Запам’ятайте формули

1. FV_n (майбутня вартість) = Х₀ (1 + r)ⁿ.

2. РV_n (сьогоднішня приведена вартість) = або.

3. .

^4. .

^5. .

^6. .

7. Ціна (курс) привілейованої акції = .

8. Дохідність привілейованої акції = .

9. Ціна (курс) звичайної акції, модель дисконтування дивідендів:

.

10. Дохідність звичайної акції = , з урахуванням отриманої курсової різниці:.

11. Ціна (курс) звичайної акції з постійним темпом зростання дивідендів (модель Гордона): .

12. Ціна (курс) звичайної акції, визначена за допомогою коефіцієнта Р/Е:

.

13. Ціна (курс) звичайної акції, визначеної з використанням показників доходу і чистих інвестицій:

.

14. Ціна (курс) купонної облігації:

.

15. Поточна дохідність купонної облігації: .

16. Дохідність купонної облігації на час її погашення:

.

17. Повна реалізована дохідність купонної облігації:

.

18. Ціна (курс) облігації з нульовим купоном: .

19. Показник чутливості ціни облігації до змін ринкових процентних ставок:

.

Розв’яжіть задачі

Задача 1. Корпорація виплачує дивіденди в розмірі 50 % від чистого прибутку. Дивіденди зростають рівномірно на 5 % за рік. Поточний чистий дохід на акцію становить 1,5 дол. Визначте поточну ціну акції за умови, що ставка доходу має бути 11 %.

Задача 2. Коефіцієнт дивідендних виплат корпорації дорівнює 0,4. Чистий дохід на одну акцію становить у даному році 30 дол. Дивіденд, виплачуваний за звичайними акціями, щорічно зростає на 3 %, ціна капіталу становить 14 %. Визначте поточну ціну акції.

Задача 3. Корпорація протягом трьох років виплачує дивіденди зі щорічним зростанням 20 %. Надалі встановилося рівномірне зростання на рівні 10 %. Визначте ціну акції за умови, що в останній рік перед зростанням дивіденд становив 1,5 дол., очікувана ставка доходу — 15 %.

Задача 4. Дивіденди корпорації зростали рівномірно на 10 % п’ять років, після цього протягом трьох років вони зростали на 20 % щорічно. Визначте поточну ціну акції за умови, що напередодні зростання на 10 % D₀ = 2 дол., очікувана ставка дохідності дорівнювала 15 %.

Задача 5. Поточна ціна акції на біржі становила 1,5 дол., останній виплачений дивіденд — 0,3 дол. За останні 10 років чистий дохід корпорації і виплачувані дивіденди зростали на 5 %. Визначте дохідність акції в наступні роки.

Задача 6. Поточна ціна акції на біржі становила 1,5 дол., останній виплачений дивіденд — 0,3 дол. За останні 10 років чистий дохід і дивіденди скоротилися на 2 %. Обчисліть дохідність акції в наступні роки.

Задача 7. Корпорація в поточному році виплачує дивіденд у розмірі 2 дол. Інвестор отримав дивіденд, і ціна придбання акції стала 12 дол., продажу — 13 дол. Визначте очікувану ставку доходу, яку одержить інвестор.

Задача 8. Облігація номіналом 1000 дол. з купонною ставкою 10 % випущена на термін п’ять років. Очікуваний дохід може становити 10 %, 16 %, 7 %. Визначте ціни облігації, складіть графік залежності ціни облігації від ставки очікуваного доходу, зробіть висновки.

Задача 9. Пенсійний фонд купив облігації на суму 48 млн дол. за номінальної вартості 50 млн дол. До терміну погашення облігації залишилося чотири роки, купонна ставка — 11 %. Припустимо, що очікуваний дохід через рік становитиме 12 %, через два роки — 10 %. Коли фонду вигідніше реалізувати облігації?

Задача 10. Визначте дохідність облігації на час її погашення. Номінал облігації — 1000 дол., купонна ставка — 12 %, термін — шість років. Поточна ціна облігації на час її погашення може бути: а) 920 дол.; б) 1020 дол.

Задача 11. Облігація номіналом 1000 дол., випущена на 10 років, була погашена. Інвестор отримав 9 % доходу на час погашення облігації, ціна облігації на час погашення становила 860 дол. Визначте купонну ставку.

