Оулы 1-4

20-теорема. Егер y f x функциясы қандайда бір a,b	a x b
кесіндісінде үзіліссіз болса, онда a,b кесіндісінде ең кемінде	x x1 бір

нүктесі табылып, функцияның осы нүктедегі мәндері мына теңсіздікті

қанағаттандырады

f x1 f x ,

мұндағы x кесіндінің кез келген басқа нүктесі және ең кемінде x x2 бір нүктесі табылып, функцияның осы нүктедегі мәндері мына теңсіздікті

қанағаттандырады

f x2 f x .

Жоғарыда көрсетілген	f x1	функциясының мәнін y f x
функциясының a,b кесіндісіндегі ең		үлкен мәні, ал f x2 функциясының

мәнін y f x функциясының a,b кесіндісіндегі ең кіші мәні деп атаймыз. Айтылған теореманы қысқаша төмендегідей түрде баяндауға болады: Берілген a x b кесіндісінде үзіліссіз болатын функция осы кесіндіде

ең кемінде бір рет ең үкен M мәнін және ең кіші m мәнін қабылдайды. (57сурет)

y

M2

M1

m1

m2

0

a

x1 x2

b x

57-сурет

M2 b, f b

y

f b

0

a

c

x

f a

b

M1 a, f a

58-сурет

21-теорема. y f x функциясы a,b кесіндісінде үзіліссіз және осы кесіндінің шеткі нүктелерінде әр түрлі таңбадағы мәндер қабылдаса, онда a және b нүктелерінің арасынан ең кемінде бір x c нүктесі табылып, осы нүктеде функция нөлге айналады (58-сурет):

f c 0,	a c b.
22-теорема. y f x функциясы	a,b кесіндісінде анықталған және

үзіліссіз болсын. Егер осы кесіндінің шеткі нүктелерінде функция тең емес мәндер қабылдаса, яғни f a A, f b B болса, онда A және B

141

сандарының арасындағы қандайда болмасын

санына, f c болатын a

және b нүктелерінің арасында жататын x c нүктесі табылады.

Келесі мысалдарды қарастырамыз:

1.

lim

x3

6x2 11x 6

есептеңіз.

x2

3x 2

x 1

0

Шешуi:

Бұл есепте x 1 ұмтылғанда

анықталмағандығын аламыз,

x 1

ұмтылғанда (x 1) 0

0

яғни

ұмтылады, сондықтан бөлшектiң

алымынан және бөлiмiнен (x 1)

өрнегiнен құтылу керек ол үшiн, бөлшектiң

алымын және бөлiмiн жiктеймiз:

x3

x2 5x2 5x 6x 6

x3 6x2 11x 6

0

lim

=lim

x2 3x 2

x2 x 2x 2

x 1

0 x 1

lim

x2

(x 1) 5x(x 1) 6(x 1)

lim

(x 1)(x2 5x 6)

x(x 1) 2(x 1)

(x 1)(x 2)

x 1

x 1

lim

x2

5x 6

2

2.

x 2

9x3 7x2 4

x 1

1

2.

lim

есептеңіз.

3x3 5x 6

x

Шешуi: Бұл есепте x ұмтылғанда

анықталмағандығын аламыз.

Мұндай анықталмағандықты ашу үшiн, бөлшектiң алымынан және бөлiмiнен x тiң ең үлкен дәрежесiн жақшаның сыртына шығарып қысқартамыз:

x

3

9

7

4

9

7

4

9x3

7x2 4

x

x

3

x x3

lim

lim

lim

5x 6

5

6

5

6

x 3x3

x

x

3

x

3

3

x2

x3

x2

x3

9 lim

7

lim

4

9 0 0

x x

x x3

3.

