МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_2

2. ЛІНІЙНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ВЕКТОРАМИ.

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

1. Лінійні операції над векторами. Вектором (геометричним вектором) називається множина всіх направлених відрізків, що мають однакову довжину і напрямок. Довжина відрізка називається довжиною (модулем) вектора і позначається символом Вектор нульової довжини називається нульовим вектором і позначається символом

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони знаходяться на паралельних прямих

Три вектори називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині або лежать в одній площині.

Добутком вектора на дійсне число називається такий вектор, що:

1)

2) вектори і співнаправлені при >0 і протилежні при <0.

Сума двох векторів визначається за правилом паралелограма (рис.1.1) або за правилом трикутника (рис.1.2)

Рис.1.1 Рис.1.2

Якщо то вектор називається протилежним вектору і позначається символом Різницею двох векторів

називається такий вектор що дорівнює

2. Базис і координати вектора. Прямокутна декартова система координат (ПДСК). Впорядкована трійка некомпланарних векторів називається базисом множини всіх геометричних векторів. Коефіцієнти розкладу довільного вектора за векторами базису

(1.5)

називаються його координатами і позначаються

Базис називається прямокутним, якщо вектори попарно перпендикулярні та мають одиничну довжину. В цьому випадку приймаються позначення

В трьохмірному просторі введена ПДСК, якщо задані:

1. деяка точка О (початок координат);

2. деякий прямокутний базис в множині всіх геометричних векторів.

Осі і проведені через точку в напрямку базисних ортів і називаються координатними осями системи координат

Якщо довільна точка простору, то направлений відрізок

називається радіус-вектором точки Координати точки

називаються координатами її радіус-вектора .

Якщо дві довільні точки в

просторі, то координати вектора

3. Скалярний добуток векторів. Скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними

(1.6)

Властивості скалярного добутку:

1. (умова перпендикулярності векторів);

2. 

3. 

4. 

Якщо вектори і задані координатами

в прямокутному базисі, то скалярний добуток дорівнює

(1.7)

Із цієї формули випливає формула для обчислення косинуса кута між векторами

(1.8)

а також довжина вектора

(1.9)

Робота, яку виконує постійна сила при переміщенні матеріальної точки із положення в положення ,обчислюється за формулою

(1.10)

АР-1.2

1. За даними векторами і побудувати:

а). ; б). ; в). ; г). .

2. Вектори , і служать медіанами трикутника . Довести рівність .

3. Знайти вектор , напрямлений по бісектрисі кута між векторами

і , якщо .

(Відповідь: ).

4. На площині задані вектори , і . Переконатися, що вектори і утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі.

(Відповідь: ).

5. Задані дві суміжні вершини паралелограма ,

і точка перетину його діагоналей .

Знайти дві інші вершини. (Відповідь: , ).

6. Знайти координати кінців і відрізка, який точками і розділений на три рівні частини (Відповідь: ,).

7. Вектори і взаємно перпендикулярні, а вектор утворює з ними кути, рівні . Знаючи, що , , , обчислити: ; .

(Відповідь: ).

8. Знайти кути трикутника з вершинами: , і . (Відповідь: , ).

9. Обчислити роботу рівнодійної сил , , , прикладених до матеріальної точки, яка під їх дією переміщається прямолінійно із положення

в положення . (Відповідь: ).

СР-1.2

1. Задані точки , , і . Обчислити .

2. Знайти вектор , який колінеарний вектору і задовільняє умові .

3. Довести, що чотирикутник з вершинами ,

, і - квадрат.

ІДЗ-1.2

1.Перевірити, чи колінеарні вектори і , побудовані за векторами і .

1.1. .

1.2. .

1.3. .

1.4. .

1.5. .

1.6. .

1.7. .

1.8. .

1.9.

1.10. .

1.11. .

1.12. .

1.13. .

1.14. .

1.15. .

1.16. .

1.17. .

1.18. .

1.19. .

1.20. .

1.21. .

1.22. .

1.23. .

1.24. .

1.25. .

1.26. .

1.27. .

1.28. .

1.29. .

1.30. .

2.Обчислити косинус кута між векторами і

, якщо .

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

2.5. .

2.6. .

2.7. .

2.8. .

2.9. .

2.10. .

2.11. .

2.12. .

2.13. .

2.14. .

2.15. .

2.16. .

2.17. .

2.18. .

2.19. .

2.20. .

2.21. .

2.22. .

2.23. .

2.24. .

2.25. .

2.26. .

2.27. .

2.28. .

2.29. .

2.30. .

3. За координатами точок і для вказаних векторів знайти:

а) модуль вектора ;

б) скалярний добуток векторів і ;

в) проекцію вектора на вектор ;

г) координати точки , яка ділить відрізок у відношенні .

3.1. ,

3.2. ,

3.3. ,

3.4. ,

3.5. ,

3.6. ,

3.7.,

3.8. ,

3.9. ,

3.10.,

3.11.,

3.12.,

3.13.,

3.14.,

3.15.,

3.16.,

3.17.,

3.18.,

3.19.,

3.20.,

3.21.,

3.22.,

3.23.,

3.24.,

3.25.,

3.26.,

3.27.,

3.28.,

3.29.,

3.30.,

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

1. Перевірити, чи колінеарні вектори і , де , :

Оскільки , і

, то вектори і колінеарні.

2. Обчислити косинус кута між векторами і , якщо . .

Так як =

,

=

=,

=,

то .

3. За координатами точок , і знайти:

а) модуль вектора ;

б) скалярний добуток векторів і ;

в) проекцію вектора на вектор ;

г) координати точки , яка ділить відрізок у відношенні .

a) Послідовно знаходимо ,

, ,

==;

б) Маємо , . Тоді

;