Задача 12. Облігація номіналом 1000 дол. випущена на термін шість років із купонною ставкою 8 %. Утримувач облігації купив її за 920 дол. і щорічно реінвестував отриманий купонний дохід перші три роки за ставкою 9 %, у наступні роки — за ставкою 7 %. Обчисліть повний реалізований дохід облігації.

Задача 13. Корпорація емітувала облігації номіналом 1000 дол. терміном на п’ять років із плаваючим купоном. Коливання купонної ставки прив’язано до руху ставки на федеральні облігації з тим самим терміном плюс 1 %. За п’ять років ставки коливалися від 4 % до 5 %. Підрахуйте купонний процент, припустивши, що ставки за федеральними облігаціями зростали за п’ять років рівномірно, і визначте ціну облігації.

Задача 14. Визначте показник Макоулі, чутливість ціни облігації до зміни ринкових процентних ставок за облігацією номіналом 1000 дол., терміном на п’ять років, з купонною ставкою 12 %, очікувана дохідність — 10 %.

Задача 15. Облігація з нульовим купоном номіналом у 10 000 дол. терміном на два роки продана за ціною 8573 дол. Розрахуйте дисконтну ставку.

Задача 16. Облігація з нульовим купоном номіналом 10 000 дол. випущена терміном на два роки, дисконтна ставка — 8 %. Визначте ціну облігації.

ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ 5

Число е¹. У вищій математиці важливе значення має особливе число, що позначається символом е. Це число можна визначити як межу послідовності a_n, n-й член якої визначається за формулою:

, (1)

тобто

. (2)

Число е є ірраціональним. Можна скласти таку таблицю (значення якої округляються до 0,001):

n	1	10	100	1000	10 000	…
	2	2,594	2,704	2,717	2,718	…

Доведемо, що послідовність (1) збіжна. Для цього доведемо, що ця послідовність:

1) обмежена;

2) зростаюча.

На основі формули бінома Ньютона дістаємо:

або

Чисельник кожного дробу менший за одиницю, тому що він є добутком чисел, менших 1. Отже,

. (3)

Зауважимо, що

1  2 = 2¹

1  2  3 > 1  2  2 = 2²

1  2  3  4 > 1  2  2 2 = 2³

............

1  2  3 ...  n > 1  2  2 ...  2 = 2^{n – 1}.

Якщо знаменники дробів замінити меншими, ніж вони, числами 2²,..., 2^{n – 1}, то

.

З нерівності (3) маємо:

.

Отже, ми довели, що послідовність обмежена.

Щоб довести, що послідовність буде зростаючою, достатньо довести, що a_n < a_{n + 1}. Маємо:

.

Зауважимо, що

, .

Унаслідок цього

,

,

.....................

Кожний член a_n + 1 у наведеному розкладі (починаючи з другого члена) більший, ніж відповідний член a_n; крім того, у розкладі до a_n + 1 на одного члена більше. Звідси a_n < a_{n + 1}.

Отже, ми довели, що послідовність a_n обмежена і зростаюча; тому вона має межу.

Числое, розраховане до п’ятого десяткового знака, дорівнює 2,71828.

1 Fisher I. The Theory of Interest. — N.Y.: The Macmillan Company, 1930. — P. 14.

2 Пригожин И. Конец определенности. Время, Хаос и новые законы Природы. — М.; Ижевск: RAC Dynamics, 2001. — С. 143.

1 Докладніше про майбутню вартість див.: Боди З., Мертон Р. К. Финансы: Пер. с англ. — М.: Вильямс, 2000. — С. 158—165.

1 Там само. — С. 165.

1 Shapiro A. C. Modern Corporate Finance. — N.Y.: Mac Millan Publishing Company, 1990. — Р. 81.

1 Shapiro A. C. Modern Corporate Finance. — Р. 501.

2 Shapiro A. C. Modern Corporate Finance. — Р. 596—597.

1 Росс Ст., Вестерфильд Р., Джордан Б. Основы корпоративных финансов: Пер. с англ. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. — С. 365.

2 Корпорація «Мерріл Лінч» випустила нову облігацію — вексель із правом опціону і мінливої дохідності. Вексель має ознаки двох різних за своїм характером облігацій: із правом дострокового викупу або дострокового погашення і облігації, що інвестуються з нульовим купоном.

1 Крынський Х. Э. Математика для экономистов. — М.: Статистика, 1970. — С. 83—85.