Оулы 1-4

3. Егер xn 0 және

yn болса, онда

xn yn өрнегі үшін 0

түріндегі анықталмағандықты аламыз.

4.Егер xn және yn болса, онда xn yn өрнегі үшін түріндегі анықталмағандықты аламыз.

7.7.5 Тізбектің монотондылығы
12-анықтама. Егер n N	үшін xn xn 1	xn xn 1 теңсіздігі

орындалса, онда xn тізбегі кемімейтін (өспейтін) деп аталады.

Егер осы теңсіздікерде қатаңдық шарты орындалса, яғни xn xn 1xn xn 1 онда {хn } тізбегі өспелі (кемімелі) деп аталады.

Жалпы алғанда кемімелі және өспелі, өспейтін және кемімейтін тізбектертер монотонды деп аталады.

8-теорема. Егер нақты сандардың

a1,а2,а3...

тізбегі кемімейтін (өспейтін) және жоғарыдан (төменнен) M (сәйкес m) санымен шектелген болса, онда осы тізбек өзінің шегі есебінде ұмтылатын M -нен артық емес (m-нен кем емес) нақты a саны табылады:

liman a M

n

(сәйкес liman a m).

n

9-теорема (кесінділердің бір-біріне іштей орналасу принципі). Бір біріне іштей орналасқан, ұзындықтары нөлге ұмтылатын

n [an,bn ]		n 1,2,3...		0 n болсын.
кесінділер тізбегі берілсін, яғни n 1	n , dn bn an
Сонда бір мезгілде барлық	кесіндіге n		c n , n 1,2,3,... тиісті

болатын тек жалғыз c (саны) нүктесі табылады.

7.7.6Дәл жоғарғы және төменгі шектер

xнақты сандарының кездейсоқ E жиынын қарастырамыз. Осы жиынында ең үлкен (максималды) нақты сан бар болуы мүмкін, ол санды M арқылы белгілеп мына түрде жазамыз:

M maxE maxx.

x E

Сонымен бірге x E сандарының арасында ең кіші (минималды) m саны болуы да мүмкін. Ол санды мына түрде жазамыз:

m min E min x.

x E

Егер E жиыны ақырлы, яғни

x1,x2 ,...,xp

болатын ақырлы сандардан құралған болса, онда олардың арасында әр қашан ең үлкен және ең кіші сандар бар болады. Ал егер E жиыны шектеусіз болса,

131

онда бұл тұжырым орындала бермейді, яғни мұндай жиынның әр қашан ең үлкен және ең кіші сандары бар бола бермейді.

Мына мысалдарды қарастырамыз:

1)Z ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... ,

2)N 1,2,3,... ,

3)a,b ,

4)a,b .

Осы мысалдардан Z бүтін сандар жиынының ең үлкен және ең кіші сандары болмайтынын көреміз. Келтірілген a,b интервалының да ең үлкен

және ең	кіші сандары	болмайды,	себебі	a c b	теңсіздігін
қанағаттандыратын қандайда бір c a,b			санына әр қашан		c1,c2 сандары
табылып,	a c1 c c2 b	теңсіздігі орындалады.		2-ші мысалдағы N

натураль сандар жиынының ең үлкен саны болмайды, бірақ ең кіші саны xеңкіші 1. Дәл осылай 3-ші мысалда min a,b a және max a,b b болады.

Кез келген E жиыны үшін мүмкіндігінше maxE және min E алмастыра алатын санды енгізу сұрағы туындайды. Мұндай сандар ретінде жиынның сәйкес (ақырлы немесе шексіз) дәл жоғарғы шегін

supE supx M

x E

және дәл төменгі шегін

inf E inf x m

x E

аламыз.

E жиыны жоғарыдан шектелген болсын.

Егер M (ақырлы) саны үшін мына екі шарт ордалатын болса

1)x M x E,

2)кез келген 0 үшін,

M x1 M

теңсіздігі орындалатын x1 E нүктесі табылады.

