4.3.1 Механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық тендеулері

n материялық нүктеден тұратын жүйені қарастырайық. Байланыстарды олардың реакцияларымен алмастырамыз. Жүйенің k-номерлі нүктесіне әсер ететін барлық сыртқы және ішкі күштердің тең әсерлі күштерін және деп белгілейміз. Енді әр нүкте үшін Ньютонның екінші заңын жазамыз:

(4.3.1)

болғандықтан, (4.3.1) жүйесі дифференциалдық теңдеулер жүйесі болады. Бұл теңдеулер механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулерінің векторлық түрін береді. Бұл теңдеулердің саны жүйедегі нүктелердің санына, яғни n-ге тең.

(4.3.1) теңдеулерін декарттық координата өстеріне проекциялап, механикалық жүйе қозғалысының осы өстерге проекцияланған 3n дифференциалдық теңдеуін аламыз.

Жүйе динамикасы мәселесін толық шешу үшін берілген күштер мен байланыстарды біле отырып, сәйкес дифференциалдық теңдеуді интегралдау нәтижесінде жүйенің әр нүктесінің қозғалыс заңы мен байланыс реакцияларын анықтау керек. Іс жүзінде мұндай зерттеуді жүргізу жүйе нүктелері санының көптігіне және ішкі күштер мен байланыс реакцияларының аналитикалық өрнегінің күрделілігіне байланысты, мүмкін емес.

Осындай жағдайда жүйе динамикасының жалпы теоремалары көмекке келеді.

4.3.2 Жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы теорема

Көп жағдайда жүйенің қозғалысының сипатын анықтау үшін оның массалар центрінің қозғалыс заңын білу керек болады. Осы заңды анықтау үшін механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін (4.3.1) түрінде құрып, оның оң жағын және сол жағын қосайық:

. (4.3.2)

Енді осы теңдеудің сол жағын түрлендірейік. Ол үшін жүйенің массалар центрінің радиус-векторының былай анықталатынын еске аламыз:

,

олай болса .

Осыдан :

немесе ,

мұндағы – жүйенің массалар центрінің үдеуі.

Бұл теңдеуді (4.3.2) теңдеуімен салыстырып, барлық ішкі күштердің қосындысының нөлге тең болатынын ескерсек, нәтижесінде жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы теореманы аламыз:

. (4.3.3)

Теорема: жүйе массасы мен оның массалар центрі үдеуінің көбейтіндісі жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық қосындысына тең.

(4.3.3) векторлық теңдеу оның декарттық координата өстеріне проекциялары болатын үш скаляр теңдеуге пара-пар болады:

. (4.3.4)

(4.3.4) теңдеулерінің шешімі жүйенің массалар центрінің қозғалыс заңы болады. Егер дене ілгерілемелі қозғалса, массалар центрінің қозғалысы оның қозғалысын толық анықтайды.

Жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы теореманың салдары:

1. Егер жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық қосындысы нөлге тең болса, онда жүйенің массалар центрі тыныштықта болады немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс жасайды.

2. Егер жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің бір өске проекциясы нөлге тең болса, онда жүйенің массалар центрінің жылдамдығының осы өске проекциясы өзгермейді.

3. Жүйенің массалар центрінің қозғалысын ешқандай ішкі күштермен өзгертуге болмайды. Атап айтқанда, ішкі күштер жүйенің массалар центрінің тепе теңдігін бұза алмайды, олар сыртқы күштер арқылы ғана әсер ете алады.