2.3. Интегрирование по частям

Теорема 4.

Если функции и имеют производные, то справедлива формула: –для неопределенного интеграла. –для определенного интеграла.

Смысл этой формулы состоит в том, что в ней интеграл от произведения выражают через произведение и интеграл от произведения . Естественно, что ее применение оправдано тогда, когда интеграл, полученный справа, будет проще заданного.

Применение формулы интегрирования по частям основывается на следующем: подынтегральное выражение разбивают на два множителя, один из которых обозначают через , другой через – . В качестве следует брать выражение, от которого достаточно легко берется интеграл, за – функцию, которая упрощает выражение. Таким образом, в эту формулу входят четыре элемента: .

Например.

1.

;

2.

;

Можно указать основные типы интегралов, к которым применима формула интегрирования по частям:

Здесь рекомендуется вводить такие обозначения: – все остальное.

Здесь рекомендуется элементы подынтегрального выражения обозначать так: – соответствующая функция.

–любая из функций, но здесь обязательно требуется двукратное интегрирование по частям.

Например:

а)

;

Составим равенство для начального и конечного выражений:

.

Приведем подобные элементы, собрав их в правой части:

.

Теперь легко получить значение искомого интеграла:

.

б)

.

Объединим начало и конец равенства:

;

;

.

в)

.

Замечание. Рассмотренные приемы часто применяют одновременно для нахождения одного интеграла.

Примеры:

1. ;

2. 

;

3.

.

;

4.

.

2.4. Интегрирование рациональных дробей

1. Простые (правильные) дроби бывают четырех типов:

;	;
;	.

–действительные числа.

–не имеет действительных корней и на множители не раскладывается.

Рассмотрим интегрирование каждой из этих дробей.

1. ;

2. .

Например, .

3. Для интегрирования дробей III типа необходимо опираться на такие интегралы:

а) ;

б) ;

в) .

IV. – вычисление интеграла этого типа связано с выделением полного квадрата в знаменателе: заменой переменной; рассмотрением суммы интегралов типа а), б).

Например,

а)

;

б)

.

в) .

2. Рассмотрим правильную рациональную дробь

(, – многочлены и степень меньше степени ).

Теорема 5.

(из алгебры). Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.

Нам необходимо указать способ разложения такой дроби на простые. Он тесно связан с разложением знаменателя на множители. Известно, что каждый целый многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен единственным образом на действительные множители типа и , далее неразложимые.

Рассмотрим несколько случаев:

а) , тогда дробь представляют в виде:

,

где – коэффициенты, которые следует определить.

б) , тогда

,

–необходимо определить.

в) .

.

Последовательность разложения правильной рациональной дроби будет такой:

1)	Знаменатель дроби раскладывают на множители.
2)	Заданную дробь представляют в виде суммы простых дробей с неизвестными коэффициентами.
3)	Приводят к общему знаменателю сумму простых дробей и приравнивают числители обеих частей равенства.
4)	Определяют коэффициенты и переходят к интегрированию простых дробей.

Покажем все этапы на примерах.

а) ;

;

;

;

.

Чтобы найти значения используют два способа:

а) задают конкретные значения (корни знаменателя);

б) приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях и решают систему.

Первый прием особенно удобен, когда знаменатель раскладывается на разные множители. В данном примере его применение позволяет получить такие результаты:

;

;

.

б) ;

;

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной .

;

.

.

3. Рассмотрим дробь четвертого типа.

;

.

.

– рекуррентное соотношение, позволяющее последовательно упрощать интеграл и свести его до .

Примеры.

а)

.

б)

.

Замечание 1.	Если при выделении полного квадрата в качестве “остатка” будет не 1, а другое число и , то заменой знаменатель преобразуют к виду .
Замечание 2.	Если подынтегральная дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Например, – неправильная дробь.

Выполним деление, чтобы выделить целую часть:

Таким образом, числитель дроби можно представить так:

.