0, то B y + C = 0 — рівняння прямої, паралельної осі абсцис (перпендикулярної осі ординат).
Якщо B = 0, то A x + C = 0 — рівняння прямої, паралельної осі ординат (перпендикулярної осі абсцис).
Якщо A = C = 0, то y = 0 — рівняння осі абсцис. Якщо B = C = 0, то x = 0 — рівняння осі ординат.
Визначення
Розділимо обидві частини рівняння (6) на –C ≠ 0. Отримане рівняння
x |
+ y |
= 1 |
(7) |
a |
b |
|
|
28
називається рівнянням прямої у відрізках на осях. Тут a і b —
відрізки, які відтинає пряма від координатних осей.
Визначення
Розділимо обидві частини рівняння (6) на B ≠ 0. Рівняння
y = k x + b (8) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.
З′ясуємо геометричний зміст чисел k і b. |
При x = 0 знаходимо |
y = b, тобто b — це величина відрізка, який |
відтинається від осі |
ординат даною прямою. Далі, із (8) k = = tg α, де α — це кут,
утворений прямою (8) з додатним напрямом осі абсцис:
y
y – b
α
αx
0 |
x |
Мал. 2
29
Параметр k називають кутовим коефіцієнтом.
2.2.1. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ ЛІНІЇ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ 2 ТОЧКИ
Нехай дано 2 точки M1(x1,y1) і M2(x2,y2) на площині. Ці точки однозначно визначають пряму, яка проходить через них. Знайдемо рівняння цієї прямої.
Візьмемо довільну точку прямої M(x,y) і побудуємо вектори a, b:
a = M1M = (x – x1, y – y1),
b = M1M2 = (x2 – x1, y2 – y1).
Точка M(x,y) належить шуканій прямій тоді й тільки тоді, коли ці вектори лежать на цій прямій, тобто коли їх векторний добуток дорівнює нулю: a×b = 0, або
x – x1 |
y – y1 |
|
x2 – x1 |
y2 – y1 = 0, або |
(9) |
30