5

6

3 0 0

3 lim

lim

x

x x2

x x3

x 8

3. lim

есептеңіз.

x x 2

Шешуi: Бұл есепте x ұмтылғанда 1 анықталмағандығын аламыз,

1

x

сондықтан оны екiншi тамаша шек

lim 1

e формуласын қолданып

x

x

шығарамыз:

142

x 8 x

x 2 10 x

10 x

lim

lim

lim 1

x

2

x

2

x x

2

x

x

x 2 10

x

x

10

x 2

10

1

1

x

lim 1

lim 1

lim ex 2

x

x 2

x

x 2

x

10

10

10x

10x

10

exp lim

exp lim

exp lim

e10 .

2

2

x x 2

x

x

1

x 1

x

tgx sin x

x

4. lim

есептеңіз.

x 0

x3

x 0

Шешуi:

Бұл

есепте

ұмтылғанда бөлшектiң алымындағы

тригонометриялық

функциялардың

айырмасының

x3

қатынасынан

0

0

анықталмағандығын аламыз, яғни бiрiншi тамаша шек lim sinx 1 қолданып

шығарамыз:

x 0

x

lim

tgx sinx

lim

tgx(1 cosx)

lim

tgx

lim

1 cosx

x 0

x3

x 0

x3

x 0 x x 0

x2

=(бiрiншi көбейткiш бiрiншi тамаша шектiң негiзiнде 1-ге тең)=

2 x

2

x

2

x

2 x

1 cosx

sin

cos

cos

sin

lim

lim

2

2

2

2

x2

x 0

x2

x 0

2 x

x

2

2sin

1

sin

1

2

lim

lim

2

.

x 0

x

2

2x 0

x

2

2

7.12 №8 өздiк жұмыс тапсырмалары

Берiлген шектердi есептеңiз:

№1

1.1

lim

x2

5x 6

;

1.2

lim

x3

x

2 2x

;

1.3 lim

6 x x

2

;

x2

x

x3

27

x 2 x2 12x 20

x 0

x 3

lim

2x2

x 1

lim

2x2 7x 6

1.6 lim

12 x x2

1.4

;

1.5

;

;

x 2

5x 6

x3

27

x 13x2

x 2 x2

x 3

143

1.7

lim

x

2 2x

;

1.8

lim

x2

4x 5

;

1.9

lim

3x2 2x 1

;

2x 3

x 2 x

2 4x 4

x 1 x2

x 1 x2 x 2

1.10

lim

x3 8

;

1.11

lim

3x2

11x 6

;

1.12

lim

x2

x 2

;

5x 3

1

x 2 x2

x 6

x 3 2x2

x 1 x3

1.13

lim

x2 16

;

1.14

lim

4x2 11x 3

;

1.15

lim

3x2

7x 6

;

x 20

2x 3

x 4 x

2

x 3 x2

x 3 2x2 7x 3

1.16

lim

4x2 7x 2

;

1.17

lim

5x2

4x 1

;

1.18

lim

x2

4x 5

;

x 2

x 2 3x2 8x 4

x 1 3x2 x 2

x 13x

2

1.19

lim

7x2 4x 3

;

1.20

lim

3x2

x 44

;

1.21 lim

2x2

9x 10

;

x 12

2 3x 10

x 1 2x2 3x 1

x 4 x

2

x 2 x

1.22

lim

4x2 x 5

;

1.23 lim

5x

2 11x 2

;

1.24

lim

x2

5x 14

;

2

2x 1

2 x 10

2

9x 35

x 1 x

x 2 3x

x 7 2x

1.25

lim

3x2 6x 45

;

1.26

lim

x2

8x 15

;

1.27

lim

x2

2x 35

;

2 6x 27

11x 5

x 5 2x2 3x 35

x 3 x

x 5 2x

2

1.28

lim

2x2 15x 8

;

1.29

lim

3x2

2x 40

;

1.30

lim

2x

2 5x 3

;

3x 4

10x 3

x 83x2 25x 8

x 4 x2

x 33x2

№2

2.1

lim

3x3

5x2 2

;

2.2

lim

4x3 7x

;

