Оулы 1-4

яғни күрделі функцияның туындысы берілген функцияның аралық аргумент

бойынша туындысының аралық аргументтің x аргументі											бойынша
туындысына көбейтіндісіне тең.
36-теорема. Егер y f x функциясы үшін x y кері функциясы бар
және сонымен бірге бұл функцияның қарастырылып отырған										y	нүктесінде
									онда сәйкес	x	нүктесінде
нөлден өзгеше y туындысы болатын болса,
y f x функциясының					1			-ке тең болатын f
						y			x туындысы бар болады,
	1			болады.
яғни f x		y

7.16 Айқындалмаған функцияның туындысы

Қарастырылатын y функциясын x айнымалысынан тәуелді

айқындалмаған	функция түрінде	анықтайтын	F x,y 0	теңдігімен
анықталған дифференциалданатын функция берілсін.
F x,y 0	функциясының екі	жағын x	аргументі	бойынша

дифференциалдау арқылы y қатысты бірінші ретті теңдеу аламыз. Алынған теңдеуден y оңай табуға болады, яғни айқындалмаған функцияның барлық x және y мәндері үшін теңдеудегі y көбейтіндісі нөлге тең болмайды.

Мысалы, x2 y2 4

функциясының yx

туындысын есептеңіз.

Шешуі: Теңдеудегі

y функциясы x-тан тәуелді функция болғандықтан

y2 функциясын

x-тан

тәуелді

күрделі

функция

деп

қарастырамыз.

2yy . Берілген теңдеудің екі жағын x аргументі бойынша

Сондықтан y2

дифференциалдаймыз 2x 2yy 0, яғни y

x

теңдігін аламыз.

y

Енді теңдеуді мына жолмен шешіп көреміз, берілген теңдеуден

y2 4 x2, бұдан y

4 x2

болады. Демек

y

2x

x

x

,

2

4 x2

4 x2

y

яғни екі жауап бірдей болады.

Айқындалмаған

функцияға

тағы бір мысал қарастырайық:

y6 y x2 0 функциясының

yx

туындысын табу

керек.

Теңдеудің екі

жағын x аргументі бойынша дифференциалдаймыз, сонда 6y5y y 2x 0,

		5	1 2x,	y			2x		болады.
							6y5 1
	бұдан y 6y

151

7.17 Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы

Қарастырылатын y функциясы x-тан тәуелді параметрлік

теңдеулер

түрде берілсін

x t ,

y t ,

t0 t T .

(7.18)

Бұл функциялардың туындысы және x t

функциясының туындысы

бар болатын кері t Ф x

функциясы бар болсын деп есептейміз. Сонда

параметрлік

теңдеулермен

анықталған

y f x

функциясын

y t ,

t Ф x (t аралық аргумент) болатын күрделі функция түрінде

қарастыруға болады.

Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесі негізінде

(7.19)

yx

yttx

t t Фx x

теңдігін аламыз.

1

x

Кері функцияны дифференциалдау (36-теорема) негізінде Фx

t t

t t

болады. Осы өрнекті (7.19) теңдеуіне қоямыз, сонда yx

немесе

t t

yx

yt

(7.20)

теңдігін аламыз.

xt

7.18 Туынды табу ережелері мен негізгі формулалары

Егер

C тұрақты шама

және

u u(x), v v(x) қандай

да бiр

дифференциалданатын функциялар болса, онда келесi дифференциалдау ережесi орындалады:

1)(С) 0;

2)(x) 1;

3)(Cu) Cu ;

4)(u v) u v ;

5)(uv) u v uv ;

6)	u				u v uv			;
						v2
	v
7)	Егер y					f (u), u (x), яғни y f[ (x)] күрделi функция болса, онда

yx yuux немесе dy dy du dx du dx

болады.

