Основные свойства неопределенного интеграла

Свойство 1.

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению а) ; б).

Из этого свойства вытекает, что знак дифференциала и знак интеграла взаимоуничтожается.

Свойство 2.

Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной , т.е. .

Из этого свойства вытекает, что если удается подынтегральное выражение представить как дифференциал какой-то функции, то эта функция и является результатом интегрирования.

Например:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Свойство 3.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. .

Например:

.

Свойство 4.

Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен сумме неопределенных интегралов слагаемых: .

Свойство 5.

Если справедливо равенство , то справедливым будет и соотношение: .

Это свойство означает, что линейное изменение аргумента позволяет воспользоваться таблицей интегралов и расширить её возможности.

Например, пользуясь свойством 5, получим решение интегралов:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Покажем на примере, что иногда удается вычислить интеграл разными способами, при этом все результаты будут отличаться на произвольную постоянную .

І способ решения:

ІІ способ решения:

ІІІ способ решения:

.

Покажем идентичность решений:

а) .

Первое решение легко преобразовалось в третье.

б)

.

Первое решение совпадает со вторым.

в) .

Второе решение совпадает с третьим.

Примеры:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. 

;

8. ;

9. ;

10. 

;

11. 

.

2. Определенный интеграл. Формула Ньюбона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим функцию , определенную на. Разделим весь отрезок начастей с длиной. На каждой части возьмем точки, где. Вычислим функцию в этих точках:. Составим сумму из произведений длин отрезков на:

.

Сумма называется интегральной суммой функциина.

Определенным интегралом называется конечный предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма при неограниченном ростеи стремлении наибольшего из отрезков разбиения к 0.

Обозначают:

,

,

–нижний предел,

–подынтегральная функция,

–верхний предел,

–подынтегральное выражение.

Выводы:

• С геометрической точки зрения интегральная сумма есть площадь ступенчатой фигуры илиприближенное значение площади криволинейной трапеции, а определенный интеграл есть ее площадь.

• С механической точки зрения интегральная сумма естьприближенное значение работы переменной силы, а определенный интеграл есть работа.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 2.

Если функция на отрезкеявляется первообразной для непрерывной функции, торавен приращению первообразной на этом отрезке:

Это формула Ньютона-Лейбница. Ее можно интерпретировать так

.

Из данного соотношения вытекает связь между определенным и неопределенным интегралами.

Определенный интеграл равен функции, найденной по неопределенному интегралу и вычисленной в заданных пределах.

Например:

.

Неопределенный интеграл – это функция.

Определенный интеграл – это число (значение функции).