2.3

lim

5x4

3x2 7

;

5x2

x

4x2 5

2x3

1

x 2x3

x 2x3

x x

4

2.4

lim

7x3

2x2 4x

;

2.5 lim

x3

4x2 28x

;

2.6

lim

3x2

10x 3

;

2x3 5

3 3x2 x 1

x

x 5x

x 2x2 5x 3

2.7

lim

3x4 x2 x

;

2.8

lim

2x2

7x 3

;

2.9

lim

x

2 3x 1

;

4 3x 2

2

3x 4

2 x 5

x x

x 5x

x 3x

2.10

lim

x3

3x2 10

;

2.11

lim

4x

2 5x 7

;

2.12

lim

3x

4 2x 1

;

2 x 10

x3

2x

x 7x3 2x 1

x 2x

x x4

2.13

lim

3x2 2x 9

;

2.14

lim

3x2 5x 7

;

2.15

lim

2x

3 7x 2

;

x 2x2 x 10

x 3x2 x 1

x 3x3 x 4

2.16

lim

18x2 5x

;

2.17

lim

3x4 6x2 2

;

2.18

lim

8x

2 4x 5

;

4 4x 3

2 3x 2

x 8 3x 9x2

x x

x 4x

2.19

lim

8x

4 4x

2 3

;

2.20

lim

3x

2 4x 2

;

2.21

lim

7x3 4x

;

2x4 1

x

x 6x2 5x 1

x x

3

3x 2

2.22 lim

1 4x x4

;

2.23

lim

2x3 7x2 2

;

2.24

lim

3x 14x2

;

2x4

x x 3x2

x 6x3 4x 3

x 1 2x 7x2

2.25

lim

x 2x2 5x

4

;

2.26

lim

3x

4 2x2 7

;

2.27 lim

4 5x2 3x

5

;

x4

6x 8

x 2 3x2

x 3x4 3x 5

x x

5

144

2.28 lim	5x	3 7x2 3		;
		2x x3
x 2

x 4

3x

3.1. lim

;

x x

8

x 1 2 3x

3.4. lim

;

x

x

x 2 1 2x

3.7. lim

;

x x 1

x 7

2x 1

3.10. lim

;

x

x

x 2

2x 3

3.13. lim

;

x x 1

2x 1 3x 1

3.16. lim

;

x

2x 4

x 7

4x 2

3.19. lim

;

x x 1

1 x

3x

3.22. lim

;

x

2 x

2x 1

x

3.25. lim

;

2x 4

x

3x

x 2

3.28. lim

;

3x 2

x

4.1. lim		1 cos8x					;
x 0 3x2
4.4. lim		tg3x			;
x 0 2sin x
4.7. lim			tg	23x			;
x 01 cos4x
4.10. lim			1 cos2 x					;
				xtgx
x 0

2.29 lim

4x3 2x 1

;

x 2x3 3x2 2

№3

x

2x 3

3.2. lim

;

1

x x

2x 5 5x

3.5. lim

;

x 2x 1

x 3 x 4

3.8. lim

;

x x 1

x 1 3x 2

3.11. lim

;

x x 4

x

x 5

3.14. lim

;

x x 3

3x 4

3x

3.17. lim

;

2x

x

x 2 3 2x

3.20. lim

;

x

x

4x 1 2x

3.23. lim

;

4x

x

1

3x 4 x 1

3.26. lim ; x 3x 5

	x			3 2x
3.29. lim				;
x x 1

2.30 lim 5x2 3x 1;

x 3x2 x 5

		2x		4x
3.3. lim						;
x 1 2x
x 3 5x
3.6. lim						;
		x
x
		2x				3x
3.9. lim						;
x		2x 3

2x 1 x 2

3.12. lim

;

x 2x 1

3x 4

2x

3.15. lim

;

x 3x 2

x 5 3x 4

3.18. lim

;

x

x

2 3x

x

3.21. lim

;