Басқа сөзбен айтқанда supE M дегеніміз барлық жоғарғы шектердің ең төменгісі (мажорант).

E жиыны төменнен шектелген болсын.

Егер m (ақырлы) саны үшін мына екі шарт ордалатын болса

3)x m x E,

4)кез келген 0 үшін,

m x1 m

теңсіздігі орындалатын x1 E нүктесі табылады.

Басқа сөзбен айтқанда inf E m дегеніміз барлық төменгі шектердің ең үлкені.

Егер E нақты сандар жиынында ең үлкен (ең кіші) сандар бар болса, яғни maxE (min E), онда

supE max E (inf E min E).

132

10-теорема. Егер бос емес E нақты сандар жиыны жоғарыдан (төменнен) ақырлы K (сәйкес k ) санымен шектелген болса, онда E жиынының дәл жоғарғы (төменгі) болатын M K (k m) саны табылады.

Кез келген E жиынының дәл жоғарғы және төменгі шектері бар болады. Егер E жиыны жоғарыдан шектелген болса, онда supE , егер де E жиыны жоғарыдан шектелмеген болса, онда supE . Дәл осылай, егер E жиыны төменнен шектелген болса, онда inf E және егер де E жиыны төменнен шектелмеген болса, онда inf E .

7.7.7 Больцано – Вейерштрасс теоремасы

Нақты сандардың кездейсоқ xn тізбегі берілсін. Осы жиыннан номерлері n1 n2 ... болатын элементтердің шексіз жиынын аламыз. Сонда

xn тізбегінің ішкі тізбегі болатын жаңа xnk тізбегін аламыз.

11-теорема. Кез келген xn нақты сандар тізбегінен, ақырлы санға немесе , немесе жинақталатын xnk ішкі тізбегін бөліп алуға болады.

12-теорема (Больцано – Вейерштрасс). Кез келген шектеулі xn тізбегінен қандай да бір санға жинақталатын xnk ішкі тізбегінен бөліп алуға болады.

7.7.8 Жоғарғы және төменгі шектер

Егер нақты сандардың кездейсоқ xn тізбегі берілсе, онда Теорема 4. негізінде әр түрлі жинақталатын ішкі тізбек аламыз.

Осы ішкі тізбектердің шектері xn тізбегінің дербес шектері деп аталады.

Анықтама бойынша xn (немесе хn айнымалысының) тізбегінің жоғарғы шегі деп келесі екі шартты қанағантандыратын M (ақырлы, немесе ) санын айтады.

1) xn тізбегінің M санына жинақталатын xnk ішкі тізбегі табылады:

limxnk M .

k

2) xn тізбегінің кез келген жинақталатын xnk ішкі тізбегі үшін

limxnk M

k

теңсіздігі орындалады.

xn тізбегінің жоғарғы шегін келесі символдардың біреуі арқылы белгілейміз:

M limxn	limxn	limsupxk .
	n	n k n

Егер xn тізбегі жоғарыдан шектелмеген болса, онда

limxn .

133

n k n

Анықтама бойынша xn (немесе хn айнымалысының) тізбегінің төменгі шегі деп келесі екі шартты қанағантандыратын m (ақырлы, немесе ) санын айтады.

3) xn тізбегінің m санына жинақталатын xnk ішкі тізбегі табылады:

limxnk m.

k

4) xn тізбегінің кез келген жинақталатын xnk ішкі тізбегі үшін

limxnk m

k

теңсіздігі орындалады.

xn тізбегінің төменгі шегін келесі символдардың біреуі арқылы белгілейміз:

m limxn limxn liminf xk .

n

Егер xn тізбегі төменнен шектелмеген болса, онда

limxn .

13-теорема. xn тізбегінің шегі (ақырлы, немесе ) болу үшін

limxn limxn

болуы қажетті және жеткілікті, сонда

limxn limxn limxn .

