3.2.3 Нүкте динамикасының бірінші негізгі мәселесінің шешуі

Бұл мәселенің шешуін мысалдармен көрсетейік.

1-мысал. Массасы әуе шары үдеумен төмен қозғалады. Шар солүдеумен жоғары көтерілу үшін қандай массаны алып тастау қажет?

Шешуі. Шардың қозғалысының екі жағдайын қарастырамыз. Шарға ауырлық күші мен көтеру күші әсер етеді (3.2 сурет).

Шар төмен қарай қозғалғанда өсіне проекцияланғанНьютонның екінші заңы былай жазылады:

.

Шар жоғары қарай қозғалғанда бұл проекция мынандай болады:

.

Көтеру күшінің өзгермейтінін ескерсек осы екі теңдеуден мынаны аламыз:

.

Осыдан

.

2-мысал. Массасы лифт үдеумен көтеріле бастайды. Лифт ілінген сым арқанның керілу күшін анықтау керек.

Шешуі. Сым арқанды керілу күшімен алмастырамыз да (3.3 сурет),Ньютонның екінші заңын тік жоғары бағытталған өске проекциялаймыз:

Осы теңдеуден керілу күшін табамыз:

Егер лифт осындай үдеумен төмен қарай қозғала бастаса, онда сым арқанның керілу күші мынандай болады:

3-мысал. Дөңес көпірдің қисықтық радиусы R болсын. Массасы m, жылдамдығы автомобильдіңкөпірге түсіретін қысым күші қандай болатынын анықтау керек (3.4 сурет).

Шешуі. Автомобильге ауырлық күші меннормаль реакция күші әсер етеді. Бас нормаль өсін дөңес көпірдің ойыс жағына қарай бағыттап, табиғи өстер жүйесін қолданамыз. Ньютонның екінші заңын бас нормальға проекциялаймыз:

.

Осы теңдеуден: .

Енді нормаль үдеудің мәнін ескерсек:

.

Қысым күшінің модулі N-ге тең, бірақ төмен қарай

3.4 сурет бағытталған.

3.2.4 Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін интегралдау

Материялық нүктенің инерциалдық санақ жүйесіндегі орнын радиус-вектормен анықтаймыз. Нүктеге әсер ететін күш жалпы жағдайда t уақытқа, нүктенің орнына, яғни радиус-векторға және нүктенің жылдамдығына тәуелді болады, яғни . Егер нүктенің үдеуі, ал жылдамдығы екенін ескерсек, Ньютонның екінші заңы немесе нүкте динамикасының негізгі теңдеуі былай жазылады:

. (3.2.4)

Бұл теңдеу векторлық түрдегі нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеуі деп аталады.

(3.2.4) теңдеуі декарттық координата жүйесінің өстеріне проекцияланған үш скалярлық теңдеуге пара-пар:

. (3.2.5)

Бұл теңдеулер материялық нүкте қозғалысының декарттық координата өстеріне проекцияланған дифференциалдық теңдеулері деп аталады.

Егер жанама үдеу , нормаль үдеу , ал толық үдеудің бинормальға проекциясы екенін ескерсек,табиғи өстерге проекцияланған нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін аламыз:

(3.2.6)

Соңғы өрнектен материялық нүктені қозғалысқа келтіретін күштің жанасушы жазықтықта жататынын көреміз.

Нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері (3.2.5) және (3.2.6) түрінде жиі қолданылады.

Нүкте динамикасының екінші мәселесінің шешуі оның қозғалысының (3.2.5) дифференциалдық теңдеулерін интегралдауға тіреледі Алдымен бұл теңдеулерді төмендегідей етіп жазамыз:

(3.2.7)

(3.2.7) теңдеулері x, y, z белгісіз функцияларға қатысты екінші ретті үш дифференциалдық теңдеулер жүйесін береді.

Біз осы теңдеулер жүйесін интегралдап, С₁,С₂,…,С₆ алты интегралдау тұрақтыларына тәуелді жалпы шешімін алдық делік:

(3.2.8)

Интегралдау тұрақтылары әртүрлі мәнге ие бола алады, сондықтан бірдей күш әсер ететін нүкте түрлі қозғалыс жасай алады. Сонымен, нүкте қозғалысының нақты заңын анықтау үшін тек күштің берілуі жеткіліксіз екен. (3.2.8) шешімі нақты мәселеге сәйкес болу үшін қозғалыстың бастапқы шарттарын беру қажет, яғни нүктенің бастапқы орны мен бастапқы жылдамдығын беру керек.

Егер бастапқы уақыт болса, осы уақыттағы координаталар мен жылдамдықтар нүкте қозғалысының бастапқы шарттары деп аталатын болады:

t=0: (3.2.9)

(3.2.9) бастапқы шарттар (3.2.8) шешімдері мен олардың бірінші туындыларына қойылады:

(3.2.10)

Осылай алынған теңдеулерден интегралдау тұрақтылары табылады:

(3.2.11)

Табылған тұрақтыларды (3.2.8) жалпы шешімге қойып, берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін есептің шешуін алатын боламыз.

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Динамика нені зерттейді?

2. Ньютонның заңдары.

3. Еркін және еркін емес нүкте үшін динамиканың екі негізгі мәселесі.

4. Бастапқы шарттар және оларды қолдану.

Дәріс-2. Механикалық жүйе динамикасына кіріспе. Массалар геометриясы.