6) Случай универсальной подстановки .
Она
применяется, когда встречаются
и
с произвольными коэффициентами, при
этом следует помнить выражения:
,
,
.
После использования универсальной подстановки функция становится рациональной.
Пример.
.
Замечание.
Подстановка
применяется, когда подынтегральная
функция содержит
,
,
с произвольными коэффициентами. В этом
случае
,
,
.
Пример.
.
2.7. Несобственные интегралы
1. Интегралы с бесконечными пределами
а) Несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом.
|
Если
для определенного интеграла
|
при
существует предел, то этот предел и
называется несобственным
интегралом:
.Алгебраически:
если предел конечен, то говорят, что интеграл сходится (существует);
если конечного предела нет, то говорят, что интеграл не существует (расходится).
Геометрически:
площадь ограничена;
площади не существует.
Примеры:
–интеграл
сходится;
–интеграл
расходится.
б) Несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом определяется аналогичным образом:
.
Примеры:
–сходится;
–расходится.
в) Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами
;
.
Примеры:
;
.
|
Замечание 1.
|
Несобственные интегралы с бесконечными пределами обладают всеми свойствами обыкновенных интегралов. |
|
|
|
|
Замечание 2. |
Интеграл Пуассона:
Интеграл Дирихле:
|
;
.2. Интегралы от непрерывных функций
а)
Пусть
непрерывна во всех точках отрезка
за исключением точки
,
причем нарушение условия непрерывности
состоит в том, что в точке
имеются разные значения функции слева
и справа:
б)
Пусть
непрерывна на
,
а в точке
не существует, т.е.
,
тогда:
.
в)
не существует на правом конце интегрирования
.
г)
не существует на левом конце интегрирования
.
д)
не существует и на левом, и на правом
конце интегрирования
.
Эти интегралы могут как сходиться, так и расходиться.
Примеры:
–интеграл
расходится;
–расходится;
–сходится;
–интеграл
расходится;
– интеграл
сходится.
Ііі. Задания для индивидуального решения
3.1. Метод непосредственного интегрирования
|
1. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
2. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
3. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
4. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
5. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
6. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
7. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
8. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
9. |
а) |
б)
|
в)
|
|
10. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
11. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
12. |
а)
|
б)
|
в) |
|
13. |
a) |
б)
|
в)
|
|
14. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
15. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
16. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
17. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
18. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
19. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
20. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
21. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
22. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
23. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
24. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
25. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
26. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
27. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
28. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
29. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
30. |
а)
|
б)
|
в)
|
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.