4.3.7 Жүйенің және қатты дененің кинетикалық энергиясы

Бір нүктенің кинетикалық энергиясы өрнегімен анықталады. Жүйенің кинетикалық энергиясы деп жүйедегі барлық нүктелердің кинетикалық энергияларының қосындысына тең Т скаляр шаманы айтады

. (4.3.16)

Жүйенің кинетикалық энергиясы жүйенің қозғалыс бағытына тәуелді емес, ол жүйенің ілгерілемелі қозғалысын да, айналмалы қозғалысын да сипаттайды.

Көбінесе механикалық жүйе қатты денеден немесе қатты денелердің жиынтығынан тұрады. Осыған байланысты әртүрлі қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясын анықтай білу керек.

1. Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы. Біз мұндай қозғалыстағы дененің барлық нүктелерінің жылдамдықтарының бірдей болатынын кинематикадан білеміз. Демек, кез келген k нүкте үшін , мұндағы – дененің массалар центрінің жылдамдығы. Сонда (4.3.16) өрнегінен:

немесе

(4.3.17)

мұндағы М – дененің массасы.

Сонымен, ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы дененің массасы мен оның массалар центрі жылдамдығы квадратының көбейтіндісінің жартысына тең.

2. Қатты дененің айналмалы қозғалысы. Егер дене қозғалмайтын Oz өсімен айналатын болса (3.31 сурет), онда оның айналу өсінен h_k қашықтықта жатқан кез келген нүктесінің жылдамдығы:. Жылдамдықтың осы мәнін (4.3.16)-ға қойсақ:

.

Жақшаның ішіндегі шама дененің Oz өсіне қатысты инерция моменті. Сондықтан

, (4.3.18)

яғни айналмалы қозғалыстағы дененің кинетикалық энергиясы дененің айналу өсіне қатысты инерция моменті мен бұрыштық жылдамдықтың квадраты көбейтіндісінің жартысына тең.

3.Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы. Біз қатты дененің жазық-параллель қозғалысын оның полюспен бірге ілгерілемелі қозғалысы мен жылдамдықтардың лездік центрі арқылы (Р нүктесі) қозғалыс жазықтығына перпендикуляр өтетін өске қатысты айналмалы қозғалысының қосындысы деп қарастыруға болатынын кинематикадан білеміз (3.32 сурет). Демек, (4.3.18) өрнек бойынша:

,

мұндағы – дененің жоғарыда аталған өске қатысты инерция моменті.

Уақыт өткен сайын жылдамдықтардың лездік центрінің орны өзгереді, сондықтан инерция моменті де өзгеретін болады. Массалар центрі денеге қатысты өзінің орнын өзгертпейтін болғандықтан Гюйгенс-Штейнер теоремасын пайдаланамыз:

,

мұндағы . Нәтижесінде мынаны аламыз:

.

Кинематикадан С нүктесінің жылдамдығы белгілі: , яғни. Сонда төмендегі өрнекті аламыз:

. (4.3.19)

Жазық-параллель қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы оның массалар центрімен бірге ілгерілемелі қозғалысының кинетикалық энергиясы мен центр арқылы қозғалыс жазықтығына перпендикуляр өтетін өске қатысты айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясының қосындысына тең.

Егер жүйе бірнеше денеден тұрса, онда оның Т кинетикалық энергиясы жүйедегі барлық денелердің кинетикалық энергияларының қосындысына тең:

.

Дәріс-4. Механикалық жүйеге әсер ететін күштердің жұмысы мен қуаты.

4.3.8 Механикалық жүйеге әсер ететін күштердің жұмысы мен қуаты.

Механикалық жүйенің қозғалысын зерттегенде оған әсер ететін күштердің жұмысын анықтау қажеттілігі пайда болады. Күш жұмысын табудың кейбір дербес жағдайларын қарастырайық.

1. Ауырлық күшінің жұмысы. Біртекті салмақ өрісіндегі жүйенің әрбір нүтесіне ауырлық күші әсер етеді. Бұл күштіңэлементар жұмысы: -ға тең. z өсін вертикаль жоғары бағыттаймыз.

Сонда күшінің жәнеөстеріне проекциялары мынандай болады, демек

.

Осыдан жүйеге түсірілген барлық ауырлық күштердің элементар жұмыс- тарының қосындысы:

немесе (4.1.3) өрнегін ескерсек, мынаны аламыз

,

мұндағы М – бүкіл жүйенің массасы, ал – оның ауырлық центрінің координатасы.

Жүйе бастапқы орнынан шекті орынға орын ауыстырғанда ауырлық күшінің толық жұмысы мына өрнекпен анықталады:

.

Бұл өрнектегі мен – бастапқы және шекті орындардағы жүйенің z_C ауырлық центрінің координатасының мәндері.

Енді жүйенің массалар центрінің орын ауыстыру h_C биіктігінің ұғымын ендірейік:

,

сонда механикалық жүйенің ауырлық күші жұмысының өрнегін аламыз:

, (4.3.20)

демек, жүйенің ауырлық күшінің жұмысы плюс немесе минус таңбасымен алынған бүкіл жүйе салмағының жүйенің ауырлық центрінің вертикаль орын ауыстыруына көбейтіндісіне тең. Плюс таңбасы жүйенің ауырлық центрі төмен қарай орын ауыстырғанда, ал минус таңбасы – жоғары қарай орын ауыстырғанда алынады.

2. Айналмалы қозғалыстағы денеге түсірілген күштің жұмысы. Дененің z айналу өсінен h қашықтықта жатқан кез келген нүктеге күші түсірілсін (3.33 сурет).

Денеге түсірілген күшінің элементар жұмысы мына өрнекпен саналады:

,

мұндағы , ал – дененің элементар айналу бұрышы.

көбейтіндісі күшінің дененің айналу өсіне қатысты моментіне тең екендігі 3.33 суреттен көрінеді, яғни екен. Бұл моментті M_z арқылы белгілеп, айналдырушы момент деп атаймыз. Сонда мынандай өрнек аламыз:

, (4.3.21)

яғни айналмалы қозғалыстағы денеге түсірілген күштің элементар жұмысы осы күштің айналу өсіне қатысты моментінің (айналдырушы момент) элементар айналу бұрышқа көбейтіндісіне тең.

Дене шекті бұрышқа бұрылғанда күшінің жұмысы төмендегі өрнекпен анықталады:

, (4.3.22)

мұндағы ₁ – дененің айналу бұрышы.

Егер қозғалыс кезінде күш моменті өзгермесе, яғни болса, онда

, (4.3.23)

яғни, айналмалы қозғалыстағы денеге түсірілген тұрақты моменттің жұмысы осы момент пен дененің айналу бұрышының көбейтіндісіне тең.

Бұл жағдайда күштің қуатын (4.3.21) теңдеуінің екі жағын -ға бөліп анықтауға болады:

. (4.3.24)

(4.3.24) теңдеуі айналмалы қозғалыстағы қатты денеге түсірілген күштің қуатын анықтайды.

3. Домалау үйкелісі моментінің жұмысы. Бір дене екінші бір дененің бетімен домалаған кезде моменті домалау үйкелісінің моменті деп аталатын жәнеқос күш домалауға кедергі жасайтыны бізге статикадан белгілі (3.34 сурет). Бұл моменттің шамасы, мұндағы – домалау үйкелісінің коэффициенті.

(– дөңгелек центрінің элементар орын ауыстыруы, ал –оның радиусы) екенін ескерсек (4.3.21) өрнегі бойынша:

.

Егер болса, онда домалау үйкелісі моментінің жұмысын былай жазуға болады:

. (4.3.25)