7.7.9 Тізбектер жинақтылығының Коши шарты

Ақырлы a шегіне жинақталатын нақты сандардың xn тізбегі берілсін:

			limxn				a.
			n					n0 табылып,
Бұл дегеніміз, кез келген 0 үшін n0
	x	n	a				n n
					2			0

теңсіздігі орындалатынын білдіреді. Бұл теңсіздікке n n0 натураль санымен қатар басқа m n0 натураль санын да қоюға болады:

xm

a

m n0 .

Сонда

2

x

n

x

m

x

n

a a x

m

x

n

a

x

m

a

n,m n

2

2

0

болады.

n0 табылып,

Осы айтылғандардан, кез келген 0 үшін n0

xn xm

n,m n0

теңсіздігі орындалатынын көреміз. Бұл шарт Коши шарты деп аталады.

Сонымен біз келесі тұжырымды аламыз: егер хn айнымалысының ақырлы шегі бар болса, онда ол үшін Коши шарты орындалады.

134

Коши шартын қанағаттандыратын сан тізбегі фудаментальды тізбек деп аталады

Кері тұжырымда орындалады: егер нақты сандардың xn тізбегі фундаментальды болса, яғни Коши шартын қанағаттандырса, онда оның шегі бар болады, яғни xn a, n орындалатын a (ақырлы) саны табылады.

14-теорема (тізбек шегінің бар болуының Коши критериясы). Нақты сандардың xn тізбегінің ақырлы шегі болу үшін, оның фундаментальды (Коши шартын қанағаттандыруы) қажетті және жеткілікті.

7.8 Функция. Функцияның шегі

E сандар жиынын қарастырамыз. Қандай да бір заңдылықпен E жинының әрбір x санына сәйкес (бір) y саны қойылса, онда E жинында

функция берілген деп айтады және оны мына түрде жазады:
y f x x E ,	(7.7)

мұндағы x тәуелсіз айнымалы деп, ал y функция деп аталады.

Бұл тұжырым E жиынында бір айнымалы x-тан тәуелді y функциясы берілген деп те аталады.

E жиыны f x функциясының анықталу облысы деп, ал функцияның

тәуелсіз айнымалысы аргумент деп аталады.
f x символы x E мәніне қандай да бір			f заңдылығымен сәйкес
қойылған y санын анықтайды.
Егер x0	саны f функциясы берілген E облысында жататын болса, онда
f x0 x x0	нүктесіндегі f	функциясының мәні болады. Егер		x0 саны E
облысына тиісті емес, яғни		x0 E болса, онда f	функциясы x0	нүктесінде
анықталмаған деп аталады.

	f	y f x , мұндағы		x E функциясының барлық мәндерінің E1 жиыны
		функциясының көмегімен алынған E жиынының бейнесі деп аталады. Бұл
	тұжырым кейде f функциясы E жиынын					E1	жиынына бейнелейді деп те
	аталады.				f және
		Бір	E жиынында берілген			функциялары үшін анықталған
	f		қосындысының,	f	айырмасының,		f көбейтіндісінің,	f

қатынасының сәйкес мәндері мына формулалармен жазылады:

f x x , f x x ,	f x x ,	f x	(x E),
		x
мұндағы қатынас жағдайында E жиынында x 0.
Егер f функциясы E жиынын	E1 жиынына, ал F функциясы E1
жиынын E2 жиынына бейнелейтін	болса, онда z F f x функциясы

135

күрделі функция немесе f және F функцияларының суперпозициясы деп аталады.

Егер нөл нүктесіне қатысты симметриялы болатын жиында анықталған f функциясы осы жиында f x f x немесе f x f x қасиеттерін қанағаттандырса, онда ол сәйкес жұп немесе тақ деп аталады.

Екі жұп немесе екі тақ функциялардың көбейтіндісінің жұп, ал жұп функцияның тақ функцияға көйтіндісі тақ функция болатындығын көру қиын емес.

y f x ,

x E

функциясының

графигі

деп

абсциссасы

x

және

ординатасы

f x болатын x,

f x болатын нүктелердің жиынтығын айтады.

