§ 6. Рівномірний рух тіла по колу. Період і частота обертання. Кутова і лінійна швидкість. Доцентрове прискорення

Кутове переміщення. Кутова швидкість. Період обертання. Частота обертання. Лінійна швидкість тіла, що рухається по колу. Прискорення під час рівномірного руху тіла по колу.

Почнемо розгляд руху матеріальної точки по колу з найпростішого – рівномірного руху по колу. Прикладами руху тіла по колу можуть слугувати рух супутників по колових орбітах, рух планет навколо Сонця, рух Місяця навколо Землі (мал. 1.42, а), рух будь-якої точки на тілі, що обертається (мал. 1.42, б).

К

Мал.1.38,а

Мал.1.38,б

утове переміщення, кутова швидкість. Нехай матеріальна точка рівномірно рухається по колу радіуса R і у момент часу t знаходиться в точці А, а в момент часу t₂ зайняла положення В (мал. 1.43). Радіус R, проведений з центра кола до матеріальної точки за час t₂ – t₁ описав кут φ (грецька літера «фі»), що його називають кутом переміщення.

К

Мал.1.38,в

утове переміщення тіла в системі одиниць СI виражають урадіанах. Радіан – це центральний кут між двома радіусами кола, довжина дуги між якими дорівнює радіусу. Його скорочене позначення – 1 рад.

Для характеристики руху тіла по колу використовують поняття кутової швидкості.

К

Мал.2.19

утовою швидкістю називається фізична величина, яка вимірюється відношенням кутового переміщення φ до інтервалу часу ∆t, протягом якого це переміщення відбулося:

,

(ω – читається – «омега»)

Кутова швидкість вимірюється у радіанах за секунду (рад/с). 1 рад/с дорівнює кутовій швидкості такого рівномірного руху по колу, під час якого за 1 секунду тіло здійснює переміщення в 1 радіан.

Рух, під час якого матеріальна точка рухається по колу з незмінною кутовою швидкістю називають рівномірним рухом по колу.

Період і частота обертання – характеристики руху тіла по колу.

П

Мал.2.19

еріодом обертання називають час, протягом якого тіло здійснює один повний оберт по колу.

,

де N – число обертів, зроблених за час t.

Ч

Мал.2.19

астотою обертання називають величину, обернену до періоду обертання тіла.

Частоту обертання прийнято позначати грецькою літерою υ (читається «ню»):

,

За одиницю частоти в системі СI прийнято 1 оберт за секунду: 1 об/с або 1 с^-1. Легко помітити, що період і частота – величини взаємно обернені:

та .

Кутове переміщення φ тіла за період Т дорівнює 2π. Тому кутова швидкість буде

, або, врахувавши, що , одержимо:ω = 2πυ.

Лінійна швидкість тіла, що рухається по колу. До руху тіла по колу застосовують і поняття швидкості, яке було введено для характеристики прямолінійного руху. У випадку руху тіла по колу цю швидкість називають лінійною.

Лінійна швидкість тіла, що рухається по колу, залишаючись незмінною (сталою) за модулем, неперервно змінюється за напрямом і в будь-якій точці, як ми бачили раніше, спрямована по дотичній до траєкторії. Оскільки модуль лінійної швидкості сталий, то його можна обчислити за формулою: . За один оберт (тобто колиt = T) тіло пройде відстань, яка дорівнює довжині кола:

S = 2πR, де R – радіус кола. Звідси:

, або, враховуючи, що ,v = 2πRυ.

Знайдемо відношення лінійної швидкості V до кутової ω:

, звідки V = ωR та (1).

Приклад 1. Час одного оберту Землі навколо осі дорівнює 24 год. Обчислити кутову та лінійну швидкості обертання на екваторі. Радіус Землі взяти рівним 6 400 км.

Розв’язування: обертання Землі вважатимемо рівномірним. Тоді v = ωR, а . Час t виразимо в секундах: t = 3600 · 24 = 86400 с.

