Вища математика

Тема 10. Основні теореми диференціального числення

Теорема Лагранжа. Теорема Коші.

Зростання та спадання функцій. Опуклість, угнутість функцій. Екстремуми функцій. Асимптоти функцій. Дослідження функцій та побудова графіків функцій.

Тема 11. Диференційованість функції багатьох змінних

Область визначення. Граничні точки множин. Внутрішні та межові точки множин. Відкриті та замкнені множини. Означення функції кількох змінних. Границя функції. Неперервність. Графічне зображення функцій.

Частинний та повний приріст функції. Частинні похідні функцій. Повний диференціал. Градієнт. Економічний зміст частинних похідних.

Тема 12. Дослідження функції багатьох змінних на екстремум, умовний екстремум

Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна і достатня умова існування екстремуму. Умовний екстремум. Розв’язання економічних задач за допомогою ФБЗ.

Тема 13. Невизначений інтеграл

Первісна функція. Невизначений інтеграл. Таблиця невизначених інтегралів. Метод безпосереднього інтегрування. Методи інтегрування заміною та частинами.

Поняття раціонального дробу. Найпростіші раціональні дроби. Інтегрування виразів, які містять квадратичний тричлен. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших. Інтегрування раціонального дробу.

Тема 14. Визначений інтеграл

Задача на обчислення площі криволінійної трапеції. Інтегральні суми. Означення визначеного інтеграла. Теорема про середнє. Визначений інтеграл зі змінною верхнього границею та його похідна. Теорема Ньютона-Лейбніца. Розв`язування економічних прикладів.

11

Методи підстановки та інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Тема 15. Диференціальні рівняння 1-го порядку

Основні означення. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші. Теорема існування та єдності розв`язку. Економічні задачі, що потребують використання диференціальних рівнянь.

Диференціальні рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними. Лінійні та однорідні рівняння першого порядку.

Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв`язки. Задача Коші.

Тема 16. Числові ряди, їх збіжність

Ряди. Основні означення. Збіжність рядів. Властивості збіжних рядів. Гармонічний ряд. Необхідна умова збіжності. Ряд геометричної прогресії.

Достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами: ознака порівняння, ознака Д`Аламбера, радикальна й інтегральна ознаки Коші.

Закономірні ряди. Абсолютна та умовна збіжність. Теорема Коші.

Тема 17. Степеневі ряди

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності. Область збіжності степеневого ряду.

12

1.ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.1.ВИЗНАЧНИКИ

Визначення

Матрицею називається прямокутна таблиця, складена з дійсних чисел. Позначається матриця великою буквою, наприклад, A:

a11	a12	a13 … a1n
A = a21	a22	a23 … a2n

… … … … …

am1 am2 am3 … amn

Тут через aij позначено елемент матриці, який стоїть на перетині i-го рядка та j-го стовпця. Розміром матриці називається m×n. Якщо m = n, то така матриця розміром n×n називається квадратною, її розміром називається число n:

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n

… … … …

an1 an2 … ann

Числа a11, a22,…,ann складають головну діагональ матриці A, а числа a1n, a2(n–1),…,an1 — побічну діагональ.

13

Визначення

a11 a21 … a n1

Матриця A′ = a12 a22 … a n2 називається транспонованою матри-

… … … …

a1n a2n … ann

цею відносно матриці A. Перехід від матриці A до A′ називається

операцією транспонування.

Кожній квадратній матриці A ставиться у відповідність певне число, яке називається визначником матриці:

a11 a12 … a1n

det A = = a21 a22 … a2n .

… … … …

an1 an2 … ann

Визначення

Мінором (n–1)-го порядку елемента aij квадратної матриці A n-го порядку називається визначник нової матриці, яка утворюється з матриці A внаслідок викреслювання рядка і стовпця, що перетинаються на цьому елементі. Мінор позначається через Mij. Мінори елементів головної діагоналі називаються головними мінорами матриці A.

Визначення

Алгебраїчне доповнення Aij елемента aij квадратної матриці A: 14

Aij = (–1)i+j Mij.