Егер

кез

келген

x1,x2 E

үшін

x1 x2

болғанда,

f x1 f x2

f x1 f x2

теңсіздігі орындалса,

онда

f

функциясы өспелі (кемімейтін)

деп аталады.

x1,x2 E

x1 x2

f x1 f x2

Егер

кез

келген

үшін

болғанда,

f x1 f x2

теңсіздігі орындалса,

онда

f

функциясы кемімелі (өспейтін)

деп аталады.

E1 f E

Егер

f

функциясының

бейнесі шектеулі (шектеусіз)

жиын

болса, онда f

функциясы шектеулі (шектеусіз) деп аталады.

Мысалы,

y

1

функциясы кемімелі және 0, итервалында шектеусіз,

x

бірақ 1, жарты интервалында шектеулі болады.

Егер кез келген x үшін,

f x f x T x

болса, онда барлық нақты

сандар өсінде анықталған f

функциясы периоды T 0 болатын периодты

деп аталады.

y f x

қандайда бiр x0 нүктесiнiң

13-анықтама.

функциясы

аймағында анықталған болсын. Егер

кез

келген

0

саны үшiн

0

( ( ))

саны

табылып,

0

x x0

теңсiздiгi

орындалғанда,

f (x) A

теңсiздiгi

орындалса,

онда

A саны y f x функциясының

x x0 ұмтылғандағы шегi деп аталады.

Егер A саны y f x функциясының x x0

ұмтылғандағы шегi болса,

онда оны мына түрде жазамыз:

lim f (x) A.

(7.8)

f x

x x0

функциясының

x0

нүктесiнде мәнi

болмауы

да

мүмкiн. Ал

lim

f (x) A

өрнегі,

кез келген

0

саны

үшiн

N N( ) 0

саны

x

x

N

f (x) A

табылып,

болғанда

теңсiздiгi

орындалатындығын

бiлдiредi.

онда x a 0

Егер x a және

x a,

жазуын қолданамыз;

егер x a

және x a,

онда x a 0 жазуын қолданамыз.

136

14-анықтама. f (a 0) lim f (x) және

f (a 0) lim f (x)

сандары

f x функциясының

x a 0

x a 0

a нүктесiндегi

сәйкес сол және оң жақ шектерi деп

аталады.

x a

f (x)

M

15-анықтама.

Егер

0

болғанда

теңсiздiгi

орындалса, мұндағы

M

кез келген

оң

сан,

онда

lim f (x)

болады.

x a

Мұндай жағдайда f x функциясы x a болғанда шексiз үлкен деп аталады.

16-анықтама. Егер	lim (x) 0 болса, онда			(x)	функциясы x a
	x a
болғанда шексiз аз деп аталады.
Екi шексiз аз (x)	және (x) функцияларын			x a салыстыру үшiн,
олардың шектерiнiң қатынасын табамыз:
	lim	(x)	C .
	x a (x)
17-анықтама. Егер	C 0 болса, онда (x) және				(x) бiрдей реттегi
шексiз аз шамалар деп аталады; егер C 0 болса, онда					(x) шамасы (x)-

пен салыстырғанда жоғарғы реттi шексiз аз шама деп аталады, ал (x) шамасы (x)- пен салыстырғанда төменгi реттi шексiз аз шама деп аталады.

18-анықтама. Егер		(x)
lim			C			(0		C		)
x a ( (x))k
онда (x) шамасы x a	(x)- пен салыстырғанда k реттi шексiз аз шама
деп аталады.
19-анықтама. Егер				(x)
		lim				1
		x a (x)
болса, онда шексiз аз	(x) және				(x) шамалары						x a болғанда

эквиваленттi шамалар деп аталады және мына түрде жазылады (x)~ (x).

