Дискретные динамические модели стохастических объектов

В динамическом режиме поведение объектов описывается различными динамическими уравнениями: обыкновенными дифференциальными, интегральными, интегродифференциальными уравнениями; уравнениями с запаздываниями; уравнениями в частных производных и их дискретными аналогами. С целью упрощения будем рассматривать наиболее простые дискретные модели. Последние выбраны именно потому, что получаемые алгоритмы идентификации и управления напрямую реализуемы на цифровой вычислительной технике (мини-,микро-ЭВМ, микропроцессоры).

Дискретные модели привязаны к номерам дискретных моментов времени и поэтому основным аргументом для входных u(t) и выходных x(t), y(t) переменных является номер дискреты t = 0, 1, 2,…

Например:

x(t) Ax(t 1) Bu(t 1), t 1, 2,..., x(0) x0

x(t) f (x(t 1), u(t 1),(t 1), ), t 1, 2,..., x(0) x0

Дискретные динамические модели стохастических объектов

Считаем, что объект описывается дискретным уравнением:

x(t) ax(t 1) bu(t 1) e(t) ce(t 1), t 1, 2,... .

Модель имеет вид:

y(t) ax(t 1) bu(t 1) с(x(t 1) y(t 1))

e(t)

q

c

(t)

u(t) q b x(t) a q

Дискретные динамические модели стохастических объектов

Если объект имеет вид:

x(t) ax(t 1) b(u(t 1) e(t 1))

То оптимальная модель имеет вид:

y(t) ay(t 1) bu(t 1), t 1, 2,... .

e(t)

u(t) q b x(t) a q

Подстройка параметров с использованием функций чувствительности

Для примера рассмотрим модель:

	b(t)u(t 1)		y(t 1| (t))]
y(t | (t)) a(t)x(t 1)		c(t)[x(t 1)

Построим алгоритм расчета параметров: (t) (a(t), b(t), c(t))T

Линеаризуем модель относительно параметров α(t-1) , вычисленных в предыдущий момент времени:

y(t | (t)) y(t | (t 1)) a (t) a(t) b (t) b(t) c (t) c(t) y(t | (t 1)) T (t) (t)

Здесь y(t|α(t-1)) – выход модели в момент времени t при значениях параметров, полученных в предыдущий момент времени t-1

y(t | (t 1))		b(t 1)u(t 1)		y(t 1| (t 1))]
	a(t 1)x(t 1)		c(t 1)[x(t 1)

ω(t) – вектор-столбец функций чувствительности выхода модели к параметрам модели.

Подстройка параметров с использованием функций чувствительности

Функции чувствительности удовлетворяют уравнениям чувствительности:

a (t) c(t 1) a (t 1) x(t 1),		a (0) 0

	(t) c(t 1) (t 1) u(t 1),		(0) 0
b	b	b
	(t) c(t 1) (t 1) (x(t 1)	y(t 1			(t 1))),		(0) 0
c	c					c

Каждое уравнение чувствительности получается дифференцированием уравнения модели по соответствующему параметру.

Для расчета параметров α(t) можно использовать, например, простейший адаптивный алгоритм:

(t) (t 1) (t)(x(t)T y(t( (t 1))(t) (t)

Применение простейшего адаптивного алгоритма

Рассчитаем параметры линейных и нелинейных динамических моделей на основе простейшего адаптивного алгоритма.

	(t) (t 1)	(t)(x(t) y(t( (t 1))
		T (t) (t)
	Пример: Рассмотрим модель без обратной связи:
	n	m
	y(t) ai x(t i) bj u(t j)
	i 1	j 1

Функциями чувствительности выхода модели к ее параметрам являются измеренные значения выхода и входа объекта:

ai (t) x(t i),	i		,	b j (t) u(t j),	j
		1,n				1,m

Применение простейшего адаптивного алгоритма

В каждый текущий момент времени t на основе измерений x(t); x(t-1), u(t-1); x(t-2), u(t-2) параметры корректируем по простейшему адаптивному алгоритму:

x(t)

y(t | (t 1))

ai (t) ai (t 1)

x(t i);

i 1, n

n

2

m

2

ai

(t) b j

(t)

i 1

j 1

x(t)

y(t | (t 1))

bj (t) bj (t 1)

u(t j);

j 1, m

n

2

m

2

(t)

a

(t)

i 1

i

j 1

b j

n

m

y(t | (t 1)

ai (t

1)x(t i) bj (t 1)u(t j)

i 1

j 1

Применение простейшего адаптивного алгоритма

Рассмотрим нелинейную модель без обратной связи: y(t) f (x(t 1), u(t 1), 1 , 2 )

Получаем следующие выход модели и функции чувствительности: y(t | (t 1) f (x(t 1), u(t 1), 1 (t 1), 2 (t 1))

(t)		f (x(t 1), u(t 1), 1 (t 1), 2 (t 1))
							1
	1
2 (t)			f (x(t 1), u(t 1), 1 (t 1), 2 (t 1))
							2
Алгоритм перестройки параметров:
(t) (t 1)					x(t) y(t | (t 1))										(t)
													1
1			1	2			2		(t)
						(t)		2
				1
	(t)			(t 1)		x(t)	y(t | (t 1))									(t)
						2	(t) 2			(t)
2			2											2
				1				2

Адаптивные системы обработки информации

В адаптивных системах обработки информации и управления происходит приспособление к изменяющимся условиям и неизвестным характеристикам объекта.

	z				z
u	Объект	x	u	Объект		x
	управления			управления
	Регулятор			Синтезируемый
	фиксированной
				регулятор
	структуры
			x*			x*
Блокперестройки				Блокперестройки
	параметров
				параметровмодели
	регулятора
Устройствоуправления				Устройствоуправления

Постановка задачи адаптивного управления

Рассматриваем адаптивную систему с идентификацией (АСИ). Синтезируем алгоритм расчета управления (алгоритм работы устройства управления) u(t) в каждый текущий момент времени t. Исходными экспериментальными данными о входе и выходе объекта. Необходимо рассчитать управляющее воздействие u(t) , обеспечивающее достижение следующей цели: наименьшего уклонения выхода системы x от заданной траектории x* в каждый текущий момент времени.

Считаем, что поведение объекта в динамическом режиме описывается разностным уравнением:

x(t) f (x(t 1), u(t 1), a) (t),

t 1, 2,

Обозначим через y(k|α(t)) выход модели в момент времени k при значении вектора параметров α(t), вычисленных в момент времени. Если шум – белый, то

y(k | (t)) f (x(k 1),u(k 1), (t))