Оулы 1-4

Шешуi: lim x3e x lim		x3	lim	3x2	lim	6x	lim	6	0.
x	x ex		x ex		x ex		x ex

7.23Функцияны зерттеу және графигін салу

7.23.1Функцияның өсуі және кемуі. Функция экстремумы

34-анықтама. Егер	кез келген жеткілікті	аз	h 0 болғанда
f x0 h f x0 f x0 h	шарты орындалса, онда	f x	функциясы x0

нүктесінде өспелі деп аталады (60-сурет). y

			f x0	h	f x		f x0 h
					0
	0		x0 h	x0			x0 h	x
35-анықтама.				60-сурет						h 0 болғанда
	Егер		кез	келген			жеткілікті		аз
f x0 h f x0	f x0	h шарты орындалса,						онда	f x	функциясы x0

нүктесінде кемімелі деп аталады (61-сурет). y

	f x0 h		f x0	f x0 h
0	x0 h		x0	x0 h	x
36-анықтама. Егер	x1 x2	61сурет
		теңсіздігін		қанағаттандыратын		көрсетілген
интервалдың кез келген екі x1 және x2				нүктелері үшін		f x1 f x2
теңсіздігі орындалса, онда f x функциясы				a,b	интервалында өспелі деп
аталады.	x1 x2
37-анықтама. Егер		теңсіздігін		қанағаттандыратын		көрсетілген
интервалдың кез келген	екі	x1 және x2		нүктелері үшін		f x1 f x2

теңсіздігі орындалса, онда f x функциясы a,b интервалында кемімелі деп аталады.

Туындының көмегімен функцияның өсуі және кемуі мына түрде

анықталады.	f x функциясы x0 нүктесінде өспелі
1) Егер f x0 0 болса, онда
болады.
	161

2) Егер f x0 0 болса, онда f x функциясы x0		нүктесінде кемімелі
болады.	болғанда f x0 h f x0 және
38-анықтама. Егер кез келген аз h 0
f x0 h f x0 шарттары орындалса, онда	f x0 мәні	f x функциясының

максимумы деп, ал x0 нүктесі f x функциясының максимум нүктесі деп аталады (62-сурет).

y

	f x0 h	f x0	f x0 h
	0		x
		62-сурет	болғанда f x0 h f x0 және
39-анықтама. Егер кез келген аз h 0
f x0 h f x0	шарттары орындалса, онда		f x0 мәні f x функциясының
минимумы деп,	ал x0 нүктесі	f x функциясының минимум нүктесі деп

аталады (63-сурет).

y

f x0 h	f x0	f x0 h
0		x
63-сурет

40-анықтама. Функцияның максимумы немесе минимумы функцияның экстремумы, ал функцияның максимум немесе минимум нүктесі оның

экстремум нүктесі деп аталады.		f x функциясының x0
Экстремумның қажетті шарты. Егер
нүктесінде экстремумы бар болса,	f x0 туындысы нөлге айналады немесе
мүлде болмайды.	f x0 0		x0
41-анықтама. Функцияның		болатын		нүктесі
стационарлық нүкте, ал f x0 0	немесе f x0	жоқ нүктелер кризистік

нүктелер деп аталады.

Кез келген кризистік нүкте экстремум нүктесі бола бермейді.

Экстремумның болуының жеткілікті шарттары:

1. Егер x0 нүктесі f x функциясының кризистік нүктесі болса және кез

келген жеткілікті	аз h 0 болғанда	f x0	h 0,	f x0 h 0 теңсіздігі
орындалса, онда	f x функциясының x0		нүктесі максимумы болады, ал
		162

f x0 h 0, f x0 h 0 теңсіздігі орындалса, онда	f x	функциясының
x0 нүктесі минимумы болады. Егер f x0 h және	f x0	h таңбалары

бірдей болса, онда x0 нүктесінде f x функциясының экстремумы жоқ.

2. Егер f x0 0, ал

f x0 0 болса, онда

f x функциясының x0

нүктесінде экстремумы бар, егер f x0 0, онда ол максимум және егер f x0 0, онда ол минимум.

