- •Тема 3 основи теорії напруженого і деформованого стану
- •3.2. Лінійний напружений стан в більшості випадків цей вид напруженого стану виникає в стержнях при розтяганні або стисканні.
- •3.3.Плоский напружений стан
- •3.3.1. Виведення формул для напружень на похилих площадках
- •3.3.2. Обчислення величин головних напружень і визначення положення головних площадок
- •3.3.3. Екстремальні дотичні напруження
- •3.3.4. Приклади дослідження плоского напруженого стану в точці
- •3.4. Об'ємний напружений стан
- •3.4.1. Поняття про тензор напружень. Екстремальні дотичні напруження
- •3.4.2. Напруження на довільно нахилених площадках
- •3.4.3. Октаедричні напруження. Поняття про інтенсивність напружень
- •3.5. Деформований стан у точці
- •3.5.1. Поняття про тензор і девіатор тензора деформацій. Головні лінійні деформації
- •3.5.2. Закон Гука при плоскому та об'ємному напружених станах
- •3.5.3.Об'ємна деформація. Об'ємний закон Гука
- •3.6. Тести до теми №3 “Основи теорії напруженого та деформованого стану” Таблиця 3.1
3.4.2. Напруження на довільно нахилених площадках
Одержимо формули для напружень і, які діють на довільно орієнтованій площадці. Положення цієї площадки визначимо кутами, утвореними нормаллюдо цієї площадки з осями 1, 2 і 3, відповідно паралельними головним напруженнямі. Формули для напруженьтаодержимо з умови рівноваги елементарного чотиригранника (тетраедра), наведеного на рис.3.19, виділеного з головного паралелепіпеда.
Рис.3.19
Приймемо площу , тоді площі інших граней тетраедра як проекціїна координатні площини набувають вигляду[6]:
; ;. (3.44)
Проектуючи всі сили на нормаль , знайдемо
, (3.45)
звідки, з огляду на (3.44), одержимо формулу для нормального напруження:
. (3.46)
Зважаючи на те, напрям дотичного напруження невідомий, знайдемо повне напруження.
Якщо у просторі побудувати багатокутник сил, що діють на тетраедр, то вектор буде діагоналлю паралелепіпеда, у якого ребра дорівнюють. Таким чином:
.
Звідки, використовуючи (3.44), одержимо повне напруження:
. (3.47)
Тепер можна визначити дотичне напруження:
. (3.48)
Формули (3.46)(3.48) показують, що три головних напруження іцілком визначають об'ємний напружений стан.
3.4.3. Октаедричні напруження. Поняття про інтенсивність напружень
Площадка, рівнонахилена до напрямів трьох головних напружень, називається октаедричною, а напруження, що діють на цій площадці, – октаедричними напруженнями. Зазначені площадки відтинають на осях 1,2 і 3 рівні відрізки і утворюють у просторі вісьмигранник – октаедр (Рис.3.20).
Рис.3.20
Косинуси кутів є направляючими косинусами для нормаліі тому зв'язані співвідношенням:
.
Для октаедричних площадок і, отже,
.
Підставляючи це значення косинусів у (3.46) і (3.47), знайдемо:
. (3.49)
. (3.50)
За формулою (3.48)
.
Звідки остаточно маємо:
. (3.51)
При вивченні деформації різних тіл встановлено, що загальна деформація матеріалу навколо точки поділяються на деформацію зміни об’єму та деформацію зміни форми. Важливе значення октаедричних напружень визначається тим, що з першою з цих деформацій пов'язане напруження , а з другою .
Знаючи дотичні октаедричні напруження, можна розрахувати інтенсивність напружень:
(3.52)
або
(3.53)
3.5. Деформований стан у точці
3.5.1. Поняття про тензор і девіатор тензора деформацій. Головні лінійні деформації
Деформація будь-якого елементарного паралелепіпеда може бути надана такою, що складається з окремих найпростіших деформацій. (Рис.3.21). Усього складових деформацій шість: три лінійні () та три кутові, зсувові (). Лінійні складові являють собою відносне подовження ребер елементарного паралелепіпеда, а індекс при позначенні деформації показує, паралельно якій з осей відбувається це подовження. Лінійні деформації призводять до зміни об’єму і форми (наприклад, перехід від форми куба до форми паралелепіпеда). Кутові деформації являють собою зсув елементарного паралелепіпеда стосовно первісного положення. Додатному зсувові відповідає зменшення кута між додатним напрямком осей, від’ємному – збільшення цього кута.
Рис.3.21
Кути зсуву, проектовані на площину ХY, позначаються (або), на площинуYZ (або) і на площинуZX (або). При цьому кутові деформації попарно дорівнюють:;;. Таким чином, деформований стан, що являє собою сукупність лінійних і кутових деформацій для всіляких положень осей координат, у загальному випадку може бути описаний тензором деформацій, який включає в себе дев'ять компонентів: три відносні лінійні деформаціїі шість кутів зсуву, , .
(3.54)
Тензор деформації можна розділити на кульовий тензор деформацій
(3.55)
який характеризує об'ємну деформацію в точці, і на девіатор деформацій:
, (3.56)
який характеризує зміну форми в околі цієї самої точки.
Подовження будь-якого відрізка, що проходить через дану точку, можна виразити через шість компонентів деформації цієї точки:
, (3.57)
де косинуси між напрямком розглянутого відрізка та осями прямокутних координат.
Можна стверджувати, що в кожній точці (за аналогією з напруженим станом) тіла існують три взаємно перпендикулярні напрямки, які називаються головними осями деформацій, і які мають ту властивість, що матеріал по цих напрямках зазнає тільки лінійні деформації, тому що зсув при цьому дорівнює нулю.
Якщо підставити в (3.35) замість компонентів тензора напружень компоненти деформації, тобто змінити на,наі т.д., то можна одержати кубічне рівняння, що визначає головні лінійні деформації:
. (3.58)
Інваріанти тензора деформації матимуть вигляд:
; (3.59)
; (3.60)
. (3.61)
Вираз інваріантів через головні деформації має вигляд:
; (3.62)
; (3.63)
. (3.64)
За аналогією з напруженнями, подовження у напрямку, перпендикулярному до октаедричних площадок, дорівнюватиме:
. (3.65)
Відносна кутова деформація в октаедричних площадках має вигляд:
(3.66)
або
. (3.67)
Найбільший відносний зсув за аналогією з (3.43) дорівнює:
. (3.68)
Інтенсивність деформації найдемо з виразу:
(3.69)
або
, (3.70)
де коефіцієнт Пуассона.