5 3x

x

3x 4

2x

3.24. lim

;

3x

x

1 2x

x

3.27. lim

;

x

3 2x

4 2x

x 1

3.30. lim

.

x 1 2x

№4

4.2. lim

sin3x sin x

;

4.3. lim

cosx cos5x

;

5x

x 0

x 0

2x2

4.5. lim

tgx sin x

;

4.6. lim

arcsin5x

;

x 0 3x2

x 0

sin3x

4.8. lim

xsin2x

;

4.9. lim

tg2x sin2x

;

x 01 cos2x

x 0

x2

1

1

4.12. lim

sin

2

3x sin

2

x

;

4.11. lim

;

sinx

x 0

x2

x 0 tgx

145

4.26. lim

x 0

4.29. lim

x 0

4.13. lim sin7x sin3x;

x 0	xsin x
4.16. lim	arctg2x	;
x 0	tg3x

	4.19. lim		cos4x cos3 4x							;
				3x2
	x 0
				1			1
	4.22. lim							;
	x 0 sin2x						tg2x
	4.25. lim		cos2 x cos2 2x							;
				x2
	x 0
	4.28. lim	1 cos2x				;
	x 0			xtg3x

4.14. lim 1 cos5x;

x 0 2x2

4.17. lim tg3x sin3x;

x 0 2x2

4.20. lim arcsin5x;

x 0 x2 x

4.23. lim 1 cos4x; xsin x

sin5x sinx; arcsin x

7x

;

x 0 sin x sin7x

4.15. lim cos2x cos4x;

x 0 3x2

4.18.lim tg5x sin2x; x 0 arcsin7x

4.21.lim1 cos2 2x; x 0 xarcsinx

4.24.lim cos5x cosx;

4x2x 0

4.27. lim1 cos2 3x; x 0 xsin3x

4.30. lim cosx cos3 x.

x 0 5x2

7.13 Бiр айнымалыдан тәуелдi функцияның туындысы және дифференциалы. Айқын функцияның туындысы

Қарастырылатын

y

f x функциясының

x1 және x2 аргументтiң

мәндерi

y1 f (x1)

және

y2

f (x2)

мәндерiне сәйкес келетін болсын.

Аргументтердiң x x2 x1

айырмасы аргумент өсiмшесi деп аталады, ал

y y2

y1 f (x2) f (x1)

айырмасы

x1;x2

кесiндiсiндегi функция

өсiмшесi деп аталады.

28-анықтама. y f (x)

функциясы өсiмшесi

y-тің аргумент өсiмшесi

x-ке катынасының

x 0

(аргумент

өсiмшесi нөлге ұмтылғандағы)

ақырлы шегi y f (x) функциясының x

аргументi бойынша туындысы деп

аталады және мына белгiлеулердiң бiрi арқылы белгiленеді:

dy

.

y ,

f (x),

Сонымен, анықтама бойынша

dx

y

f

dy

y

f (x x) f (x)

lim

lim

(x)

x

dx x 0 x

x 0

болады.

Егер көрсетiлген формуладағы шек бар болса, онда f (x) функциясы x

нүктесiнде дифференциалданатын болады. Функцияның y туындысын табу амалы y f (x) функциясын дифференциялдау деп аталады.

Енді	туындының	геометриялық мағынасына тоқталу үшін, f x
функциясының тікбұрышты координаттар жүйесіндегі сәйкес			y f x
қисығын	қарастырамыз (59-сурет). Қандайда бір x мәнінде		функция
y f x	мәнін қабылдайды. Осы x және y мәндеріне қисықтың		M0 x, y
нүктесі сәйкес келеді.		Аргументтің x мәніне x өсімшесін беретін болсақ,
		146

онда аргументтің x x өсімшесіне функцияның y y f x x өсірілген мәні сәйкес келеді. Бұған қисықтың M1 x x, y y нүктесі сәйкес келеді. Қисыққа M0M1 қимасын жүргіземіз және оның Ox өсінің оң бағытымен

