МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_5
.doc-
ПЛОЩИНА
Площина
в прямокутній декартовій системі
координат
може бути задана рівнянням в такому
вигляді:
-
загальне
рівняння площини, де вектор
перпендикулярний площині
(нормальний
вектор площини); -
рівняння
площини, що проходить через задану
точку
-
рівняння
площини у відрізках, де
і
величини направлених відрізків, що
відтинаються площиною на координатних
осях
відповідно.
4)
рівняння
площини, що проходить через три заданих
точки
Якщо
площина
задана загальним рівнянням у вигляді
1),
то віддаль від точки
до площини
обчислюється
за формулою
(1.15)
Кут
між двома площинами
і
обчислюється як кут між їх нормальними
векторами
і
за формулою
(1.16)
Із формули (1.16) одержимо умови паралельності та перпендикулярності двох площин
||
АР-1.5
1. Задані
площина
точки
і
а) Написати рівняння
площини
що проходить через точку
паралельно
площині
б) написати рівняння
площини
що проходить через задані точки
і
перпендикулярно заданій площині
в) обчислити
віддаль
(Відповідь:
а)
;
б)
;
с)
).
2. Написати рівняння площини, яка:
а)
паралельна площині
і проходить через точку
б)
проходить через вісь
і точку
в)
паралельна осі
і проходить через дві точки
і
г)
проходить через точку
і має нормальний вектор
д)
проходить через точку
і паралельна двом векторам
і
е) проходить через
три точки
(Відповідь:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
).
3.
Записати рівняння площини, що проходить
через точку
і відтинає на координатних осях рівні
додатні відрізки.
(Відповідь:
).
4.
Обчислити кут між площинами
і
(Відповідь:
).
5.
Обчислити віддаль між паралельними
площинами
і
(Відповідь:
).
СР-1.5
1.
Записати рівняння площини, що проходить
через точку
перпендикулярно до двох площин
і
(Відповідь:
).
2.
Написати рівняння площини, яка паралельна
вектору
і відтинає на осях
і
відрізки
(Відповідь:
).
3. Знайти
координати точки
яка
симетрична точці
відносно площини
(Відповідь:
.
ІДЗ-1.5
1. Задані
чотири точки
і
.
а) Перевірити чи лежать чотири точки в одній площині;
Написати рівняння:
б)
площини
що проходить через три точки
в)
площини
,
що проходить через точку
і паралельна площині
г)
площини
,
що проходить через точки
і перпендикулярна
площині
д)
площини
що проходить через точки
Обчислити:
е) кут
між площинами
і
є)
віддаль між площинами
і
1.30.
2. Розв’язати наступні задачі:
2.1.
Знайти величини відрізків, що відтинаються
на осях координат площиною, яка проходить
через точку
паралельно площині
(Відповідь:
).
2.2.
Написати рівняння площини, що проходить
через середину відрізка
і перпендикулярна до цього відрізка,
якщо
.
(Відповідь:
).
2.3.
Знайти віддаль від точки
до площини
(Відповідь:
).
2.4.
Записати рівняння площини, що проходить
через точку
паралельно площині
(Відповідь:
).
2.5.
Скласти рівняння площини, що проходить
через вісь
і точку
(Відповідь:
).
2.6.
Скласти рівняння площини, що проходить
через точки
паралельно осі
(Відповідь:
).
2.7.
Записати рівняння площин, паралельних
площині
і віддалених від неї на 2 од.
(Відповідь:
).
2.8.
Написати рівняння площини, що проходить
через точку
і перпендикулярну до площин
і
(Відповідь:
).
2.9.
Написати рівняння площини, що проходить
через точки
і перпендикулярна до площини
(Відповідь:
).
2.10.
Скласти рівняння площини у відрізках,
якщо вона проходить через точку
і відтинає на осі
відрізок
(Відповідь:
).
2.11.