R = 64 · 10⁵ м Обчислення:

T = 86400с

ω – ?

V – ?

;

.

Відповідь: ω ; .

З формули (1) видно, що чим далі розміщена точка тіла від осі, тим більша її лінійна швидкість.

Прискорення при рівномірному русі тіла по колу. * При рівномірному русі тіла по колу його лінійна швидкість, залишаючись незмінною за модулем, неперервно змінюється за напрямом. Зміна швидкості за напрямом свідчить про те, що і під час рівномірного руху тіла по колу є прискорення, яке й стає причиною зміни напряму швидкості. Це прискорення одержало назву доцентрового, оскільки воно спрямоване до центра кола. Як визначають його значення?

Скористаємось уже відомим (див. § 3, с. … – …) вам способом визначення прискорення. За означенням, прискорення характеризує стрімкість зміни швидкості і дорівнює відношенню зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася:

, або в скалярній формі .

Нехай тіло, що рівномірно рухається по колу, в момент часу t знаходилось у точці А (мал. 1.44), а через дуже малий проміжок часу ∆ t перемістилось у дуже близько розміщену точку В (на малюнку віддаль АВ для наочності показано збільшеною). Швидкість у точці А позначимо V_A, а в точці В – V_B. Оскільки рух рівномірний, то модулі швидкості у цих точках рівні. Щоб знайти зміст швидкості за час ∆ t, віднімемо (за правилом трикутника) від вектора вектор:

Для цього перенесемо вектор у точку В(мал. 1.44), зберігши його напрям; вектор відповідає приросту швидкості ∆V. За малий інтервал часу ∆t точка А переміститься на ∆S = АВ рівне дузі АВ. Зауважимо, що при малих кутах ∆φ дуга АВ співпадає з хордою АВ. Щоб визначити модуль прискорення а у цій довільно обраній точці А, розглянемо трикутники АОВ та ВСD. Вони подібні, оскільки обидва рівнобедрені і  АОВ =  DВС як кути з перпендикулярними сторонами. З подібності цих трикутників можна записати:

, або .

Але ∆S  V∆t; а V_A = V_B =V. Тому =, звідки

; або (2).

Під час рівномірного руху тіла (матеріальної точки) по колу діє доцентрове прискорення, яке у будь-якій точці траєкторії перпендикулярне до лінійної швидкості і напрямлене до центра кола.

Задача 1. Місяць рухається навколо Землі по колу радіусом 384 000 км з періодом обертання 27 діб 7 годин 45 хвилин. Обчислити лінійну швидкість та доцентрове прискорення Місяця. У скільки разів воно менше від прискорення вільного падіння?

Розв’язання.

Т = (27 · 24 · 3600)с + (7 · 60 · 60)с + (45 · 60)с = 2360700с.

R = 384000 000 м.

Лінійна швидкість Місяця .

Доцентрове прискорення Місяця становитиме:

.

Як видно, це маленьке прискорення у порівнянні з прискоренням вільного падіння поблизу поверхні Землі – 9,8 м/с²: .

Зазначимо, що відстань Місяця від Землі більша за радіус земної кулі (R_З = 6400 км) у 60 разів:

.

Звернемо увагу на цей факт тому, що, як побачимо у наступному розділі (див. § 2.7, с. …), він дав змогу видатному англійському фізику І. Ньютону зробити одне з найважливіших відкриттів – відкрити закон всесвітнього тяжіння.

Задача 2.

Автомобіль рухається по заокругленню радіусом 100 м із швидкістю 36 км/год. Визначити його доцентрове прискорення.

Розв’язання.

Доцентрове прискорення визначимо з формули .

Обчислимо прискорення:

Визначимо швидкість у метрах за секунду V = = 10 м/с.

? Запитання для самоперевірки

1. Що таке кутове переміщення?

2. Дайте означення періоду і частоти обертання.

3. Напишіть формулу кутової швидкості та поясніть значення величин, що до неї входять.

4. Визначте кутову швидкість секундної стрілки годинника.