4.1 Механикалық жүйе динамикасына кіріспе

Нүкте динамикасында күштер әсеріндегі бір материялық нүктенің қозғалыс заңдары зерттелді. Енді материялық нүктелердің механикалық жүйесінің қозғалысын қарастырамыз.

Қозғалыстары мен орны өзара тәуелді болып келетін материялық нүктелер жиынтығы механикалық жүйе деп аталады. Қатты дене өзгермейтін механикалық жүйе болып табылады.

Механикалық жүйе ретінде күн жүйесін қарастыруға болады, өйткені бұл жүйенің барлық денелері өзара тартылыс күштерімен байланысады.

4.1.1 Механикалық жүйенің массасы және массалар центрі

Жүйедегі нүктелердің массаларының қосындысына тең шама жүйенің массасы деп аталады:

(4.1.1)

мұндағы m_k – k - нөмірлі нүктенің массасы, ал n – жүйедегі нүктелер саны.

Механикалық жүйенің массалар центрі немесе инерция центрі деп радиус-векторы мына өрнекпен анықталатын геометриялық нүктені айтады:

(4.1.2)

осыдан массалар центрінің координаталарын аламыз:

(4.1.3)

Бұл өрнектердегі мен – k - нөмірлі нүктенің радиус-векторы мен координаталары.

4.1.2 Күштердің классификациясы

Статика бөлімі мен нүкте динамикасындағыдай, жүйеге әсер ететін күштерді байланыстарға тәуелсіз актив күштерге және реакция күштеріне бөлуге болады.

Сонымен қатар механикалық жүйе динамикасында күштерді сыртқы және ішкі күштер деп те бөледі. Жүйеге кірмейтін денелердің жүйе нүктелеріне әсерінен пайда болатын күштер сыртқы күштер деп аталады. Жүйе нүктелерінің өзара әсерінен туатын күштер ішкі күштер деп аталады. Сыртқы күштерді , ал ішкі күштерді деп белгілейміз. Мұндағы «e» және «i» индекстері француздың exterieur – сыртқы және interieur – ішкі деген сөздерінің бірінші әріптері.

Бір күштің өзі кейде сыртқы, кейде ішкі күш болуы мүмкін. Мысалы, күн жүйесін қарастырғанда жердің күнге тартылыс күші ішкі күшке жатады. Егер жердің жалғыз өзінің траекториясы мен қозғалысын қарастырсақ, аталған күш сыртқы күш болады.

Жүйенің ішкі күштерінің екі қасиеті бар.

Бірінші қасиет. Барлық ішкі күштердің геометриялық қосындысы нөлге тең:

. (4.1.4)

Екінші қасиет. Жүйенің барлық ішкі күштерінің кез келген центрге қатысты моменттерінің геометриялық қосындысы нөлге тең:

. (4.1.5)

(4.1.4) және (4.1.5) теңдіктері ішкі күштер жүйенің әртүрлі нүктесіне түскендіктен, олардың бірін-бірі теңестіретінін білдірмейді.

4.2 Инерция моменттері

Механикалық жүйенің қозғалысы оның массасына, әсер ететін күштерге және жүйедегі массаның таралуына тәуелді. Жүйедегі массаның таралуы оның массалар центрінің орнымен және инерция моментімен сипатталады.

4.2.1 Өске қатысты инерция моменті (өстік инерция моменті). Инерция радиусы

Дене массасы ілгерілемелі қозғалыс үшін қандай роль атқарса, өстік инерция моменті дененің айналмалы қозғалысы үшін сондай роль атқарады.

Механикалық жүйенің өсіне қатысты инерция моменті деп жүйенің барлық нүктелері массаларының олардан осы өске дейінгі ара қашықтықтың квадратының көбейтіндісінің қосындысына тең скаляр шаманы айтады:

, (4.2.1)

мұндағы h_k – k - нөмірлі нүктеден өсіне дейінгі ара қашықтық (3.26 сурет).

Декарттық координата өстеріне қатысты өстік инерция моменттерін санау үшін нүктелерден осы өстерге дейінгі ара қашықтықты олардың x_k, y_k, z_k координаталары арқылы өрнектеуге болады. Сонда x, y, z координата өстеріне қатысты өстік инерция моменттері былай өрнектелетін болады:

(4.2.2)

(4.2.1) және (4.2.2) өрнектері жүйе үшін де, қатты дене үшін де орын алады. Дене тұтас болған (массалар үздіксіз таралған) жағдайда оны массасы (- дененің тығыздығы)элементар көлемдерге бөледі. Сонда (4.2.1) және (4.2.2) өрнектерінің оң жағындағы қосындылар интегралдарға өтеді:

, (4.2.3)

және

(4.2.4)

Бұл өрнектердегі интеграл дененің бүкіл көлемі бойынша алынады. Кейбір жағдайларда оны қос интегралмен немесе тіпті жай анықталған интегралмен алмастыруға болады. Біртекті денелердің инерция моменттерін санағанда олар үшінтығыздықтың тұрақты шама болатынын ескеру керек.

Көп есептеулерде инерция радиусы деген ұғым жиі қолданылады. Дененің өске қатысты инерция радиусы деп өстен бүкіл дененің массасы М шоғырланған нүктеге дейінгі  ара қашықтықты айтады. Нүктенің осы өске қатысты инерция моменті дененің сол өске қатысты инерция моментіне тең болуы керек:

. (4.2.5)

Инерция радиусын біле отырып, (4.2.5) өрнегінен дененің инерция моментін анықтауға болады, немесе керісінше, дененің инерция моментін біле отырып, инерция радиусын анықтауға болады.