Берілген a,b кесіндісінде f x функциясының ең үлкен (ең кіші) мәнін табу үшін, кесіндінің шеткі нүктелеріндегі және осы кесіндіге тиісті кризистік нүктелердегі мәндердің ішінен ең үлкен (ең кіші) мәнді алу керек.

7.23.2 Дөңестік, ойықтық. Иілу нүктесі. Асимптоталар

42-анықтама. Егер y f x функциясының графигі a,b интервалының кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан төмен орналасқан болса, онда ол осы интервалда дөңес деп аталады (64-сурет).

M
	M

64-сурет	65-сурет
43-анықтама. Егер y f x функциясының графигі a,b интервалының

кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан жоғары орналасқан болса, онда ол осы интервалда ойық деп аталады, (65-сурет).

Функция графигінің дөңестігінің (ойықтығының) жеткілікті шарты.

Егер a,b интервалында f x0 0 болса, онда осы интервалда функция графигі дөңес болады, ал егер f x0 0 болса, онда осы интервалда функция графигі ойық болады.

44-анықтама. Функция графигінің дөңес бөлігін ойық бөлігінен айратын

x0; f x0 нүктесі иілу нүктесі деп аталады (66-сурет).
Егер x0	нүктесі	y f x		функциясының				графигінің			иілу
нүктесінің абсциссасы болса, онда			f x0 0 немесе жоқ болады.
Функцияның	f x0 0	немесе		f x0	жоқ болатын нүктелер IIреттегі
	кризистік нүктелер деп аталады.
	Егер x0		нүктесі IIреттегі кризистік нүкте болса
P	және	кез	келген		жеткілікті		аз	h 0		болғанда
	f x0	h 0,		f x0	h 0 (немесе				f x0 h 0,
	f x0	h 0)		теңсіздігі		орындалса, онда				y	f x
66-сурет	қисығының		абсциссасы			x0	болатын		нүктесі		иілу
нүктесі болады.

163

Егер f x0 h және f x0 h таңбалары бірдей болса, онда y f x қисығының абсциссасы x0 болатын нүктесі иілу нүктесі болмайды.

45-анықтама. Егер y f x қисығының M x,y нүктесінен L түзуіне дейінгі арақашықтық, осы нүкте қисық бойымен шексіздікке ұмтылғанда нөлге ұмтылса, онда L түзуі осы қисықтың асимптотасы деп аталады.

46-анықтама.

Егер

y f x

қисығының

lim f x

немесе

lim f x

x a

қисықтың тік

шегі

бар болса, онда

x a түзуі

осы

x a

асимптотасы деп аталады.

y f x

f x b

47-анықтама.

Егер

қисығының

lim

немесе

lim f x b

y b түзуі

x

көлденең

шегі

бар болса,

онда

осы

қисықтың

x

асимптотасы деп аталады.

48-анықтама. Егер y f x қисығының

k lim

f x

,

b

lim f x kx

немесе

x

x

x

f x

k lim

,

b

lim f x kx

x

x

x

шектері бар болса, онда y kx b түзуі осы қисықтың көлбеу асимптотасы деп аталады.

7.23.3 Функцияның графигін салу жолдары

Берілген y f x функциясының графигін салу кезінде оның сипаттамалық негіздерін білу керек. Ол үшін келесі шартарды орындаймыз:

1)функцияның анықталу облысын табу;

2)функцияны таққа және жұпқа зерттеу;

3)функция графигінің координата өстерімен қиылысу нүктелерін табу;

4)функцияны үзіліздікке зерттеу; үзілістік нүктелерін табу (егер оллар бар болса) және үзілістік сипаттамасын анықтау; y f x қисығының

асимптотасын табу;

5)функцияның өсу және кему интервалдарын және оның экстремумын табу;

6)қисықтың дөңестік және ойықтық интервалдарын және оның иілу нүктесін табу.

Мысалы, y x3 4 функциясының графигін салыңыз. x2

Шешуі: 1) Функцияның анықталу облысы x 0 нүктесінен басқа барлық Ox сан өсі, яғни D y , 0 0, .

