Критерий наименьших квадратов

Считаем, что в каждый момент времени ti (момент измерения входа и выхода объекта) помехи ξi, являются центрированными случайными

величинами с дисперсиями σi2. Если дисперсии различны, то измерения называются неравноточными.

Тогда критерий наименьших квадратов имеет вид:

n	1	*	2
I		( )		min,	(u , )
	2
		i i			i	i
i 1	i

При равноточных измерениях весовые коэффициенты 1/σi2, характеризующие информативность измерений, одинаковы. Тогда критерий имеет вид:

	1		n	*	2
I				( )		min
		2
				i i
			i 1

Критерий наименьших квадратов

Если все помехи ξi коррелированны, т. е:

	12 k12 k1n			1
K			M{ T }, ,K 1 (cij )
	2
kn1 kn2 n				n

то критерий наименьших квадратов базируется на элементах cij матрицы, обратной корреляционной:

n	n
I ( ) ( *i		i )cij ( *j j ) min
i 1	j 1

Это общая форма критерия. Она включает в себя (при соответствующих упрощениях) все предыдущие формы. Запишем критерий в матричной форме.

	1*		(u1	, )		1		1
H * , H ( )								,
	*
									n
	n		(un , )			n

I ( ) (H * H ( ))T K 1 (H * H ( )) min

Метод наименьших квадратов при линейной параметризации модели

Модель объекта задана в виде линейной комбинации известных (базисных) функций φ1(u),…, φm(u):

m

1

1

(u)

(u, ) j (u) j

T (u) T (u),

, (u)

j 1

m

m (u)

T

(u1 )

T (u1 )

1 (u1 ) 2

(u1 ) m (u1 )

H ( )

T

T

1

(un ) 2

(un )

(un )

(un ) m (un )

Параметры α находим по критерию наименьших квадратов:

I ( ) (H * ) T K 1 (H * ) min

Метод наименьших квадратов при линейной параметризации модели

Пример расчета параметров:

*	(u, ) c D (u, )

	(u, ) c D (u, )
1*	(u, ) 1 2 (u u )
u1	u
	u

Метод последовательной линеаризации при подстройке параметров на основе критерия

наименьших квадратов

Построим итерационную процедуру расчета параметров α модели в соответствии с критерием наименьших квадратов. Так как функционал квадратичный, то первая стадия метода не реализуется и на каждой итерации используется только линейная аппроксимация выхода модели по параметрам:

H ( ) H ( l ) dH ( l )			l 1	l 1 l
		d
		( l 1 ) (H * H ( l )	dH ( l )	l 1 )T K 1 (H * H ( l )	dH ( l )	l 1 ) min
I
			d		d	l 1

Необходимое условие минимума приводит к системе линейных алгебраических уравнений:

dH T

1

dH

l 1

dH T

1

(H

*

l

))

K

K

H (

d

d

d

αl+1=αl+γl Δαl+1 ,

l=0, 1, 2,

Робастные оценки параметров

Параметры модели (которые являются оценками параметров объекта), полученные на основе критерия наименьших квадратов, сильно реагируют на выбросы помех. Аномальные отклонения в измерениях очень редки, но амплитуда их велика.

n
I1 ( ) | *i	| min
i 1
Так же существуют другие критерии вида:
n
I ( ) pi 1 (ei ) min,			ei *i
i 1
		a (e)
Примеры функции ψ(e):
			0	e

(ui , )
б (e)		в (e)
	0.8
0	e	0	e

Простейший адаптивный алгоритм подстройки параметров

Линейная параметризация модели: (u, ) T (u)

На каждой итерации, например n и n-1, параметры модели находим из условия равенства выходов модели и объекта:

*

T (u

n

)

n

, *

T (u

n 1

)

n 1

n

n 1

Каждому уравнению в пространстве параметров соответствует своя линия

2

n

|| n ||2 min

n

*

T

(un ) n 1 )

n 1

n n 1

( n

(un ) n 1 ( *n T (un ) n 1 )( T (un ))

n 1

T (un ) (un )

n

n a

(un )

a

T (un ) (un )

n

1

n n 1 n 1 ( n n 1 ), n 1,2, ... .

Простейший адаптивный алгоритм подстройки параметров

Нелинейная модель: На каждом шаге линеаризуем модель и приращения параметров отыскиваем из равенства выхода модели и линеаризованной модели:

*	(u	n	,	n 1	) T	(u	n	,	n 1	)	n
n

В итоге получаем алгоритм перестройки параметров нелинейной модели:

( *

(u ,

n 1

))

(u

,

)

n 1

n

n

n 1

T

(u ,

) (u ,

n

n 1

n 1

)

n

n

n

ВОПРОСЫ ?

ИДЕНТИФИКАЦИЯ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