u_course

Оценим совокупность		ut(m)		∞	. Умножим (16.7) на (cj(m)(t))0 и резуль-
				m=1
тат просуммируем по	j от 1 до m. Получим равенство
		n	o

ku(tm)(t)k2 + ((u(m)(t), u(tm)(t))) = (f, u(tm)(t)),

интегрируя которое по отрезку [0, t], получим равенство

t	t		t
Z0	kut(m)(τ)k2 dτ + Z0	((u(m)(τ), ut(m)(τ))) dτ = Z0	(f, ut(m)(τ)) dτ,

Так как ((u(m)(τ), u(tm)(τ))) = 12 ∂t∂ ((u(m)(τ), u(m)(τ))), то интегируя второй член левой части последнего неравенства и учитывая, что u(m)(0) = 0,

получим неравенство

t

Z

ku(tm)(τ)k2 dτ + 12ku(m)(t)k21 ≤ ( неравенство

0
Коши с ε) ≤ 2	t	kfk		dt + 2	Z0	t		(τ)k		dτ.
	Z0		2			ku	(m)		2
1				1

Отсюда, выбрасывая второй член (неотрицательный) в левой части неравенства, получим, что

t	T
Z0	kut(m)(τ)k2 dτ ≤ Z0	kf(t)k2 dt = kfkL2 2(QT ),	t [0, T ],

и при t = T

T

Z Z

(m)	2	=	(m)		2	dxdt
kut	kL2(QT )		(ut	)
		0	Ω

Замечание. Так как f = f(x), то kfk2L2(QT )

Из (16.11) - (16.13) следует оценка

≤ kfkL2

2(QT ).

(16.13)

= T kfk2L2(Ω).

ku(m)kH1(QT ) ≤ C, m ≥ 1,

(16.14)

где постоянная C не зависит от m ≥ 1.

91

Предельный переход.

Пространство H1(QT ) - сепарабельное рефлексивное пространство [14]. По теореме о слабой компактности ограниченного в гильбертовом пространстве множества существует подпоследовательность {u(mk)(t, x)} последовательности {u(m)(t, x)} такая, что при mk → ∞

◦	◦
u(mk) → u H1ST (QT ) слабо в	H1ST (QT ).	(16.15)

◦

Рассмотрим в H1ST (QT ) скалярное произведение

Z

((u, v))1 = (uv + krurv + utvt) dxdt.

QT

По теореме Рисса при mk → ∞

	((umk), v))1 → ((u, v))1		◦
			v H1ST	(QT )).	(16.16)
Покажем, что u есть решение задачи (16.1), (16.2).
				∞
Замечание 1. Множество линейных комбинаций				Xk
				αk(m)(t)wk(x) плот-
◦				=1
	(m)	(t) C1[0, T ].
но в H1ST	(QT ), где αk

Замечание 2. Пусть u(m) - m-ое галеркинское приближение. Тогда со-

отношение

(u(tm)(t), vk(t)) + ((u(m)(t), vk(t)))1 = (f, vk(t))

k
выполняется при любых vk(t, x) = Xj	αj(k)(t)wj(x), k ≤ m, где αj(k)(t)
C1[0, T ].
p

Пусть vp(t, x) = X αj(p)(t)wj(x). Положим в (16.7) вместо u(m) функцию

j

u(mk), считая при этом, что j ≤ mk. Пусть p ≤ mk. Умножим полученное соотношение на αj(p)(t), просуммируем результат умножения по j от 1 до p

и проинтегрируем результат по отрезку [0, T ]. Получим равенство

T			T
Z	n	(ut(mk)(t), vp(t)) + ((u(mk)(t), vp(t)))	dt = Z (f, vp(t)) dt.
0		o	0

92

Переходя к пределу при mk → ∞ в последнем равенстве, получим

T	T
Z0	{(ut(t), vp(t)) + ((u(t), vp(t)))} dt = Z0	(f, vp(t)) dt.	(16.17)
			◦

Отметим, что (16.17) имеет место при любом p ≥ 1. Пусть v H1ST (QT )

и последовательность {vp} такая, что

◦
vp → v сильно в H1ST (QT ).	(16.18)

Нетрудно показать, что переходя к пределу при p → ∞ в (16.17), получим,

что

Z

utv dxdt + Z

krurv dxdt = Z

◦

fv dxdt

v H1ST (QT ).

(16.19)

QT

QT

QT

Действительно,

utvp dxdt =

I1p =

(ut(t), v(t)) dt

T

T

( ut(t, x)v(t, x) dx) dt

T

Z

Z

−

Z

− Z

Z

0

0

Ω

0

Ω

T

ut(t, x)vp(t, x) dxdt

=

T

T

(ut(t), vp(t)) dt

=

− Z

Z

(ut(t), v(t)) dt

− Z

Z

0

Ω

0

0

T

Z

−

≤

≤

=

0

( неравенство Шварца )

(ut(t), v(t) vp(t)) dt

T

Z

≤kut(t)k · kv(t) − vp(t)k dt ≤

0

2 dt 1/2 T

2 dt 1/2 =

T

ut(t)

v(t)

vp(t)

≤

Z

k

k

·

Z

k

−

k

0

0

=

k

ut

k

L2(QT )

· k

v

−

vp

k

L2(QT )

≤

C

ut

L2(QT )

· k

v

−

vp

◦

.

k

k

kH1ST (QT )

93

В силу (16.17)

I2p =

I1p → 0,

p

→ ∞.