Туындының анықтамасы және дифференциалдау ережесi негiзiнде негiзгi функциялардың туындыларының кестесiн құрастырамыз:

1) (un) nun 1u мұндағы n R;

152

	2)	(				)		1				u ;
				u
						2			u
			1					1		u ;
	3)
								u2
		u

4)(au ) au lna u ;

5)(eu) eu u ;

6)(lnu) 1 u ;

	u	1
	7) (loga u)		u ;
		ulna

8)(sinu) cosu u ;

9)(cosu) sinu u ;

1

10)

(tgu)

cos2 uu

;

1

11)

(ctgu)

sin2 uu

;

12)

(arcsinu)

1

u ;

1 u2

13)

(arccosu)

1

u ;

1 u2

1

14)

(arctgu)

1 u2 u

;

1

15)

(arcctgu)

1 u2 u

;

eu

e u

16)

(shu)

chu u ;

2

eu

e u

17)

(chu)

shu u ;

2

1

18)

(thu)

u ;

ch2u

1

19)

(cthu)

sh2uu

;

Туындыларды есептеуге мысалдар қарастырамыз:

1. Анықтаманы пайдаланып, y x3 6x2 8 функцияның туындысын есептеңіз.

153

Шешуi: Аргумент x- қа x өсiмшесiн беремiз, сонда y функциясы y

өсiмшесiн қабылдайды:

y y (x x)3 6(x x)2 8.

Бұл теңдеуден функция өсiмшесiн табамыз:

y (x x)3 6(x x)2 8 (x3 6x2 8)

x3 3x2 x 3x x2 x3 6x2 12x x 6 x2 8

x3 6x2 8 3x2 x 3x x2 x3 12x x 6 x2.

Функция өсiмшесiнiң аргумент өсiмшесiне қатынасын табамыз:

y 3x2 3x x x2 12x 6 x.x

Ендi осы қатынастан x 0 шек табамыз:

lim

y

lim (3x2 3x x x2 12x 6 x) 3x2

12x.

x 0 x

x 0

Сонымен туындының анықтама бойынша y 3x2

12x болады.

2. Берiлген функциялардың туындысын есептеңіз:

3

2

3

x2

1.

y 4x

x

2

есептеңіз.

x5

6

Шешуi: Бұл есепте (u v) u v формуласын қолданамыз:

x2

2

x2

2

3

3

2

3

3

2

y

4x

x

5

x

6

4x

5

x

10

2

x

x

6

12x

2

.

x

6

3

3

y 3cos4x arctg5x2

3

x

2.

есептеңіз.

Шешуi: Бұл есепте (uv)

uv

формуласын қолданамыз:

u v

cos4x

2

cos4x

1

2

y

3

sin4x (4x)

ln3 arctg5x

3

(5x

)

1 25x4

4 3

cos4x

sin4x ln3 arctg

5x

2

10x 3cos4x

.

earctg7x

1 25x4

3.

y

есептеңіз.

2x3 5x 8

u

Шешуi: Бұл есепте

u v uv

формуласын қолданамыз:

v2

arctg7x

v

3

arctg7x

3

(e

5x 8) (e

)(2x

5x

8)

y

) (2x

(2x3 5x 8)2

arctg7x

1

3

arctg7x

2

e

(7x) (2x

5x 8) e

(6x

5)

1 49x2

(2x3 5x 8)2

154

		7earctg7x	(2x3	5x 8) earctg7x	(6x2	5)
		1 49x2
							.
			(2x3 5x 8)2

7.19 Дифференциал

Берілген a,b кесіндісінде дифференциалданатын y f x функциясын қарастырамыз. Бұл функцияның a,b кесіндісінің қандайда бір x нүктесіндегі туындысы мына теңдеумен анықталады:

lim y f x .

x 0 x

Бұл теңдеуден көріп отырғанымыздай y қатынасы x 0 ұмтылғанда

x

анықталған f x санына ұмтылады, сондықтан оның f x туындысынан шексіз аз шамаға айырмашылығы болады:

			y				(7.21)
			x	f x ,
мұндағы 0 ұмтылады x 0 ұмтылғанда.
Енді (7.21) теңдігінің екі жағын x-қа көбейтеміз, сонда
	y					(7.22)
		f x x x.
Жалпы жағдайда				болса, онда x	тұрақты	және	x 0
	f x 0
айнымалы болғанда f		көбейтіндісі x-қа			қатысты	бірінші	реттегі
	x x

шексіз аз шама болады. Ал x көбейтіндісі x-қа қатысты әр кезде жоғары ретті шексіз аз шама, оған себеп

lim x lim 0

x 0 x x 0

тең болатындығы.