2) Функция не тақ, не жұп болмайды.

164

3)Графиктің Ox өсімен қиылысу нүктелерін табамыз: x3 4 0; x 3 4.

x2

4) Үзілістік нүктесі x 0, сонымен lim y , демек x 0, яғни Oy өсі

графиктің тік асимптотасы болады.

x 0

Енді көлбеу асимптоталарын табамыз:

k lim

f x

lim

x3 4

1;

x

x

x x3

3

x

4

4

b lim f x

kx lim

x lim

0.

x

x

2

x x

2

x

Сонымен көлбеу асимптота теңдеуі y x болады.

5) Функцияның экстремумын және өсу, кему интервалдарын табамыз:

туындысын есептейміз y

8

x3 8

Ең алдымен

функцияның

1 x3

x3

, бұл

туынды x 2 болғанда

y 0 және

x 0

болғанда y

болады. Ал

x 0

және x 2

нүктелері сан

өсін

, 0 ,

0, 2 және

2,

кесінділеріне

бөледі,

сонымен

бірге

, 0

және 2, кесіндісінде

y 0

(функция

өседі) және 0, 2

кесіндісінде y 0 (функция кемиді).

Функцияның экстремумын анықтау үшін екінші туындысын табамыз:

y	24	, бұл туындының	x 2 нүктесіндегі мәні	y 2 0, демек x 2
	x4

нүктесі функцияның минимумы болады ymin 3.

6) Қисықтың дөңестік және ойықтық интервалдарын және оның иілу нүктесін табамыз. Функцияның екінші туындысы y 0 болғандықтан функция графигі барлық жерде ойық болады. Қисықтың иілу нүктесі жоқ.

Осы алынғандарды қолдана отырып, функция графигін саламыз (67сурет).

y

0 x

67-сурет

165

7.24 №9 өздiк жұмыс тапсырмалары

Берiлген функцияларды дифференциалдаңыздар:

№1

					5								4																	1																																								3									5																										3											2
																																																																																						2
1.1	y 2x																																				3															x;														1.2	y																x										4x																											;
														x3																	x																																							x																																												x4
					4								3																						2															4																										2								5																					7												5
1.3	y 3x																			x			5																																		;									1.4	y 6x																								x					2																									;
																																			x														x2																																																								x											x			3
												5														7																					6																													2								3																							4												5
1.5	y 7x																																x			4																		;												1.6		y 5x																							x					4																										;
										x2																																																																																															x3														x
																																																		x
					5								3																																		10																								3																	3																			6										4
1.7	y 3x																															x			3																					;										1.8		y							x			7																		4x																												;
													x																																				x5																																								x																												x5
					2								3																						4															2																													6										5										3																				4
1.9 y 8x																				x			4																																		;									1.10		y 4x																																					x				7																		;
																																				x													x3																																									x																													x		4
																							7																					2													2																						3									3											5																				6
1.11		y 2							x		3																			3x																																		;		1.12		y 4x																																					x				2																	;
																									x																															x				5																													x																														x		2
							3											8																																						1																		9										3																					2																4
																																																																																																4
1.13		y 5x																										4																x																	;					1.14		y																								x																		5x															;
																		x2																																							x																	x3
																																																																																																										x
		4											9													5																															3																	8										3																																									7
																																					2																																																																								3
1.15		y																															x											7x																;						1.16		y																									4												x								2x															;
			x5																																																																							x		3
															x																																																																							x
							2											4												3																														6																				2																																	4												5
																																							7
1.17		y 5x																																		x										2x																		;		1.18		y 10x																3															x			5																											;
																			x																																																																																														x										x4
																					3													4																						3																						3									5												7														3
1.19		y x							5																																	3x																		;						1.20		y 9x																																																	x			7				;
																					x																3																																																														x4
																																	x																																																						x
																		4																	3																						7																																2													4																		3
																																														2																																	3
1.21		y 3							x																																x																						;			1.22		y									x																																	5x														;
																					x5																																					x																																	x											x5
							2											3												5																						8																										3								4													7												7
1.23		y 7x																																	x			4																						;						1.24		y 8x																																																x			2		;
																		x																																		x3																																															x4
																																																																																						x
													5																	1												5																														4																5												4
1.25		y 8x																																														x				4			;											1.26		y									x		3																														3x;
													x4																		x																																																										x											x5
																			3																																		2																																				5																														2
1.27		y 4x							3																					3							x			5																						;				1.28		y 4x											5																										x				3																;
																					x																																	x4																																				x																													x3
		7														4														5																																												6												3
																																									3																						6																																										3															7
1.29		y																																			x										2x																		;	1.30 y																											3x																										x						;
					x									x3																																																												x		4
																																																																																						x
																																																																		№2
2.1. y sin3 2x cos8x5;																																																																		2.2. y cos5 3x tg(4x 1)3;
																																																																		166

