МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_20
.doc-
ПОВНА ПОХІДНА І ПОВНИЙ ДИФЕРЕНЦІАЛ.
ПОХІДНА ЗА НАПРЯМКОМ І ГРАДІЄНТ
1. Повна похідна.
Нехай
де
а
незалежні змінні. Частинні похідні
функції
по
обчислюються таким чином:
(1.48)
Якщо
диференційовна функція змінних
які є теж диференційовними функціями
незалежної змінної
то повна похідна складної функції
обчислюється за формулою
(1.49)
2. Повний
диференціал. Повним
приростом функції
в точці
, що відповідає приростам аргументів
називається різниця
Функція
називається диференційовною в точці
якщо всюди в околі цієї точці повний
приріст функції можна представити у
вигляді
де
Повним диференціалом
функції
в точці
називається головна частина повного
приросту функції, яка лінійна відносно
тобто
або
(1.50)
При досить малому
для
диференційовної функції
має місце наближена рівність
або
(1.51)
Диференціалом
2-го порядку
функції
називається диференціал від її
диференціала 1-го порядку
Взагалі, диференціал
-го
порядку
визначається як диференціал від
диференціала
-го
порядку
.
Диференціал
-го
порядку
виражається символічною формулою
3. Похідна за
напрямком і градієнт. Якщо
функція
диференційовна і
деякий
вектор, що задає напрям, то похідна за
напрямком вектора
обчислюється
за формулою
(1.52)
де
напрямні косинуси вектора
.
Градієнт функції
це
вектор
(1.53)
АР-1.20
1. Продиференціювати функції:
а)
б)
в)
г)
(Відповідь: а)
б)
в)
г)
).
2. Знайти повний
диференціал функції
,
яка визначається рівнянням
(Відповідь:
).
3.
Знайти
проекції градієнта в точці
(Відповідь:
).
4. Яким є напрям
найбільшої зміни функції
в початку координат?
(Відповідь: від’ємна
піввісь
).
5. Знайти похідну
функції
в точці
за напрямком, що йде від цієї точки до
точки
.
(Відповідь:
).
6. Знайти похідну
функції
в точці
за напрямком, який утворює з осями
координат кути відповідно
(Відповідь:
).
СР-1.20
1. а) Знайти повний
диференціал функції
б) Знайти похідну
функції
в точці
за напрямком, що йде від цієї точки до
точки
,
та проекції градієнта цієї функції в
точці
.
2. а) Знайти
повний диференціал функції
,
яка визначається рівнянням
б) Знайти похідну
функції
в точці
за напрямком від точки
до точки
та проекції градієнта цієї функції в
точці
.
3. а) Знайти
повний диференціал функції
б) Знайти похідну
функції
в точці
за напрямком вектора
,
якщо дано точку
.
Визначити проекції
градієнта даної функції в точці
.
ІДЗ-1.20
1. Знайти повні диференціали вказаних функцій:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
2. Обчислити
значення похідної складної функції
,
де
при
з точністю до двох знаків після коми.
2.1.
(Відповідь:
).
2.2.
(Відповідь:
).
2.3.
(Відповідь:
).
2.4.
(Відповідь:
).
2.5.
(Відповідь:
).
2.6.
(Відповідь:
).
2.7.
(Відповідь:
).
2.8.
(Відповідь:
).
2.9.
(Відповідь:
).
2.10.
(Відповідь:
).
2.11.
(Відповідь:
).
2.12.
(Відповідь:
).
2.13.
(Відповідь:
).
2.14.
(Відповідь:
).
2.15.
(Відповідь:
).
2.16.
(Відповідь:
).
2.17.
(Відповідь:
).
2.18.
(Відповідь:
).
2.19.
(Відповідь:
).
2.20.
(Відповідь:
).
2.21.
(Відповідь:
).
2.22.
(Відповідь:
).
2.23.
(Відповідь:
).
2.24.
(Відповідь:
).
2.25.
(Відповідь:
).
2.26.
(Відповідь:
).
2.27.
(Відповідь:
).
2.28.
(Відповідь:
).
2.29.
(Відповідь:
).
2.30.
(Відповідь:
).
3. Продиференціювати складні функції:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
4. Дано функцію
і точки
.
Обчислити :
1) похідну цієї
функції в точці
за напрямком від точки
до точки
;
2)
.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
1. Знайти
повний диференціал функції
Знаходимо частинні похідні даної функції:
За формулою (1.50) маємо:
2. Обчислити
значення похідної
складної функції
якщо
.
За формулою (1.49) маємо
При
одержуємо, що
Тоді
3. Продиференціювати
складну функцію
,
якщо
За формулою (1.49) маємо:
При
остаточно отримаємо:
4. Дано фугкцію
і точки
.
Обчислити :
1) похідну цієї
функції в точці
за
напрямком від
до точки
;
2)
1) Обчислимо
похідну функції в точці
за напрямком вектора
.
Користуючись формулою (1.52), знаходимо:
тоді
2) За формулою (1.53) знаходимо
