1.8.3 Дененің ауырлық центрінің координаталарын анықтау әдістері

1. Симметрия әдісі. Егер біртекті дененің симметрия жазықтығы, симметрия өсі, не симметрия центрі бар болса, онда ол дененің ауырлық центрі симметрия жазықтығында, немесе симметрия өсінде, немесе симметрия центрінде жатады.

Мысалы, біртекті дененің симметрия жазықтығы оны екі бөлікке бөледі. Олардың ауырлық күштері тең, сондықтантең әсерлі күш аталған күштердің дәл ортасында, яғни симметрия жазықтығында жатады.

2. Бөлшектеу әдісі. Егер берілген дененің пішіні күрделі болса, онда оны ауырлық центрлері оңай табылатын бірнеше бөлшекке бөлеміз де, бүкіл дененің ауырлық центрінің координаталарын (1.8.7) – (1.8.10) өрнектерімен санаймыз. Бұл жерде қосылғыштардың саны дене бөлінген бөлшектердің санына тең.

3. Теріс массалар әдісі. Бұл әдісті бөлшектеу әдісінің бір түрі деуге болады. Бұл әдісті қуысты денелердің ауырлық центрін анықтауда пайдаланады. Мұндай жағдайда қуыстарды теріс таңбалы көлемдер немесе аудандар деп есептейміз.

4. Интегралдау әдісі. Егер денені ауырлық центрлері оңай табылатын бөлшектерге бөлуге болмаса, онда оны өте кіші элементар көлемдерге бөледі. Олар үшін(1.8.8) өрнек мына түрге келеді:

(1.8.11)

мұндағы - элементар көлем ішіндегі нүкте координаталары.

Одан кейін (1.8.11) теңдіктеріндегі барлық элементар көлемдерді нөлге ұмтылдырып, шекке өтеді, яғни осы көлемдерді бір нүктеге жинайды. Сонда теңдіктердегі қосындылар бүкіл көлемге таралған интегралдарға айналады да(1.8.11) теңдіктері мынаны береді:

. (1.8.12)

Осы сияқты, аудан мен сызықтың ауырлық центрлерінің координаталары үшін (1.8.9) және (1.8.10) өрнектерінен мына өрнектерді аламыз:

. (1.8.13)

. (1.8.14)

Осы өрнектерді ауырлық центрінің координаталарын анықтағанда қолдану мысалдары төменде қарастырылады.

5. Эксперименталдық әдіс. Күрделі формалы біртекті емес денелердің ауырлық центрін табу үшін, денені (самолет, паровоз және т.б.) сым арқанмен оның әртүрлі нүктелерінен іліп қою әдісін пайдаланады. Дене ілінген жіп бағыты ауырлық күшінің бағытын береді. Осы сызықтардың қиылысқан нүктесі дененің ауырлық центрі болады.

1.8.4 Кейбір жиі кездесетін біртекті денелердің ауырлық центрі

1. Үшбұрыш ауданының ауырлық центрі. 1.33 суреттегі үшбұрышы ауданын қабырғасына параллель түзу сызықтарменжіңішке жолаққа бөлейік. Әр жолақтың ауырлық центрі оның ортасында болады. Олай болса үшбұрыш ауданының ауырлық центрі медианасында жатады. Қалған екі медиана үшін де дәл осындай нәтиже аламыз. Демек,біртекті үшбұрыш ауданының ауырлық центрі (С нүктесі) оның медианаларының қиылысу нүктесінде жатады екен. Олай болса:

. (1.8.15)

2. Шеңбер доғасының ауырлық центрі. Центрі О нүктесінде болатын, радиусы R, орталық бұрышы -ға тең АВ шеңбер доғасын қарастырайық. Симметрия өсі бар болғандықтан доғаның ауырлық центрі осы өсте жатады (1.34 сурет). Ауырлық центрінің координатасын (1.8.13) өрнектерді қолданып табамыз. Ол үшін АВ доғасының бойынан орныбұрышымен

анықталатын, ұзындығы элементті бөлеміз. Бұл элементтің х координатасы: . Ендіх пен -дің мәндерін (1.8.14) өрнектерінің біріншісіне қойып, доғаның ұзындығы бойынша интеграл аламыз. Сонда:

мұндағы - АВ доғасының ұзындығы.

Нәтижесінде, шеңбер доғасының ауырлық центрі оның симметрия өсінде, О центрінен мынандай қашықтықта жататынын табамыз:

. (1.8.16)

3. Дөңгелек сектор ауданының ауырлық центрі. Радиусы R, орталық бұрышы -ға тең ОАВ дөңгелек секторды қарастырайық (1.35 сурет). ОАВ дөңгелек сектордың ауданын ойша О центрінен жүргізілген радиустармен секторға бөлейік. Секторлардың санын шексіз көбейткенде оларды ауырлық центрі радиусыдоғаның бойында жататын жазық үшбұрыштар деп қарастыруға болады. Демек, (1.8.16) - шеңбер доғасының ауырлық центрінің өрнегін пайдаланып дөңгелек сектор ауданының ауырлық центрін анықтайтын өрнек аламыз:

. (1.8.17)

4. Конус көлемінің ауырлық центрі. Ыңғайлы болу үшін биіктігі симметрия өсі болатын дөңгелек конусты қарастырайық. Конустың шыңын координатаның бас нүктесі етіп, Oz өсін конустың симметрия өсімен бағыттаймыз (1.36 сурет). Конусты Oz өсіне перпендикуляр элементар жіңішке дискілерге бөліп, қалыңдығы dz және ауданы S_z бір дискіні қарастырайық.

Бұл диск басқа дискілер сияқты конустың табанына ұқсас. Конусты біртекті деп алып, оның z_C координатасын (1.8.12) өрнегі бойынша санаймыз:

. (1.8.18)

Қиманың сызықтық өлшемдерінің конус табанының сәйкес өлшемдеріне қатынасы олардың конус шыңына дейінгі ара қашықтықтарына пропорционал, аудандардың қатынасы ара қашықтықтар квадратына пропорционал, яғни

Егер , ал конустың көлеміекенін ескерсек мынаны аламыз:

немесе .

Бұл өрнек кез келген конустың немесе пирамиданың көлемі үшін де орын алады. Демек, біртекті конус немесе пирамида көлемінің ауырлық центрі оның табанынан табан ауданының ауырлық центрін конус немесе пирамида шыңымен қосатын түзудің бөлігінде жатады.

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Параллель күштер жүйесін тең әсерлі күшке келтіру.

2. Параллель күштер центрі; оның радиус-векторы мен координаталары.

3. Қатты дененің ауырлық центрі; көлемнің, ауданның және сызықтың ауырлық центрі.

4. Ауырлық центрді анықтау әдістері.

5. Кейбір біртекті денелердің ауырлық центрі.

Ф Е ҰУ 703-02-11. Пәннің оқу-әдістемелік кешені. Екінші басылым