Скласти рівняння площини, що проходить
через точку
паралельно двом векторам
і
(Відповідь:
).
2.12.
Скласти рівняння площини, що проходить
через точки
,
перпендикулярно до площини
.
(Відповідь:
).
2.13.
Скласти рівняння площини, що проходить
через початок координат перпендикулярно
до двох площин
і
(Відповідь:
).
2.14.
Скласти рівняння площини, що проходить
через точки
паралельно вектору
(Відповідь:
).
2.15.
Скласти рівняння площини, що проходить
через початок координат перпендикулярно
вектору
якщо
(Відповідь:
).
2.16.
Знайти величини відрізків, що відтинаються
на осях координат площиною, що проходить
через точку
паралельно площині
(Відповідь:
).
2.17.
Написати рівняння площини, що проходить
через точку
перпендикулярно до відрізка
якщо
(Відповідь:
).
2.18.
Знайти кут між площиною, що проходить
через точки
і площиною
(Відповідь:
).
2.19.
Записати загальне рівняння площини, що
проходить через точку
паралельно координатній площині
(Відповідь:
).
2.20.
Скласти рівняння площини, що проходить
через вісь
і точку
(Відповідь:
).
2.21.
Скласти рівняння площини, що проходить
через точки
і
паралельно осі
(Відповідь:
).
2.22.
Скласти рівняння площини, що проходить
через вісь
і утворює кут
з площиною
(Відповідь:
).
2.23.
Знайти віддаль від точки
до площини
(Відповідь:
).
2.24.
Визначити, при якому значенні
площини
і
будуть перпендикулярними.
(Відповідь:
).
2.25.
Скласти рівняння площини, що проходить
через точку
і відтинає на осях координат відмінні
від нуля відрізки однакової довжини.
(Відповідь:
).
2.26.
Знайти віддаль від точки
до площини
(Відповідь:
).
2.27.
Записати рівняння площини, що проходить
через точки
і перпендикулярна площині
(Відповідь:
).
2.28.
Скласти рівняння площини, що проходить
через початок координат перпендикулярно
до площин
і
(Відповідь:
).
2.29.
Скласти рівняння площини, що проходить
через точки
і
паралельно вектору
(Відповідь:
).
2.30.
Визначити, при якому значенні
площини
і
будуть перпендикулярні.
(Відповідь:
).
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
1. Задані
чотири точки
і
.
а) перевірити чи лежать чотири точки в одній площині;
Написати рівняння:
б)
площини
що проходить через три точки
в)
площини
,
що проходить через точку
і паралельна площині
г)
площини
,
що проходить через точки
і перпендикулярна
площині
д)
площини
що проходить через точки
Обчислити:
е) кут
між площинами
і
є)
віддаль між площинами
і
а)
Знайдемо вектори
Точки
лежатимуть в одній площині тоді, коли
вектори
компланарні (змішаний добуток трьох
векторів дорівнює нулю) :
Отже
вектори некомпланарні, а значить, точки
не лежать в одній площині.
б)
Запишемо рівняння площини
,
що проходить через три заданих точки
:
в)
Рівняння площини
,
що проходить через точку
Оскільки
і
паралельні, то
г)
Рівняння площини
шукаємо у вигляді (рівняння площини, що
проходить через точку
)
.
Коефіцієнти
знаходимо із умов:
тоді
і після
ділення рівняння на
одержимо
д)
Рівняння площини
,
що проходить через точки
е) Кут
між площинами
і
визначається як кут між їх нормальними
векторами
і
або
є)
Віддаль між двома паралельними площинами
і
знаходимо як віддаль від довільної
точки, що лежить в площині
наприклад
до площини
2.
Записати рівняння площини, що проходить
через точку
і вісь
Рівняння
площини шукаємо у вигляді
Оскільки площина проходить через вісь
то точки
,
лежать в даній площині;
значить,
і рівняння шуканої площини має такий
вигляд (після ділення на
)
