- •Министерство образования и науки Украины
- •С о д е р ж а н и е
- •В в е д е н и е
- •I. П о н я т и е и н т е г р а л а
- •1.1. Неопределенный интеграл.
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Определенный интеграл. Формула Ньюбона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •II. М е т о д ы и н т е г р и р о в а н и я
- •2.1. Метод непосредственного интегрирования
- •2.2. Метод замены переменной
- •2.3. Интегрирование по частям
- •2.4. Интегрирование рациональных дробей
- •2.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •Примеры.
- •6) Случай универсальной подстановки .
- •2.7. Несобственные интегралы
- •Ііі. Задания для индивидуального решения
- •3.1. Метод непосредственного интегрирования
- •3.2. Метод замены переменной
- •3.3. Метод интегрирования по частям
- •3.4. Интегрирование рациональных дробей
- •3.5. Интегрирование иррациональных функций
- •3.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •Несобственные интегралы
Основные свойства определенного интеграла
Свойство 1. |
Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: . |
Свойство 2. |
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: . |
Свойство 3. |
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак: . |
Свойство 4. |
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: . |
Свойство 5. |
Если на отрезке взять точку, то . |
Свойство 6. |
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме определенных интегралов: |
Свойство 7. |
Определенный интеграл в симметричных относительно нуля пределах от четной функции равен удвоенному интегралу на половине интервала интегрирования: , если - четная. |
Например:
.
.
Свойство 8. |
Определенный интеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю: , если – нечетная. |
Например:
; .
Примеры вычисления определенных интегралов.
;
;
;
.
II. М е т о д ы и н т е г р и р о в а н и я
Все методы интегрирования предназначены для преобразования заданного интеграла к одному или нескольким табличным значениям. Эта главная идея реализуется многими способами.
2.1. Метод непосредственного интегрирования
Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральное выражение тождественными преобразованиями представляется в другой форме, - такой, чтобы после применения к ней свойств неопределенного или определенного интеграла получить табличное выражение. Известны различные подходы к преобразованию подынтегрального выражения:
1. – |
подынтегральное выражение представляют в виде дифференциала некоторой функции. |
2. – |
используют линейное изменение аргумента. |
|
Ранее уже приводились примеры на использование этих подходов. Возьмем еще несколько примеров:
а)
.
Здесь перешли от произведения функций к их сумме, затем воспользовались свойством для суммы интегралов.
б)
.
В данном примере возвели функцию в квадрат и использовали свойства интегралов.
в) .
В этом примере основное тригонометрическое тождество позволило перейти к табличным интегралам.
г)
.
В числителе дроби выделили выражение, совпадающее со знаменателем, в результате чего получили табличные интегралы.
д) .
В этом примере использовали известные соотношения для тригонометрических функций, с целью преобразования заданного интеграла к табличному.
2.2. Метод замены переменной
Теорема 3. |
Если справедливо равенство и переменнуюзаменить по формуле, гдеимеет непрерывную производную, то справедливо равенство: . |
Если в интеграле от переменной перейти к переменной, то получим новый интеграл с преобразованным подынтегральным выражением. Замена оправдана и целесообразна, если вновь полученный интеграл проще заданного, т.е. он быстрее приводится к табличному.
Правило 1. |
При замене переменной в неопределенном интеграле после вычислений необходимо возвратиться к старой переменной . |
Правило 2. |
В определенном интеграле при замене переменной необходимо найти новые пределы интегрирования, а возвращение к старой переменной не проводится. |
Правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл:
необходимо выполнить следующие действия:
а) переписать интеграл в виде:
;
б) заменить новой буквой, например, и получить:
;
в) вычислить вновь полученный интеграл.
Например.
а)
;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
Замечание. Если в числителе дроби находится производная знаменателя, то интеграл равен модулю логарифма.
Например:
а) ;
б) .