Жоғарыда көрсетілген y өсімшесі екі қасылғыштан тұрады, олардың бірінші қосылғышы x-қа қатысты сызықты болатын өсімшенің бас бөлігі

	болғанда) деп		аталады.	(7.22) теңдеудің	бірінші қосылғышы
( f x 0
болатын f		көйтіндісі функцияның дифференциалы деп аталады және
	x x
dy немесе df x		түрінде белгіленеді.
30-анықтама. Егер			y f x	функциясының	x	нүктесінде
							f x
туындысы	болса, онда					өсімшесі	x-қа
			f x туындысының аргумент

көбейтіндісі функция дифференциалы деп аталады және dy түрінде белгіленеді:

dy f		(7.23)
	x x.

Енді y x функциясының дифференциалын табамыз: y x 1,

155

демек dy dx x x x немесе dx x болады. Сонымен тәуелсіз x айнымалысының дифференциалы dx оның өсімшесі x теңеседі. Сондықтан (7.23) теңдеуді мына түрде жазуға болады:

	dy f					(7.24)
			x dx.
	Ал бұл теңдеуден			dy
		x				(7.25)
	f
	теңдеуі алынады.			dx
			функция			дифференциалының тәуелсіз
	Демек f x туындысын

айнымалы диффернциалына қатынасы ретінде қарастыруға болады. Жоғарыда берілген (7.22) теңдеуін (7.23) теңдеуді ескере отырып қайта

жазамыз:

y dy x.	(7.26)
Сонымен функция өсімшесінің функция	дифференциалынан	x-қа
қатысты жоғары ретті шексіз аз шамаға айырмашылы болады. Егер f
		x 0

болса, онда x көбейтіндісі dy-ке де қатысты жоғары ретті шексіз аз шама болады және

lim

y

1

lim

x

1 lim

1

f

x x

f

x

x 0

dy

x 0

x 0

теңдеуімен анықталады. Сондықтан жуықтап есептеулер кезінде

y dy,

(7.27)

теңдеуін немесе оның кеңейтілген түрі

f x x f x f

(7.28)

x x,

формуласын қолданамыз.

Дифференциалды есептеуге мысалдар қарастырамыз:

1.y x2 функциясының,

1)x және x кез келген болғандағы;

2)x 20 және x 0,1 болғандағы

dy дифференциалын және y өсімшесін есептеңіздер:

Шешуі: 1) y x x 2 x2 2x x x2, dy x2 x 2x x.

2) Егер x 20 және x 0,1 болса, онда

y 2 20 0,1 0,12 4,01, ал dy 2 20 0,1 4,00 болады.

Бұл жерде y-ті dy-ке ауыстыру кезіндегі қателік 0,01-ге тең болғандықтан көп жағдайда оны ескермейміз.

Жуықтап есептеу кезінде (7.28) формуласынан алынатын, төмендегі

f x x f x f		(7.29)
	x x

формуласын қолданамыз.

2. sin460 мәнін жуықтап есептеңіз.

156

	Шешуі: Егер					f x sinx									болса,				онда														Жоғардағы (7.29)
																								f x cosx.
	формуласының негізінде									sin x x sinx cosx x																							(7.30)
	болады.
	Берілген sin460 мәнін жуықтап есептеу үшін x																																(бұл 450 сәйкес),
																														4
	x			10											x x
			(бұл			сәйкес),							ал															деп аламыз. Осы мәндерді
		1800																		4		180
	(7.30) формулаға қоямыз, сонда
					sin460
										sin										sin									cos
															4		180							4			180			4
	немесе
			sin46	0			2				2					0,7071 0,7071 0,0175 0,7191
						2				2
												180

теңдеуін аламыз.

Функцияның дифференциалын табу функцияның туындысын табумен тепе тең, яғни табылған туындыны аргумент дифференциалына көбейту арқылы функция дифференциалын аламыз. Сондықтан туынды табуға қатысты теоремалар мен формулалар дифференциалдау кезінде сақталады.