жасайтын бұрышын арқылы белгілейміз. y қатынасын қарастыратын

x

болсақ, онда суреттен y tg болатындығын көреміз.

x

Егер, x нөлге ұмтылатын болса, онда M1 нүктесі қисық бойымен жылжи отырып, M0 нүктесіне жақындайды. Қисықтың M0M1 қимасы M0 нүктесінің маңында айналады және x-тың өзгеруіне байланысты бұрышыда өзгеріп отырады. Егер, x 0 ұмтылғанда бұрышы қандайда бір шегіне ұмтылады, онда M0 нүктесі арқылы өтетін абсцисса өсінің оң бағытымен бұрышын жасайтын түзу y f x қисығының M0 нүктесіндегі ізделінді жанамасы болады. Оның бұрыштық коэффициенті мына формуламен анықталады:

					y
	tg lim tg lim
							f x .
	x 0			x 0 x
	y
			M1 y f x
	M0			y
		x		y

		x x+ x	x
	0
		59-сурет	y f x функциясының
Сонымен туындының геометриялық мағынасы
графигiне M0 x,y нүктесiнде		жүргiзiлген көлбеу	жанаманың бұрыштық

коэффициентiне тең, яғни y f x tg мұндағы жанаманың Ox өсiнiң оң бағытымен жасайтын бұрышы.

Физикалық тұрғыдан y f (x) туындысы функцияның x нүктесiндегi өзгеру жылдамдығын анықтайды.

7.14 Функцияның дифференциалдануы

29-анықтама. Егер

y f x

(7.16)

функциясының x x0 нүктесінде туындысы бар, яғни

lim	y	lim	f x0 x f x0		(7.17)
			x
x 0 x		x 0
			147

шегі бар болса, онда біз берілген x x0 нүктесінде функция дифференциалданады немесе оның туындысы бар деп айтамыз.

Егер функция қандайда бір a,b кесіндінің немесе a,b интервалының әрбір нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол сәйкес a,b

кесіндісінде немесе a,b интервалында дифференциалданады деп аталады.

23-теорема.	Егер	y f x	функциясы	x x0	нүктесінде
дифференциалданатын болса, онда ол осы нүктеде үзіліссіз болады.
Сонымен, үзілістік нүктесінде функцияның туындысы болмайды, бірақ
кері жорамал дұрыс емес,		яғни қандайда бір x x0		нүктесінде y f x

функциясы үзіліссіз болғанымен оны осы нүктеде дифференциалданады деп айтуға болмайды, себебі, f x функциясының x0 нүктесінде туындысы болмауы мүмкін.

7.15 Туындыны есептеу жолдары

Берілген y f x функциясының туындысын табу үшін туындының анықтамасының негізінде төмендегі іс әрекетті жасаймыз:

1) x аргументіне x өсімшесін беріп, функциярың өсірілген мәнін есептейміз:

y y f x x ; 2) функцияның сәйкес өсімшесін есептейміз:

y f x x f x ;

3) функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын құрастырамыз:

y

f x x f x

;

x

x

4) осы қатынастың x 0 ұмтылғандағы шегін табамыз:

y lim

y

lim

f x x f x

.

x 0 x

x 0

x

Енді кейбір элементарлық функциялардың туындысын табуда осы

әдістерді қолданамыз.

24-теорема. y xn

функциясының,

мұндағы n оң бүтін сан

болғандағы туындысы nxn 1 тең,

яғни егер

y xn

болса, онда y nxn 1

болады.

Д ә л е л д е у. Берілгені y xn

функциясы.

1) Егер x аргументі

x өсімшесін қабылдаса,

онда y y x x n

болады.