(16.20)

((u(t), vp(t))) dt

k u

v dxdt

T

− Z

Z

r

· r

0

QT

T

T

=

p

(t))) dt

((u(t), v(t))) dt

((u(t), v

≤

Z

− Z

0

0

T

−

≤

k

k

H1S

T

(QT )

−

k

H1S

T

(QT )

≤ Z

C

u

◦

k

vp

v

◦

.

((u(t), vp(t)

v(t))) dt

0

В силу (16.17)

I3p =

(f, vp(t)) dt

I2p → 0,

p

→ ∞.

(16.21)

f(x)v(t, x) dxdt =

f(x)(vp(t, x)

v(t, x)) dxdt =

T

− Z

Z

−

Z

0

QT

QT

= (f, vp − v)L2(QT )

≤ kfkL2(QT ) · kvp − vkL2(QT ).

В силу

(16.17)

I3p

→ 0,

p

→ ∞.

(16.22)

Из (16.20) - ( 16.22) следует выполнение соотношений (16.19). Докажем

выполнение условия u|t=0 = 0 (равенство (16.3)).

◦

Пусть ϕ(x) H1 (Ω) - произвольный фиксированный элемент, функция

α(t) C1[0, T ] и удовлетворяет условиям: α(t) = 0 при t [T − δ, T ] и

α(0) = 1.

94

Положим ψ(t, x) = α(t)ϕ(x) и рассмотрим интеграл

							m	)		T
		≡ Z								Z0	Z
	Imk					∂u( k			(t, x)ψ(t, x) dxdt =
						∂t
	T		QT				(t, x)α(t) dt ϕ(x) dx =				Ω
=			∂u(mk)								Z
					∂t
Z		Z
Ω		0									Ω

∂u(mk)
		(t, x)α(t)ϕ(x) dxdt =
	∂t
ϕ(x) u(mk)(t, x)α(t)			T dx	−
	h		i 0

− Z	u(mk)(t, x)α0(t)ϕ(x) dxdt = − Z	u(mk)(t, x)α0(t)ϕ(x) dxdt.
QT	QT
		(16.23)

По формуле интегрирования по частям (см.(11.9) )

Z	∂t ψ dxdt = − Z		u(0, x)ϕ(x) dx − Z				u(t, x)ϕ(x)α0(t) dxdt.		(16.24)
	∂u
Q		Ω				QT
Перейдём в (16.23) к пределу при k → ∞. Получим равенство
			∂u
		Z			ψ dxdt = − Z		uα0ϕ dxdt.		(16.25)
				∂t
		Q				QT
Из (16.24), (16.25) следует, что
				Z		u(0, x)ϕ(x) dx = 0.			(16.26)
				Ω
							◦	◦

Так как ϕ(x) - произвольный элемент из H1 (Ω) и H1 (Ω) всюду плотно в L2(Ω), то из (16.26) следует, что u(0, x) как элемент L2(Ω) отогонален всюду плотному множеству в L2(Ω), и

u(0, x) = 0

п.в. в Ω.

(16.27)

Из соотношений (16.19), (16.27) следует, что u(t, x)- обобщенное решение задачи (16.1)-(16.3).

Единственность решения.

Пусть u1(t, x), u2(t, x) - два решения задачи (16.1)-(16.3) в классе H1(QT ). Тогда функция u(t, x) = u1(t, x)−u2(t, x) - решение однородного уравнения

95

(16.1) с однородными начальными и краевыми условиями, удовлетворяющее неравенству (см. вывод неравенства (16.10))

t
ku(t)k2 + Z Z	k|ru| dxdτ ≤ 0	для почти всех t [0, T ].
0 Ω

Отсюда следует, что ku(t)k2 = 0 почти всюду в [0, T ] и u(t, x) = 0 почти всюду в QT .

Доказана

Теорема 1. Пусть выполняются условия (16.4), (16.5). Тогда существу-

◦

ет единственное решение u(t, x) H1ST (QT ) задачи (16.1)-(16.3) класса

H1(QT ).

17. Краевые задачи для гиперболического уравнения

Пусть Ω - некоторая ограниченная область n-мерного пространства En.

QT = {0 < t < T, x Ω}, ST - боковая поверхность цилиндра QT , Ωτ - сечение {t = τ, x Ω} цилиндра QT плоскостью t = τ; ΩT = {t = T, x

Ω} - верхнее основание цилиндра QT , Ω0 = {t = 0, x Ω} - его нижнее основание.