	Мысалы,	x 0 ұмтылғанда sinx ~ x, arcsinx ~ x, tgx ~ x, arctgx~ x,
ln(1 x) ~ x,		eax 1~ ax.
	Шектерді есептеу кезінде төмендегідей теоремалар негізін
пайдаланамыз.			lim g x шектері бар болса, онда мына теңдіктер
	Егер lim f x және
	x a		x a
орындалады:
1)	lim f (x) g(x) lim		f (x) lim g(x);
	x a	x a	x a
2)	lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x);
	x a	x a	x a

	f (x)		lim f (x)
3) lim			x a
			lim g(x)
x a g(x)
			x a

( lim g(x) 0 болуы керек).

x a

137

Егер де осы теоремалардың шарты орындалмаса, онда		,	0	,
			0

және т.б. түрiндегi анықталмағандықтарды аламыз.

Қарапайым жағдайда мұндай анықталмағандықтарды алгебралық түрлендiру көмегiмен ашамыз. Бөлшектерден шек табу барысында a 0,

			0		a
		,		0 және		ұмтылатындығын ескеру керек, мұндағы
					0
	a		a
	a const .

Сонымен бiрге шектердi есептеу кезiнде төменгi екi тамаша шектердi де жиi қолданамыз.

1.	lim	sinx		1 (бiрiншi тамаша шек );
		x
	x 0			1 x
						e және	lim 1 x	1	e 2,718... (екiншi
2.	lim	1						x e, мұндағы
	x			x			x 0

тамаша шек ).

Осы тамаша шектермен бірге төмендегі шектерді қолдану тиімді болады:

	ln(1 x)		ax 1			(1 x)m 1
lim		1, lim			lna, lim		m.
x 0 x		x 0 x			x 0	x

7.9 Функцияның үзiліссiздiгi

Қандай да бiр x0 нүктесi мен центрi x0 нүктесi болатын қандай да бiр

аймақта анықталған, яғни y0 f x0 теңдігі орындалатын

y f x

функциясын қарастырамыз.

Егер x айнымалысына қандайда бiр оң немесе терiс x өсiмшесiн берсек және x x0 x мәнiн қабылдайтын болсын, онда y функциясы да қандай да бiр y өсiмшесiн қабылдайды. Функцияның жаңа өсiрiлген мәнi

мына түрде анықталады

y

M

y

M0 N

y0

x

0 x0

x0+ x

56-сурет

	y0 y f x0 x .	(7.9)
	Бұл теңдеуден y өсiмшесi келесi формула
	арқылы өрнектеледi (56-сурет)
	y f x0 x f x0 .	(7.10)
	20-анықтама. Егер ол x0 нүктесiнде және
	оның қандай да бiр аймағында анықталған және
	lim y 0	(7.11)
	x 0
	немесе
	lim f x0 x f x0 0	(7.12)
x	x 0
	болса, онда y f x функциясы x x0	мәнiнде

(нүктесiнде) үзіліссiз (үздіксіз) деп аталады.

138

Үзiліссiздiктiң соңғы шартын,	яғни (7.12) теңдiгiн мына түрде жазуға
да болады:
lim f x0	x f x0		(7.13)
x 0
немесе
lim f x f x0 .			(7.14)
x x0
Ендi lim x x0 болатынын ескеретiн болсақ, онда (7.14) теңдеудi келесi
x x0
түрде жазамыз:
			(7.15)
lim f x f lim		x ,
x x0	x x0

яғни үздiксiз функцияның x x0 ұмтылғандағы шегiн табу үшiн функция

өрнегiндегi x аргументiнiң орнына x0

мәнiн қою жеткiлiктi болады.

Геометриялық тұрғыдан қарағанда функцияның нүктедегі үзіліссіздігі

дегеніміз, егер

x

өте

аз болғанда

y f (x)

функциясының

графигінің

x0 x

және

x0

нүктелеріндегі ординаталарының

айырмасы абсолют

шамасы бойынша өте аз шама болады.

Мысалы, y x2

функциясының кез келген x0 нүктесінде үзіліссіздігін

есептейміз.

Шешуі: y0 x02, y0 y x0 x 2,

y x0

x 2

x02 2x0 x x2 .

lim y lim 2x0 x x2 2x0

lim x

lim x lim x 0.