2) Функция өсімшесін есептеу кезінде Ньютон биномы формуласын қолданамыз, сонда

y x x n xn xn n xn 1 x n n 1 xn 2 x 2 ... x n xn

1 1 2

немесе

148

y nxn 1 x n n 1 xn 2 x 2 ... x n

1 2

болады.

3) Төмендегі қатынасты табамыз:

y nxn 1 n n 1 xn 2 x ... x n 1.

		x	1 2
4) Енді осы қатынастың x 0 ұмтылғандағы шегін табамыз
	y			n n 1
y lim		lim nxn 1				xn 2	x ... x n 1	nxn 1,
				1 2
x 0 x		x 0

сонымен дәлелдеу керек болғандай y nxn 1 болады.

25-теорема. sinx функциясының туындысы cosx функциясы, яғни егер

y sin x болса, онда y cosx болады.

Д ә л е л д е у. Берілгені y sin x функциясы.

y y sin x x

1) Егер x аргументі x өсімшесін қабылдаса, онда

болады.

2) Функция өсімшесін табамыз:

y sin x x sin x 2sin

x x x

x x x

x

x

cos

2sin

cos x

.

2

2

2

2

x

x

x

y

2sin

cos x

sin

x

2

2

2

3)

cos x

.

x

x

2

x

x

2

y

sin

x

4) y

2

lim

lim

lim cos x

,

x

x 0 x

x 0

x 0

2

2

бұл теңдіктің оң жағындағы бірінші көбейткіш, бірінші тамаша шек негізінде

		sin		x
	lim	2						1
	x 0		x
тең, сондықтан		2
						x
y
	lim cos x									cosx,
	x 0					2

яғни

y cosx

болады.

Дәл осы сияқты келесі теоремалардыда дәлелдеуге болады. 26-теорема. cosx функциясының туындысы sin x функциясы, яғни

егер y cosx болса, онда y sin x болады.

149

27-теорема. Тұрақтының туындысы нөлге тең, яғни егер y C, мұндағы C const болса, онда y 0 болады.

28-теорема.

loga x

функциясының

туындысы

1

loga e

1

xlna

x

функциясына тең, яғни егер

y loga x

болса, онда

y

1

loga e

1

xlna

болады.

x

1

29-теорема.

tgx функциясының туындысы

функциясына тең,

cos2 x

1

яғни егер y tgx

y

болса, онда

cos2 x болады.

1

30-теорема. ctgx функциясының туындысы

функциясына тең,

sin2

x

1

яғни егер y ctgx

болса, онда

y

болады.

sin2 x

31-теорема.

ln

x

функциясының туындысы

1

функциясына тең,

яғни

x

егер y ln

x

болса, онда y

1

болады.

x

32-теорема.

ax функциясының, мұндағы

a 0

болғандағы туындысы

ax lna функциясына тең, яғни егер y ax

болса, онда y ax lna болады.

33-теорема. Екі дифференциалданатын функцияның көбейтіндісінің туындысы, бірінші функция туындысының екінші функцияға көбейтіндісіне қосылған бірінші функцияның екінші функция туындысына көбейтіндісіне тең, яғни егер y uv болса, онда y u v uv болады.

34-теорема. Екі дифференциалданатын функцияның қатынасының туындысы, алымындағы функция туындысының бөліміндегі функцияға көбейтіндісі мен алымындағы функцияның бөліміндегі функция туындысына

көбейтінділерінің

айырмасының, бөліміндегі

функцияның

квадратына

u

қатынасына тең, яғни егер y

болса, онда y

u v uv

v

v2

болады.

35-теорема. Егер u x

функциясының қандайда бір x нүктесінде

ux x туындысы бар болсын, ал

y F u

функциясының u дың сәйкес

мәнінде yu F u

туындысы

бар

болсын,

онда

y F x күрделі

функциясының

көрсетілген

x

нүктесінде

туындысы бар

болады, ол

yx Fu u x

теңдігімен анықталады, мұндағы u x . Қысқаша былай

жазамыз:

yx yuux,

150