Екі дифференциалданатын u және v функцияларының қосындысының дифференциалы осы функциялардың дифференциалдарының қосындысына тең:

d u v du dv.

Екі дифференциалданатын u және v функцияларының көбейтіндісі және қатынастары мына формулалармен анықталады:

d uv udv vdu

және		u			vdu udv
		d				.
					v2
		v
		7.20 Функцияның жоғарғы ретті
		туындысы және дифференциалы
Берілген		a,b кесіндісінде		y f x дифференциалданатын			функция
болса,	онда f
		x туындысының мәні де x айнымалысынан тәуелді функция
болуы	мүмкін. Осы функцияны				дифференциалдау арқылы		біз f x

функциясының екінші туындысын аламыз.

31-анықтама. Бірінші туындыдан алынған туынды екінші ретті туынды немесе берілген функцияның екінші туындысы деп аталады және y немесе f x түрінде белгіленеді:

y y f x .

157

Мысалы, егер y x3 болса, онда y 3x2, ал y 3x2 6x болады. Екінші туындыдан алынған туындыны үшінші ретті туынды немесе

берілген функцияның үшінші туындысы деп атаймыз және y немесе f x түрінде белгілейміз.

Жалпы f x функциясының n ші ретті туындысы деп	n 1 ші ретті
туындысынан алынған туындыны айтамыз және y n немесе	f n x түрінде
белгілейміз:
y n y n 1 f n x .

(Туындыны дәрежемен шатастырмау үшін жақшаға аламыз.)

Төртінші және одан жоғарғы ретті туындыларды рим цифрларымен белгілеу кезінде жақша қоймаймыз.

Берілген функциялардың бесінші ретті туындысын есептеңіз: 1. y x5 функциясының бесінші туындысын табу керек.

Шешуі: y 5x4, y 20x3, y 60x2, yIV 120x, yV 120. 2. y ekx функциясының n ші ретті туындысын табу керек.

Шешуі: y kekx,	y k2ekx,		y k3ekx,..., y n						knekx .
Әртүрлі реттегі туындыларды табу кезінде мына формулалар
орындалады:	n			n		n		n		n
		u			v		,		Cx		.
	u v							Cx

Ал екі функцияның көбейтіндісі үшін Лейбниц формуласы орындалады:

y n uv n u n v nu n 1 v n n 1 u n 2 v ... uv n .

1 2

32-анықтама. Функцияның дифференциалының дифференциалы екінші дифференциал немесе берілген функцияның екінші ретті дифференциалы

деп аталады және d2 y арқылы белгіленеді:

d dy d2y.

Екінші дифференциал өрнегі мына түрде жазылады: d2 y f x dx dx f x dx2.

Функцияның үшінші дифференциалы немесе оның үшінші ретті дифференциалы деп оның екінші ретті дифференциалынан алынған дифференциалды айтамыз және былай жазамыз:

d3y d d2y f x dx2 dx f x dx3 .

Жалпы f x функциясының n ші ретті дифференциалы деп n 1 ші

ретті дифференциалының дифференциалын айтамыз және былай жазамыз: dn y d dn 1y f n 1 x dxn 1 dx f n x dxn.

158

7.21 Логарифмнiң көмегiмен дифференциалдау

33-анықтама. y f (x) функцияның логарифмiнен алынған туынды, осы функциясының логарифмдiк туындысы деп аталады, яғни

			f (x)
	ln f (x)			орындалады.
			f (x)

Функцияны бiрiншi логарифмдеп, сонан соң дифференциалдау логарифмдiк дифференциалдау деп аталады. Кейбiр кезде функцияны алдын ала логарифмдеу, оның туындысын табуды жеңiлдетедi.

Мысалы,	u u(x) және v v(x) болғанда						y uv функцясын алдын ала
логарифмдеу арқылы мына формуланы аламыз:
ln y v lnu		y	v lnu		v	u y uv lnu v vuv 1 u .
		y			u
Берiлген	y (sin2x)x3			функциясының			туындысын логарифмнің

көмегімен есептеңіз:

Шешуi: Берiлген функцияны логарифмдеймiз: ln y x3 lnsin2x.

