Моделирование циклического поведения с помощью ARIMA-процессов Бокса-Дженкинса

Процесс случайного шума не обладает памятью: отправная точка

Процесс случайного		шума состоит	Yt t
из случайной	выборки	(независимых
наблюдений)	из	нормального

распределения с постоянным средним и стандартным отклонением. Какие- либо тенденции (тренды) в этом случае отсутствуют, поскольку – по причине независимости - наблюдения не помнят о прошлом поведении ряда.

Моделирование циклического поведения с помощью ARIMA-процессов Бокса-Дженкинса

Процесс авторегрессии (AR) обладает памятью о своем прошлом

Любое	наблюдение			процесса		Yt Yt 1 t
авторегрессии (часть			"AR" названия
ARIMA) представляет собой линейную
функцию от предыдущего наблюдения
плюс случайный шум. Таким образом,
процесс	авторегрессии			помнит	о
своем	предыдущем		состоянии		и
использует		эту информацию			для
определения		своего		дальнейшего
поведения.

Моделирование циклического поведения с помощью ARIMA-процессов Бокса-Дженкинса

Процесс скользящего среднего (МА) имеет ограниченную память

Любое наблюдение		процесса скользящего		Yt	t	t 1
среднего	состоит	из константы,
(долгосрочное среднее значение процесса),
плюс независимый случайный шум минус
часть	предыдущего	случайного	шума.

Процесс скользящего среднего не помнит в точности своего прошлого, но помнит компонент случайного шума того состояния, в котором он (процесс) находился. Таким образом, его память ограничена одним шагом в будущее; за пределами этого шага для процесса все начинается заново.

Моделирование циклического поведения с помощью ARIMA-процессов Бокса-Дженкинса

Процесс авторегрессии и скользящего среднего

(ARMA) сочетает в себе AR и МА

Любое наблюдение процесса авторегрессии и						Yt Yt 1 t	t 1
скользящего среднего состоит из линейной
функции от предыдущего наблюдения плюс
независимый случайный шум минус некоторая
доля предыдущего случайного шума. Процесс
авторегрессии			и скользящего		среднего
запоминает как свое предыдущее состояние,
так	и	компонент		случайного	шума
предыдущего состояния. Таким образом, его
память сочетает в себе память процесса
авторегрессии			с	памятью	процесса

скользящего среднего.

Моделирование циклического поведения с помощью ARIMA-процессов Бокса-Дженкинса

Чистый интегрированный (I) процесс помнит, где он находился, и затем движется случайно

Каждое	наблюдение	чистого Yt Yt 1	t
интегрированного (I) процесса (pure
integrated	(I) process),	называемого
также	случайным	блужданием,

заключается в случайном шаге в сторону от текущего наблюдения. Этот процесс знает, где он находится, но забыл, как он попал туда.

Моделирование циклического поведения с помощью ARIMA-процессов Бокса-Дженкинса

Процесс авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) помнит свои изменения

Yt Yt 1 (Yt 1 Yt 2 ) t t 1

Процесс состоит из линейной функции предыдущего изменения плюс независимый случайный шум минус определенная доля предыдущего случайного шума. Этот процесс знает, где он находится, помнит, как он попал в это состояние, и помнит даже часть предыдущего шумового компонента.

ВОПРОСЫ ?

ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ОБЪЕКТОВ

Общие понятия

Идентификация – это процесс построения моделей объектов различной природы. Теория идентификации имеет в своем арсенале достаточно эффективные методы и алгоритмы, на базе которых разработаны и широко используются программные комплексы.

Процесс идентификации складывается из двух взаимосвязанных этапов: идентификации структуры моделей и идентификации параметров в моделях выбранной структуры. При построении структуры модели (или набора конкурирующих либо взаимодополняющих структур) используется априорная информация об объекте. Для каждого класса объектов формируются банки структур с сопутствующей информацией.

Модели делятся на статические и динамические. Первые из них описывают объекты в стационарных режимах их работы. Динамические модели описывают переходные процессы в объектах, например, возникающие при переходе с одного стационарного режима работы объекта на другой.

Постановка задачи подстройки параметров нелинейных моделей

	u						* (u,a)
				Объект
							(u, )
				Модель

Считаем, что выход объекта состоит из полезного сигнала η(u, a) и центрированной помехи ξ.

Сигнальная часть выхода представляет собой известную функцию от входа с неизвестными параметрами a. В структуру функции η(u, a) . Все, что не удается описать в объекте, относят к помехе.

Модель объекта берем в виде функции η(u, α). Основная задача теперь сводится к расчету параметров α модели.

Алгоритмы расчета будем строить, используя критерий наименьших квадратов и близкие к нему критерии, например наименьших модулей невязок. В зависимости от свойств помехи критерий наименьших квадратов приобретает различные формы – от простейшей до самой общей.