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

7.10 Функция үзіліссіздігінің негізгі теоремалары

15-теорема. Егер f1 x және f2 x функциялары x0

нүктесінде үзіліссіз

болса, онда қосынды

x f1 x f2 x функциясы

да x0

нүктесінде

үзіліссіз

болады.

шарты бойынша f1 x

және f2 x

Д ә

л е л

д

е у:

Теореманың

функциялары үзіліссіз болғандықтан (7.14) теңдеуінің негізінде, келесі түрде

жазуға болады		lim			f x f			x		және		lim	f		x f				x		.
		x x0			1		1		0			x x0		2				2		0
	Шектер теориясының негізінде										x lim						x f			x			f		x		x
lim x lim f			1	x f		2	x lim f								f	2						0		2		0
x x	x x							x x			1	x x							1								0
0	0									0			0

теңдігі орындалады.

Сонымен, x f1 x f2 x қосындысы үзіліссіз функция болады. Шектердің негізі қасиеттеріне сүйене отырып, төмендегі теоремаларды

да дәлелдеуге болады.

16-теорема. Екі үзіліссіз фукциялардың көбейтіндісі де үзіліссіз функция болады.

17-теорема. Екі үзіліссіз функциялардың қатынасы да үзіліссіз функция болады, егер бөліміндегі функция нөлге тең емес болса.

139

18-теорема.	Егер u x	функциясы	x x0 нүктесінде үзіліссіз және
f u функциясы	u0 x0	нүктесінде	үзіліссіз болса, онда f x
функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз функция			болады.

19-теорема. Барлық элементарлық функциялар өздерінің анықталу

облысында үзіліссіз болады.		болған кезде a,b
21-анықтама. Егер y f x фукциясы	a b

интервалының әр бір нүктесінде үзіліссіз болса, онда функция осы интервалда үзіліссіз болады.

22-анықтама. Егер			y	f x	функциясы	x a	анықталған	және
lim	f x f a	болса,	онда	x a	нүктесінде	оң жағынан үзіліссіз деп
x a 0
аталады.			y f x			x b
23-анықтама. Егер					функциясы		анықталған	және
lim	f x f b	болса,	онда	x b	нүктесінде сол жағынан үзіліссіз			деп
x b 0
аталады.			y f x функциясы			a,b интервалының
24-анықтама. Егер								әрбір

нүктесінде және шеткі нүктелерінде сәйкес оң жағынан және сол жағынан

үзіліссіз болса, онда f (x)	функциясы тұйықталған интервалда немесе a,b
кесіндісінде үзіліссіз деп аталады.
25-анықтама. Егер қандай да бір x x0 нүктесінде y f x функциясы
үшін үзіліссіздіктің ең кемінде бір шарты орындалмаса, яғни			x x0	болған
кезде функция анықталмаған немесе lim f (x)		шегі болмаса немесе		x x0
	x x0
кез келген ұмтылғанда	lim f (x) f x0	болса, бірақ	теңдіктің оң
	x x0

жағындағы және сол жағындағы өрнектердің мәні бар болса, онда y f x

функциясы x x0 нүктесінде үзілісті (үздікті) деп аталады.

26-анықтама. Егер y f x функциясының						lim	f x f x0		0	және
	f x f x0 0					x x0 0
lim		ақырлы		шектері бар, бірақ			lim f x		lim	f x
x x0 0			f x			x x0 0		x x0 0
немесе	x x0 нүктесінде			функциясының мәні			болмаса,	онда x x0
нүктесі I-ші тектегі үзілістік нүктесі болады.
27-анықтама. Егер			y f x		функциясының		x x0	нүктесінде
lim	f x f x0 0	немесе		lim	f x f x0	0	шектері	жоқ немесе
x x0 0				x x0 0
шексіздікке тең болса,		онда x x0			нүктесі II-ші тектегі үзілістік нүктесі
болады.

7.11 Функция үзіліссіздігінің қасиеттері

Бұл бөлімде кесіндідегі үзіліссіз функциялардың кейбір қасиеттерін қарастырамыз.

140