МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_3
.doc-
ВЕКТОРНИЙ І ЗМІШАНИЙ ДОБУТКИ
1. Векторний добуток векторів. Впорядкована трійка некомпланарних векторів і називається правою, якщо з кінця вектора видно найкоротший поворот від до проти стрілки годинника. В протилежному випадку трійка векторів ліва.
Векторним добутком вектора на вектор називається такий третій вектор , що позначається символом (або ), який визначається такими умовами:
-
довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , тобто
-
вектор тобто площині, в якій лежать вектори і
-
впорядкована трійка права.
Властивості векторного добутку:
Якщо вектори задані своїми координатами в прямокутній декартовій системі координат (базис правий), то координати вектора обчислюються за формулою
(1.11)
-
Змішаний добуток векторів. Змішаним добутком впорядкованої трійки векторів , називається число і позначається символом (або ).
Властивості змішаного добутку:
-
якщо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах і то
, причому знак “+”, коли і права трійка векторів і знак “-”, коли трійка векторів ліва;
-
компланарні;
-
Якщо вектори задані координатами в правій ПДСК, то змішаний добуток записується у вигдяді
(1.12)
АР-1.3
1. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що ,, обчислити: ; .
( Відповідь: 6; 18; 60 ).
2. Задані вектори і . Знайти координати векторів: ; ; ;
( Відповідь: ; ; ).
3. Обчислити площу трикутника з вершинами , і . ( Відповідь: 14 ).
4. Сили , і прикладені до точки . Обчислити величину і напрямні косинуси момента рівнодійної цих сил відносно точки .
( Відповідь: , , ,
).
5. Обчислити об’єм піраміди з вершинами , , і .
( Відповідь: 6 ).
6. Довести, що точки , , і лежать в одній площині.
7. Встановити, чи компланарні наступні вектори:
а) , , ;
б) , , ;
( Відповідь: а) не компланарні; б) компланарні ).
8. Вияснити, правою чи лівою буде трійка векторів , , . ( Відповідь: лівою. )
СР-1.3
1. Спростити вирази:
а);
б).
2. Знайти площу паралелограма, діагоналями якого служать вектори і , де і - одиничні вектори, які утворюють кут 450.
3. Довести, що при будь-яких і вектори і компланарні.
ІДЗ-1.3
1.Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і .
1.1. , ; , , .
1.2. , ; , , .
1.3. , ; , , .
1.4. ,; , , .
1.5. , ; , , .
1.6. , ; , , .
1.7. , ; , , .
1.8. , ; , , .
1.9. , ; , , .
1.10., ; , , .
1.11., ; , , .
1.12., ; , , .
1.13., ; , , .
1.14., ; , , .
1.15., ; , , .
1.16., ; , , .
1.17., ; , , .
1.18., ; , , .
1.19., ; , , .
1.20., ; , , .
1.21., ; , , .
1.22., ; , , .
1.23., ; , , .
1.24., ; , , .
1.25., ; , , .
1.26., ; , , .
1.27., ; , , .
1.28., ; , , .
1.29., ; , , .
1.30., ; , , .
2. Обчислити об’єм піраміди з вершинами в точках і її висоту, опущену з вершини на грань .
2.1. , , , .
2.2. , , , .
2.3. , , , .
2.4. , , , .
2.5. ,,, .
2.6. , , , .
2.7. , , , .
2.8. , , , .
2.9. , , , .
2.10., ,,.
2.11., , , .
2.12., , , .
2.13., , , .
2.14., , , .
2.15., , , .
2.16., , , .
2.17., , , .
2.18., , , .
2.19., , , .
2.20., , , .
2.21., , , .
2.22., , , .
2.23., , , .
2.24., , , .
2.25., , , .
2.26., , , .
2.27., , , .