В в е д е н и е

Математика – самая древняя и в то же время нестареющая наука. Она начала складываться во втором тысячелетии до нашей эры, когда потребности торговли, мореплавания и другой деятельности заставили упорядочить приемы счета и измерения. Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней Греции, начиная с VIв. до н.э. Сложившись как наука, математика и по сей день не перестает развиваться, разрабатываются новые методы, открываются новые области применения, совершенствуются символика и научный аппарат. Великий поворотный пункт в истории математики наступил в ХVIIв., когда Декарт создал аналитическую геометрию, а Ньютон и Лейбниц – дифференциальное и интегральное исчисление. Эти открытия в огромной степени создали возможность как для собственного развития математики, так и для развития других наук. Интересным в этом ключе является высказывание Леонардо да Винчи: “Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства”.

В математике довольно часто встречаются такие пары операций, которые как бы нейтрализуют друг друга. Их принято называть обратными. Наиболее простыми среди них являются сложение и вычитание, другая пара тоже хорошо известна – умножение и деление. В курсе высшей математики для операции дифференцирования также существует обратная операция, которая называется интегрированием. В процессе рассмотрения методов интегрирования легко просматривается теснейшая связь с дифференцированием функций. Интересной, на наш взгляд, является информация о возможных применениях интегрального исчисления в области экономики: с помощью интегралов определяют добавочную выгоду потребителя, величину капитала по известным чистым инвестициям, величину стоимости регулярных платежей, величину начального вклада для получения желаемой величины вклада и т.д.

В настоящей методической разработке реализован подход, отличающийся от подхода во многих учебных пособиях: понятия неопределенного и определенного интеграла излагаются сразу одно за другим, и все методы и приемы интегрирования иллюстрируются на этих двух видах интегралов. Такой подход полнее отражает взаимосвязь неопределенного и определенного интегралов, и в условиях дефицита учебного времени изложение становится более экономным и компактным, поскольку все свойства, действия и приемы не повторяются дважды.

I. П о н я т и е и н т е г р а л а

1.1. Неопределенный интеграл.

Таблица интегралов.

Основные свойства неопределенного интеграла

Одной из важных, основных задач дифференциального исчисления являлось нахождение производной заданной функции, т.е. нахождения скорости изменения функции. Разнообразные задачи математического анализа, многочисленные приложения в физике, механике, геометрии приводят к решению обратной задачи – по производной найти функцию. Например, по скорости или ускорению найти уравнение движения, по изменению углового коэффициента касательной найти уравнение кривой. Такого рода задачи приводят к рассмотрению важнейшего понятия математического анализа – понятия интеграла. В истории развития математики к понятию интеграла привела задача вычисления пределов сумм бесконечно малых величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает. В связи с трудностями вычислений, возникающими при этом, необходимо было найти единый подход определения пределов таких сумм. Впоследствии понятие интеграла развивалось и совершенствовалось как инструмент познания окружающего мира.

Определение площади плоской фигуры произвольной формы, величины работы, совершаемой переменной силой, количества вещества, вступающего в химическую реакцию, объема тела, потери теплоты при охлаждении тела – эти и многие другие задачи можно решить с помощью интеграла.

Иногда задача нахождения функции по ее производной решается достаточно просто.

Например,

а) ;

б) ;

в) .

В этих примерах легко угадывается функция, от которой взята производная.

Чаще всего решение такой задачи (по производной найти функцию) требует значительных преобразований. Восстановление функции по известной производной составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

Функция называется первообразной для данной функции , если ее производная равна , т.е..

В приведенных примерах являются первообразными для соответствующих функций.

Процесс нахождения первообразных называется интегрированием.

Заметим, что одна и та же функция может иметь бесчисленное множество первообразных.

Например:

		и т.д.

		и т.д.

Проверить правильность утверждения можно нахождением производной:

Теорема 1.

Если – первообразная для функциина некотором промежутке, то любая другая первообразная для этой функции на этом же интервале может быть представлена в виде, где, которая произвольна.

Из этой теоремы вытекает, что все первообразные отличаются друг от друга на константу, и, зная одну первообразную, можно получить все остальные, прибавляя всевозможные константы.

Семейство первообразных для функцииназываетсянеопределенным интегралом от функции .

,

–подынтегральная функция;

–одна из первообразных;

–подынтегральное выражение;

–произвольная ;

–знак интеграла.

Задача состоит в нахождении хотя бы одной первообразной, что достигается путем интегрирования. При этом следует иметь в виду, что правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

Например:

,

правильность результата проверим так:

.

											Геометрически неопределенный интеграл представляет собой множество параллельных кривых, смещенных на .

Таблица основных интегралов

Часть из них следует непосредственно из формул дифференцирования, а в справедливости других легко убедиться дифференцированием.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.