Осы

теңдiктiң

екi

жағын

x

айнымалысы

бойынша

дифференциалдаймыз:

y

1

3

3

2

3

(ln y) (x

)

lnsin2x x

(lnsin2x)

3x

lnsin2x x

2cos2x

y

sin2x

y y 3x2 lnsin2x 2x3ctg2x y (sin2x)x3

3x2 lnsin2x 2x3ctg2x .

7.22 Орта мән туралы теорема. Лопиталь ережесi

37-теорема. (Роллья). Егер

y f (x)

функциясы

a;b кесiндiсiнде

үзiлiссiз, осы кесiндi iшiнде дифференциалданатын және

f (a) f (b) болса,

онда ең

кемiнде бiр

x c (a c b)

нүктесi табылып,

f (c) 0 теңдiгi

орындалады.

y f (x)

a;b , кесiндiсiнде

38-теорема. (Лагранж). Егер

функциясы

үзiлiссiз

және осы кесiндi iшiнде

дифференциалданатын

болса,

онда ең

кемiнде

бiр x c (a c b)

нүктесi

табылып,

f (b) f (a) f

(c)(b a)

теңдiгi орындалады.

y f (x)

және y (x)

функциялары a;b ,

39-теорема. (Коши). Егер

кесiндiсiнде үзiлiссiз және осы кесiндi iшiнде дифференциалданатын, сонымен бiрге a x b болғанда еш жерде (x) 0 болса, онда ең кемiнде

	f (b) f (a)		f
бiр x c (a c b) нүктесi табылып,				(c)	теңдiгi
	(b) (a)		(c)

орындалады.

159

Лопиталь ережесi (	0	және		анықталмағандығын ашу үшiн). Егер
0

y f (x) және y (x) функциялары Коши теоремасының							шартын x x0
нүктесiнiң қандайда бiр аймағында қанағатандырып, x x0							болғанда нөлге
(немесе ) ұмтылып және lim		f (x)		шегi бар болса, онда			lim	f (x)	шегi
x x0 (x)							x x0 (x)
бар болады және олар тең болады, яғни					f (x)
lim	f (x)			lim
x x0 (x)				x x0 (x)

орындалады. Лопиталь ережесi x0 болған кезде де орындалады.

Егер f (x) қатынасы тағы да екi анықталмағандықтың бiреуiн берсе

(x)

және f (x), (x) функциялары f (x) және (x) функциялары үшiн қойылған шарттарды қанағаттандырса, онда функциялардың екiншi туындыларының қатынасына көшуге болады.

Мысалы, lim e3x 1 шегін есептеңіз: x 0 sin5x

Шешуi: Берiлген бөлшектiң алымындағы және бөлiмiндегі функциялар үзiлiссiз дифференциалданады және x 0 болғанда нөлге ұмтылады. Сондықтан Лопиталь ережесiн қолдануға болады:

e3x

1

3e3x

3

lim

lim

e3x 1

lim

sin 5x

.

5

x 0 sin5x

x 0

x 0 5cos5x

Егер

lim

f (x) 0

және

lim

f

(x)

болғанда,

0

түрiндегi

x x0

1

x x0

2

анықталмағандығы

f1(x) f2(x) көбейтiндiсiнен алынады.

Бұл көбейтiндiнi

түрлендiру арқылы мына түрде жазуға болады

f1(x)

немесе

f2(x)

, ал

1

1

0

f2(x)

f1(x)

бұл бiзге

немесе

анықталмағандығын бередi.

0

Егер

де lim

f (x)

және lim

f

(x) болса, онда f

(x) f

(x)

x x0

1

x x0

2

1

2

айырмасы түрiндегi анықталмағандық болады. Ал екi функцияның айырмасын мына түрде жазуға болады:

						f2	(x)
			f1(x) f
						f (x)
				2(x) f1(x) 1				.
	f2	(x)				1
Егер lim			1 болса, онда бұл				теңдiктен 0 түрiндегi
	f
x x0		(x)
	1

анықталмағандығы алынады.

Мысалы, lim x3e x (0 түрiндегi анықталмағандық) шегін есептеңіз:

x

160