Тоді

n

det A = ∑aij Aij.

i=1

Визначення

Якщо рівність

c1d1 + c2d2+…+ cndn = 0

(де ci — сталі, а di — вектори) можлива за умови, що принаймні одне з чисел ci ≠ 0, то система векторів d1, d2 … dn називається лінійно залежною, якщо ж ця рівність можлива лише за умови, що всі ci = 0, то система векторів d1, d2 … dn називається лінійно незалежною.

Визначення

Якщо матриця A має відмінний від нуля мінор порядку r, а всі мінори вищого порядку (якщо вони є) дорівнюють нулю, то число r

називається рангом матриці A: r = rang A.

Розглянемо детальніше визначники матриць другого та третього порядків. Згідно останній формулі отримуємо

15

a11	a12		= a11 a22	– a12 a21,	(1)
	a22
a21

a11	a12	a13
a21	a22	a23	= a11A11 + a12A12 + a13A13 =	(2)
a31	a32	a33

= a

a22

a23

– a

a21

a23

+ a

a21

a22

=

11

a33

12

a33

13

a32

a32

a31

a31

= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a21 a12 a33.

1.2. ДІЇ НАД МАТРИЦЯМИ

Визначення

Сумою матриць однакового розміру A з елементами aij і B з елементами bij називається матриця C того ж розміру з елементами cij = aij + bij: C = A+B.

16

Визначення

Різницею двох матриць однакового розміру A з елементами aij і B з елементами bij називається матриця C того ж розміру з елементами cij = aij – bij: C = A–B.

Визначення

Добутком матриці A з елементами aij на число α називається матриця C того ж розміру з елементами cij = αaij: C = α A.

Нехай матриця A має розмір m×n, а матриця B — n×p.

Визначення

Добутком матриці A (розміром m×n) з елементами aij на матрицю B (розміром n×p) з елементами bij називається матриця C розміру m×p з

елементами cij, які дорівнюють сумі добутків елементів i-го рядка матриці A на відповідні елементи j-го стовпця матриці B:

cij = ai1b1j + ai2b2j +...+ ainbnj .

Визначення

Квадратна матриця E, діагональні елементи якої дорівнюють одиниці, а усі інші — нулю, називається одиничною матрицею.

17

1 0 … 0 E = 0…1………00 0 … 1

Визначення

Матрицею A–1, оберненою до даної квадратної матриці A, називається така, для якої A A–1 = A–1A = E.

A11 A21 … An1

A–1 = 1 A12 A22 … An2 .

… … … …

A1n A2n … Ann

1.3. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

1.3.1. ПОНЯТТЯ ПРО СИСТЕМУ РІВНЯНЬ

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду

18

a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1
…a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = b2	(3)
an1x1 + an2x2 +…+ annxn = bn

де коефіцієнти aij і вільні члени bi — відомі, x1,…,xn — невідомі. Систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна записати у векторній формі:

A x = b,

(4)

a11	a12 … a1n	x1		b1
де A = a21	a22 … a2n , x = x2		, b = b2		.
… … … …		…		…
an1	an2 … ann	xn		bn

Визначення

Система лінійних рівнянь (3) або (4) називається сумісною, якщо

вона має розв’язок, і несумісною, якщо не має розв’язків.

З’ясуємо умови сумісності системи (3). Разом з основною

матрицею системи A розглянемо розширену матрицю A*:

19

a11 a12 … a1n b1

A* = a21 a22 … a2n b2 .

… … … …

an1 an2 … ann bn

Теорема Кронекера-Копеллі

Система лінійних рівнянь (3) або (4) сумісна тоді і тільки тоді, коли rang A = rang A*.

1.3.2. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ

Метод Крамера

Розглянемо сумісну систему лінійних неоднорідних рівнянь (3):

a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1a…21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = b2

an1x1 + an2x2 +…+ annxn = bn

Для розв’язання цієї системи можна скористатися правилом Крамера:

Система (3) n рівнянь з n невідомими, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має один і тільки один розв’язок

20