МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_22
.doc-
КРИВИЗНА ПЛОСКОЇ КРИВОЇ.
КРИВИЗНА І КРУЧЕННЯ ПРОСТОРОВОЇ ЛІНІЇ
1. Рівняння дотичної прямої та нормальної площини до просторової лінії. Якщо просторова лінія задана векторним рівнянням
(1.55)
то
рівняння дотичної до неї в точці
,
де
,
має такий вигляд
. (1.56)
Рівняння нормальної площини до кривої
(1.57)
Якщо поверхня задана рівнянням
(1.58)
то
рівняння дотичної площини до поверхні
в точці
має
вигляд
(1.59)
а нормалі
(1.60)
2.
Кривизна плоскої кривої. Нехай
в прямокутній декартовій системі
координат
на площині рівняння лінії
причому
має неперервну похідну. Тоді кривизна
плоскої кривої обчислюється за формулою
(1.61)
де
радіус
кривизни в точці
Якщо лінія задана параметричними рівняннями
то кривизна кривої обчислюється
(1.62)
Якщо
крива задана рівнянням в полярних
координатах
то кривизна обчислюється за формулою
(1.63)
3.
Кривизна і кручення просторової лінії.
Якщо
рівняння просторової лінії задане у
векторній формі
=
,
то кривизна кривої обчислюється за
формулою
(1.64)
Кручення
просторової лінії
обчислюється
за
формулою (
радіус
кручення )
(1.65)
Нехай
одиничний
вектор, направлений по дотичній до
кривої в сторону руху,
одиничний
вектор головної нормалі, а
одиничний
вектор бінормалі (рис.1.24). Тоді похідні
по довжині дуги кривої
від цих векторів обчислюються за
формулами Серре-Френе
(1.66)
Рис.1. 24
АР-1.22
1. Знайти
кривизну еліпса
у вершинах.
(Відповідь:
).
2. Знайти
кривизну лінії
в довільній точці
.
(Відповідь:
).
-
Знайти кривизну вказаних ліній:
а)
при
.
б)
в точці
.
(Відповідь:
a)
б)
).
-
Знайти рівняння еволюти для астроїди
(Відповідь:
).
5. Знайти рівняння дотичної, рівняння нормальної площини та обчислити кривизну і кручення лінії:
при
.
СР 1.22
Знайти кривизну і кручення лінії:
1.
в довільній точці.
(Відповідь:
).
-
в
довільній точці.
(Відповідь:
).
3.
при
.
(Відповідь:
).
ІДЗ-1.22
1. Знайти
кривизну і радіус кривизни плоскої
кривої в точці
(при
).
1.1.
,
в точці
1.2.
в
точці
.
1.3.
при
1.4.
при
.
1.5.
в точці
.
1.6.
в точці
.
1.7.
при
.
1.8.
при
.
1.9.
в точці
.
1.10.
в точці
1.11.
в точці
.
1.12.
при
.
1.13.
в точці
.
1.14.
в точці
.
1.15.
в точці
.
1.16.
в точці
.
1.17.
в точці
.
1.18.
в точці
.
1.19.
при
.
1.20.
в точці
.
1.21.
при
.
1.22.
в точці
.
1.23.
при
.
1.24.
в точці
.
1.25.
в точці
.
1.26.
при
.
1.27.
в точці
.
1.28.
в точці
.
1.29.
в точці
.
1.30.
при
.
2. Знайти
рівняння дотичної площини і нормалі до
заданої поверхні S в
точці
.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
3. Обчислити
кривизну і кручення лінії
в точці
.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
1. Знайти
кривизну, радіус кривизни,
координати
центра кривизни та коло кривизни параболи
в довільній точці
.
Написати рівняння її еволюти.
Обчислимо
послідовно похідні
.
Тоді кривизна та радіус кривизни
відповідно будуть:
Знайдемо координати
центра кривизни
Так,
наприклад, в точці
і
рівняння кола
кривизни
Вважаючи
запишемо параметричні рівняння еволюти
параболи:
З першого
рівняння визначаємо
,
з другого знаходимо
.
Отже, рівняння еволюти параболи має
вигляд
,
або, після перетворень,
напівкубічна парабола. Центром кривизни
є точка
.
На рис.
1.25 зображена парабола
,
евольвента, її еволюта і
коло кривизни в
точці
.
Рис.1.25
2. Знайти
рівняння дотичної площини і нормалі до
заданої поверхні S
в точці
,
якщо
Знаходимо
частинні похідні:
Підставивши
в одержані вирази координати точки
,
обчислимо координати вектора
,
перпендикулярного до поверхні S
в даній точці:
Отже, нормальна площина має рівняння (1.59)
або
а рівняння дотичної
за формулою (1.60
) матиме вигляд
3. Обчислити кривизну та кручення гвинтової лінії
при
.
Знайдемо похідні
першого, другого та третього порядків
від векторної функції при
:
Кривизну обчислюємо за формулою (1.64):
і
Тоді
Кручення обчислюємо за формулою (1.65):
і
