4.3.5 Механикалық жүйенің кинетикалық моменті

Жүйенің қозғалыс мөлшерінің векторы оның ілгерілемелі қозғалысын сипаттайды. Жүйенің айналмалы қозғалысы кинетикалық момент деп аталатын шамамен сипатталады.

Бір материялық нүктенің О центріне қатысты қозғалыс мөлшерінің моменті былай анықталған болатын: . Механикалық жүйенің О центріне қатысты қозғалыс мөлшерінің бас моменті немесе кинетикалық моменті деп жүйедегі барлық нүктелердің қозғалыс мөлшерлерінің сол нүктеге қатысты моменттерінің геометриялық қосындысын айтады:

. (4.3.11)

Мұндағы – басы О центрінде болатын материялық нүктенің радиус-векторы, m_k мен – осы нүктенің массасы мен жылдамдығы.

Егер механикалық жүйе кез келген көлемді толтыратын тұтас орта болса, онда қосынды сәйкес көлемді интегралға айналады.

Вектор болғандықтан, кинетикалық момент проекцияларымен берілуі мүмкін. Атап айтқанда, (4.3.11) теңдеуінің декарттық координата өстеріне проекциялары былай жазылады:

(4.3.12)

мұндағы x_k, y_k, z_k – M_k нүктесінің координаталары.

(4.3.12) өрнегі механикалық жүйенің координата өстеріне қатысты кинетикалық моменттері болады.

Енді айналмалы қозғалыстағы дененің Oz айналу өсіне қатысты кинетикалық моментін табайық (3.31 сурет).

Айналу өсінен h_k қашықтықтағы нүктенің жылдамдығы . Сондықтан осы нүкте- нің өске қатысты қозғалыс мөлшерінің моменті:

.

Сонда ортақ көбейгішті жақшадан шығарып, бүкіл дене үшін мынаны аламыз:

.

Жақша ішіндегі шама дененің Oz өсіне қатысты қозғалыс мөлшерінің моменті. Сонымен, айналмалы қозғалыстағы қатты дененің айналу өсіне қатысты кинетикалық моменті мына өрнекпен анықталады екен:

. (4.3.13)

Демек, айналмалы қозғалыстағы қатты дененің айналу өсіне қатысты кинетикалық моменті дененің осы өске қатысты инерция моменті мен осы өске проекцияланған дененің бұрыштық жылдамдығының көбейтіндісіне тең.

4.3.6 Жүйенің кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теорема

n материялық нүктеден тұратын жүйеге әсер ететін барлық күштер мен реакция күштерін сыртқы және ішкі күштерге бөлейік. Сонда жүйенің k-нүктесі үшін О центріне қатысты кинетикалық моменттің өзгеруі туралы теореманы былай жазуға болады:

,

бұл жердегі мен– осы нүктегеәсер ететін барлық сыртқы және ішкі күштердің тең әсерлілері.

Осы теореманы жүйенің барлық нүктелері үшін жазып, оларды қосуға болады. Нәтижесінде мынаны аламыз:

.

Бұл өрнектегі соңғы қосылғыш ішкі күштердің қасиеті бойынша нөлге тең, ал дифференциал астындағы өрнек жүйенің О центріне қатысты кинетикалық моменті . Сонымен, жүйенің кинетикалық моментінің өзгеруі туралы теореманы аламыз:

. (4.3.14)

Теорема: механикалық жүйенің О центріне қатысты кинетикалық моментінің уақыт бойынша туындысы жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің сол центрге қатысты моменттерінің геометриялық қосындысына тең.

(3.9.14) теңдеуін координата өстеріне проекциялап, өстерге қатысты моменттер теоремасын аламыз:

. (4.3.15)

Бұл теорема дененің айналмалы қозғалысын зерттеуде, гироскоптар теориясында, соққы теориясында кеңінен қолданылады.

Жүйенің кинетикалық моментінің сақталу заңдары:

1. Егер барлық сыртқы күштердің бір центрге қатысты моменттерінің геометриялық қосындысы нөлге тең болса, онда жүйенің осы центрге қатысты кинетикалық моментінің шамасы да, бағыты да өзгермейді.

2. Егер сыртқы күштердің бір өске қатысты моменттерінің қосындысы нөлге тең болса, онда жүйенің осы өске қатысты кинетикалық моменті тұрақты болады.

Жүйенің кинетикалық моментінің сақталу заңдарынан ішкі күштердің жүйенің кинетикалық моментін өзгертпейтінін аңғарамыз.