1.2 Жинақталатын күштер жүйесі

Әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысатын күштерді жинақталатын күштер дейміз (1.11 а) сурет).

1.2.1 Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күші

Абсолют қатты денеге әсер ететін күш жылжымалы вектор болғандықтан,жинақталатын күштер жүйесі бір нүктеге түсірілген күштер жүйесіне пара-пар

(1.11 ә) суреттегі О нүктесі). 

Теорема. Жинақталатын күштер жүйесін осы күштердің геометриялық қосындысына тең және олардың әсер ету сызықтарының қиылысу нүктесіне түсірілген тең әсерлі күшпен алмастыруға болады.

Дәлелдеу. Әсер ету сызықтары О нүктесінде қиылысатын жинақталатын күштер жүйесін (1.11 а) сурет) қарастырайық.

Статиканың 1 және 2 аксиомаларының салдарына сүйеніп барлық күштерді олардың әсер ету сызықтарының бойымен О нүктесіне көшіреміз (1.11 ә) сурет). Статиканың 3 аксиомасына сүйеніп жәнекүштерін олардыңтең әсерлі күшімен алмастырамыз:.

Алынған күші менкүшінтең әсерлі күшімен алмастырамыз:

.

Осылай барлық күштерді қоссақ, берілген күштер жүйесінің тең әсерлі күші болатын бір күш аламыз (1.11 б) сурет). Бұл күштің векторы былай жазылады:

. (1.2.1)

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін күштер көпбұрышын тұрғызу арқылы да анықтауға болады. Түсінікті болу үшін сурет жазықтығында жатқан төрт күш үшін көпбұрыш тұрғызайық (1.12 а) сурет).

күшін масштабпен О нүктесіне күшіне параллель етіп көшіріп, деп белгілейміз. Осы күштің ұшынан күшіне параллель етіп деп белгіленген күшті көшіреміз. Дәл осылай етіп және күштерін көшіреміз.

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлісі болатын күші осы күштердің геометриялық қосындысына тең күш ретінде қосылғыш күштердің біріншісінің басын соңғы күштің ұшымен қосатын вектор болады (1.12 ә) сурет).

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін аналитикалық түрде анықтауға болады. Ол үшін геометрияның келесі теоремасына сүйенеміз: күштердің векторлық қосындысының қалаған өске проекциясы қосылғыш күштердің осы өске проекцияларының алгебралық қосындысына тең.

Осыған сәйкес, жинақталатын күштер жүйесін құратын күштердің декарттық координата өстеріне проекцияларын біле отырып тең әсерлі күштің осы өстерге проекцияларын анықтауға болады:

. (1.2.2)

Сонда тең әсерлі күштің модулі мынандай болады:

. (1.2.3)

Оның бағыты бағыттаушы косинустармен анықталады:

. (1.2.4)

Бір жазықтықта орналасқан күштер үшін:

(1.2.5)

(1.2.6)

(1.2.7)

1.2.2 Жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары

 

Теорема. Қатты денеге түсірілген жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін оның тең әсерлі күшінің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Күштердің тепе-теңдік шарттарын геометриялық немесе аналитикалық түрде келтіруге болады.

1. Тепе-теңдіктің геометриялық шарты. Күштер жүйесінің бас векторы осы күштерден тұрғызылған күштер көпбұрышының тұйықтаушы қабырғасы болғандықтан (1.12 ә) суретті қараңыз),нөлге тең болу үшін көпбұрыштағы соңғы күштің ұшы бірінші күштің басымен дәл келуі керек, яғни көпбұрыш тұйық болу керек.

Демек, жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін осы күштерден тұрғызылған күштер көпбұрышының тұйық болуы қажет және жеткілікті.

2. Тепе-теңдіктің аналитикалық шарттары. Жүйенің бас векторының аналитикалық модулі (1.2.3) өрнегімен анықталады:

.

нөлге тең болу үшін бір мезгілде болуы керек, яғни осы күштердің координата өстеріне проекцияларының қосындысы нөлге тең. Сондықтан, кеңістіктегі жинақталатын күштер жүйесінің қажет және жеткілікті тепе-теңдік шарттары былай жазылады:

(1.2.8)

(1.2.8) теңдеулері тепе-теңдік шарттарының аналитикалық түрін береді: кеңістіктегі жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін осы күштердің координата өстерінің үшеуінің әрқайсысына проекцияларының қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Қатты денеге әсер ететін жазықтықтағы жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін күштердің координата өстерінің екеуіне проекцияларының қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

(1.2.9)