2.3. y tg4x arcsin4x5;

2.4. y arcsin3 2x ctg4 4x;

2.5. y ctg3x arccos3x2;

2.6. y arccos2 4x ln(x 3);

2.7. y ln5 x arctg7x4;

2.8. y arctg34x 3sin x;

2.9. y 2cos x arcctg5x3;

2.10. y 4 x ln5(x 2);

2.11. y

tgx

arcsin7x

4

;

2.12. y 5

x2

5

;

3

arccos2x

2.13. y sin4 3x arctg2x3;

2.14. y cos3

4x arcctg

;

x

2.15. y tg32x arcsin x5;

2.16. y ctg7x arccos2x3;

2.17. y e sin x tg7x6;

2.18. y ecos x ctg8x3;

2.19. y cos5

x arccos4x;

2.20. y sin3 7x arcctg5x2;

2.21. y sin2 3x arcctg3x5;

2.22. y cos5

arctgx4;

x

2.23. y tg62x cos7x2;

2.24. y ctg34x arcsin

;

x

2.25. y ctg(1/x) arccosx4;

2.26. y tg

arctg3x5;

x

2.27. y tg32x arccos2x3;

2.28. y

2tgx arctg53x;

2.29. y sin5 3x arctg

;

2.30. y cos4 3x arcsin3x2.

x

№3

3.1. y

earccos3 x

3.2. y

x 4 2

3.3. y

e x3

earcctgx

x 5

x2 5x 1

3.4. y

e ctg5x

3.5. y

7x3 5x 2

3.6. y

etg3x

3x2 4x 2

ecos x

3x2 x 4

3.7. y

esin x

3

2x2 3x 1

3.9. y

x3

4x 5

3.8. y

x 5 7

e x

ex3

3.10. y

ectg5x

3.11. y

3 2x x2

3.12. y

e3x

x 4 3

ex

3x2 4x 7

3.13. y

e sin2x

3.14. y

ecos5x

3.15. y

2x 5 3

x 5 4

x2 5x 2

etgx

3.16. y

e tg3x

3.17. y

e sin4x

3.18. y

3x2

5x 10

4x2 3x 5

2x 5 6

e x4

3.19. y

e x

3.20. y

e4x

3.21. y

ectg5x

2x2

x 4 2

3x 5 3

3x 5 4

3.22. y

2x 3 7

3.23. y

3x 1 4

3.24. y

5x2

4x 2

e x

e 2x

e4x

167

3.25. y		5x2 x 1		3.26. y			e x2
		e3x				2x 5 7
	esin5x
3.28. y				3.29. y			x2 3x 7
	3x 2 2						e x3
							№4

