Робастные оценки регрессии

Запишем критериальную форму получения оценки:

I

n

| y

| min

2

m

2

i

i 1

m2

I21

n

m21 )

2

1

( yi

min

| y

m0 |

i 1

m21

i

2

1

n

1

dI2

2

( yi

m21 )

0

dm1

| y

m0

|

i 1

2

i

2

1

n

0 1

n

0 1

m2

| yi m2

|

| y j

m2 |

yi

i 1

j 1

l 1	n		l	1	n	l	|	1
m2		| yi m2 |			| y j m2				yi , l 0, 1, 2,
	i 1				j 1
	| m2l 1 m2l			|

Робастные оценки регрессии

Модульный критерий не является единственным для получения робастных оценок. Более общий критерий имеет вид :

n	(x		xi )
I (x) F( yi )K		h		min
i 1

Некоторые виды функций F(v):

F(v)

F(v) | v |

0 v

		F(v)
	a	0	v
			a

v2 2,		| v | a;
F(v)	2	2, a | v |
a | v | a

F(v)

	a	0	v
			a

F(v)

	a	0	v
			a

F(v)

0v

v2 2, | v | a;

F(v)

a2 2, a | v |

| v |, | v| a;
F(v)	a | v|
a,

F(v) | v|p ,1 p 2

Адаптивное управление при априорной неопределенности

Адаптацией природа наделила все живое. Она представляет собой приспособление к различным изменениям. Эти изменения происходят как внутри живого организма, так и во внешней среде.

Свойством адаптации человек наделил и созданные им устройства. Управление в этих устройствах осуществляется таким образом, чтобы как можно быстрее и лучше нейтрализовать влияние непредвиденных изменений или приспособиться к ним.

1

ИУ

u

y

Объект

ИУ

2

Управляющее

y

устройство

y*

ВОПРОСЫ ?

ДИСПЕРСИОННЫЙ

АНАЛИЗ

Постановка проблемы

Дисперсионный анализ является статистическим методом анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, с целью выбора наиболее значимых факторов и оценки их влияния на исследуемый процесс.

Методами дисперсионного анализа устанавливается

наличие влияния заданного фактора на изучаемый процесс (на выходную переменную процесса) за счёт статистической обработки наблюдаемой совокупности выборочных данных.

Однофакторный дисперсионный анализ

Предположим, что анализируется влияние на

	случайную величину X фактора A, изучаемого на							k
	уровнях (A1, A2,…, Ak). На каждом уровне Ai
	проведены n наблюдений (xi1,				xi2,…,xin) случайной
	величины X.	Номер			Уровни фактора A
		наблюдения	A1	A2	…	Ai	…	Ak
	Расположим	1	x11	x21	…	xi1	…	xk1
	эксперимен-
		2	x12	x22	…	xi2	…	xk2
	тальные
		….	…	…	…	…	…	…
	данные в
		j	x1j	x2j	…	xij	…	xkj
	виде таблицы
		…	…	…	…	…	…	…
		n	x1n	X2n	…	xin	…	xkn
			X	X	…	X	…	X

Однофакторный дисперсионный анализ

Рассмотрим оценки различных дисперсий, возникающие при анализе таблицы результатов наблюдений. Для оценки дисперсии, характеризующей изменение данных на уровне Ai (по строкам таблицы), имеем:

2		1	n				2		1			n	2		1		n		2
				(xij	xi )																.
Si												xij
									n								xij
		n 1 j 1								1 j 1					n j 1

Из предпосылок дисперсионного анализа следует, что должно иметь место равенство всех дисперсий. При выполнении этого условия находим оценку дисперсии, характеризующей рассеяние значений xij вне влияния фактора A, по формуле:

1

k

1

k n

1

k n

1

k

n

2

S02

Si2

(xij

xi

)2

xij2

xij

k(n 1)

k i 1

k(n 1) i 1 j 1

i 1 j 1

n i 1

j 1

Однофакторный дисперсионный анализ

Для упрощения вычислений приведем алгоритм их выполнения. Вычисляем последовательно суммы:

k n

2

1

k

2

1

k

2

Q1 xij

Q2

X i

Q3

X i

i 1 j 1

n i 1

kn i 1

2		Q1 Q2			2	Q Q
S0		k(n	1)		S A	2	3
						k 1
Сравниваем SA2			и S02		устанавливаем наличие влияния фактора A.
Если	k(n 1) Q2			Q3	F [k 1; k(n 1)] , то влияние A – значимо.
	k 1 Q1			Q2

Двухфакторный дисперсионный анализ

Рассмотренный ранее однофакторный дисперси- онный анализ обладает информативностью, не большей, чем методы множественного сравнения

средних. Информативность дисперсионного анализа возрастает при одновременном изучении влияния

нескольких факторов.

Рассмотрим случай, когда анализируется влияние одновременно двух факторов A и B.