4.1. y cth3x arcsinx 4.4. y th5x arcsin x 1

4.7. y 3x 2 arctg3x 4.10. y sh3x arctg x 2

4.13. y arccos5x ln3x

4.16. y ctg 7x 4 x 3

4.19. y cos x 5 arcsin3x

4.22. y tg3x4 x 3 4.25. y arccosx cos x

4.28. y arctgx th 3x 1

4.2.y cos x 2 ln x

4.5.y sh x 2 arcsin2x

4.8.y log2 x 4 ctg7x

4.11. y arcsin5x tgx 4.14. y ln x 7 ctg2x

4.17. y th		arctg3x
	x 1

4.20. y x 5 arccos3x

4.23. y ctg2x3 sinx

4.26. y sh5x arctg x 2

sin x 3

4.29. y cth x

№5

3.27. y

ecos3x

2x 4 5

3.30. y

e tgx

4x2 7x 5

4.3.	y sin3x arccosx
	y cos5x arctg
4.6.		x
	y ln x 3 sin
4.9.			x

4.12. y ch3x ctg x 3 4.15. y tg8x sin2x

		1	cth6x
	4.18. y ctg
		x

1

4.21. y sin4x arctg x

4.24. y tg7x x 2 4.27. y ctg7x sh x 3

4.30. y sh3x arcctg2x

x 3 4

y

x 3 5 x

2 3

y

x 2 3 x 1 5

5.1

y

x 7

5.2

5.3

x 2 5

x 4 2

x 1 3

y

x 3 5

y

x

2 7 x

3 3

y

x

1 4 x 2 5

5.4

x 2 2

5.5

5.6

x 1 7

x 1 5

3 x 4 2

y

x 3 2

5.8 y

x 7 10

y

x

1 8 x 3 2

5.7

x 4

3x 1

5.9

x 2 7

x 3 5

x 2 5

x 2 x 7 4

3

x 1 7

y

5 (x 4)3

5.12 y

5.10

5.11 y

;

3

(x 1)2(x 3)5

x 1 5 x 5 3

x 1 4

x 1 4

3

x 3 2

4

x 2 6

x 2 3

x 2 5

x 8

5.13

y

5.14 y

5.15 y

x 2 7

x 7 3

x 1 5

168

5

x 3 7

7 x 2 4

3 x 1 2

5.16

y

x 1

5.17 y

5.18 y

x 8 3

x 1 2 x 6 5

x 3 4 x 4 3

3

x 4 3 x 2 4

x 2 4

5.19

y

x2 2x 3

5.20 y

5.21 y

x 3 7 x 4 2

x 5 x 1 7

3

x 2 5

5.22

y

x

6 6 x

2 3

5.23 y

x

1 4 x 7 2

5.24 y

x 7 2 x 3 5

5 x 3 2

3 x 2 5

x2 3x 1

x 7 5

x 8 3

x 1

3

5.27 y

5

x 2 3

5.25

y

x 3

5.26 y

x 10

x 4 2

x 1 5

x 3 4

5.28

y

4

x 1 3

x 2 5

5.29 y

6

x 1 5

5.30 y

5

x 2 3

x 3 2

x 2 4 x 5 7

x 1 4 x 3 5

№6

Лопиталь ережесiн пайдаланып, көрсетiлген шектердi табыңыздар.

6.1 lim

ln x 5

6.2 lim

alnx x

6.3 lim

tgx x

x 1

x 4

x 3

x

x 1

x 0 x sin x

1 4sin2

1

6

6.4 lim

6.5 lim 2arctgx ln x

6.6 lim a

x

1 x

1 x2

x 1

x

x

x3

2x2

x 2

1

x

1 cosx2

6.7 lim

6.8 lim

6.9 lim

x3 7x 6

2 sin x2

x 1

x 1 ln x

ln x

x 0 x

1

tgx x

ex

2

1

x

6.10 lim

6.11 lim

;

6.12 lim

x

x 0 2sin x x

x 2arctgx2

x 0

ctg

2

ex

6.13 lim

xcosx sin x

6.14 lim

1 x

6.15 lim

;

x

3

x

x

5

x 0

x 1

x

1 sin

2

6.16 lim sin

x a

ctg x a

6.17 lim

ln x

6.18 lim

chx 1

x a

a

x

3 x

x 01 cosx

1

2tgx

ln sinmx

tgx

6.19 lim

cos2 x

6.20 lim

6.21

lim

x

4

1 cos4x

x 0

ln sin x

x

2 tg5x

6.22 lim 1 cosx ctgx

6.23 lim 1 x tg

x

6.24

3

2

lim xsin

x

x 0

x 1

x

169