В цилиндре QT рассмотрим гиперболическое уравнение

		utt − div(k(x) r u) + a(x)u = f(t, x).			(17.1)
Полагаем
					(17.10)
k(x) C(Ω), a(x) C(Ω), k ≥ k0 > 0, k0 − const, a(x) ≥ 0.
Зададим начальные
				u|t=0 = ϕ,	(17.2)
				ut|t=0 = ψ,	(17.3)
и граничные условия
				u| T = χ.	(17.4)
Задача (17.1) - (17.4) - первая краевая задача.

96

	В случае краевых условий
		∂u
	∂n			= χ,	(17.5)
			+ σu ST

где σ - некоторая заданная на ST функция, задача (17.1) - (17.3), (17.5) называется третьей смешанной задачей (начально-краевой задачей) для гиперболического уравнения (17.1).

Если σ ≡ 0 на ST , то третья смешанная задача называется второй смешанной задачей.

Определение. Функция u H1(QT ) называется обобщенным решением в QT первой смешанной задачи (17.1) - (17.4) класса H1(QT ), если она удовлетворяет начальному условию (17.2), граничному условию (17.4) (в смысле следов) и тождеству

Z	(krurv + auv − utvt) dxdt = Z	ψv dx + Z	fv dxdt	(17.6)
QT	Ω0	QT

при всех v H1(QT ), для которых выполнены условия (17.4) и условие

v|t=T = 0.

Утверждение. Пусть функция u H1(QT ). Тогда функция

w(t, x) =			tτ u(θ, x) dθ,		0 < t < τ,					(17.7)
				R
			0,		τ		t		T
	1					≤		≤
принадлежит классу	H	(Q ) и функции
		T
		wt	=	−u, 0 < t < τ,						(17.8)
				0, τ < t < T
и			τ		0 < t < τ,					(17.9)
wxi		= t		uxi (θ, x) dθ,
			R
		0,			τ < t < T

являются обобщенными производными функции w по t и xi соответственно.

97

Доказательство. Ясно, что функции w, wt, wxi , заданные соответственно соотношениями (17.7) - (17.9) принадлежат пространству L2(QT ).

Пусть {uk}∞k=1 - последовательность функций класса C∞(QT ) такая, что

klim kuk − ukH1(QT ) = 0,				(17.10)
→∞
и	tτ	uk(θ, x) dθ,	0 < t < τ,
wk(t, x) =
	R
	0,		τ < t < T.
	◦1

Для любой функции g C							(QT )
Z	wk(t, x)gt(t, x) dxdt = Z					wk(t, x)gt(t, x) dxdt = Z (wk(t, x)g(t, x))|tt=0=τ dx−
QT	− Z				Qτ		Z		Ω
		wtk(t, x)g(t, x) dxdt =						wk(τ, x)g(τ, x) dx − Z		wk(0, x)g(0, x) dx−
− Z	Qτ						Ω		Ω
	wtk(t, x)g(t, x) dxdt = − Z						−uk(t, x)g(t, x) dxdt = − Z				wtk(t, x)g(t, x) dxdt,
Qτ						Qτ				QT
где wtk =		−uk,		0 < t < τ, .
		0,		τ < t < T
Выше мы использовали соотношения g(0, x) = 0 и wk(τ, x) = 0.
Получили равенства
		Z	wk(t, x)gt(t, x) dxdt = − Z						wtk(t, x)g(t, x) dxdt,		(17.11)
		QT						QT
верные для всех g					◦ 1
					C (QT ). По определению обобщенной производ-
ной функция wtk =					−uk,	0 < t < τ, является обобщенной производной
					0,	τ < t < T
функции wk.

Имеют место соотношения

τ
wk − w = Zt	{uk(θ, x) − u(0, x)} dτ, 0 < t < τ,

98

(wk

w)2 dxdt =

Z

τ

uk(θ, x)

u(θ, x) dτ

2

dxdt

Z

−

Z

|

−

|

≤

QT

QT

t

T

≤ Z

T Z0

|uk(θ, x) − u(θ, x)|2 dθdxdt = T 2

Z

|uk(θ, x) − u(θ, x)|2 dxdt =

QT

QT

= T 2kuk − ukL2 2(QT ).

Из последних соотношений следует, что

kwk − wkL2(QT ) ≤ T kuk − ukL2(QT )

≤ T kuk − ukH1(QT ).

(17.12)

Из (17.12) и (17.10) следует, что

klim kwk − wkL2(QT )

= 0.

(17.13)

→∞

Из равенства wtk

−

wt

= −uk + u,

0 < t < τ,

0,

τ < t < T

получаем, что

k

2

dxdt ≤ Z

k 2

Z

(wt

− wt)

(u − u )

dxdt,

QT

QT

kwtk − wtkL2(QT )

≤ kuk − ukL2(QT )

≤ kuk − ukH1(QT ).

(17.14)

Переходя в (17.11) к пределу при k → ∞ в силу (17.10) (17.13) (17.14) получим равенство

Z	wgt dxdt = − Z								◦ 1
				wtg dxdt					g C (QT ),
QT			QT
то есть функция wt			= −u,	0 < t < τ,					есть обобщенная производная
			0,	τ < t < T
функции w(t, x) по переменной t в Q								.
					k		T			k
Имеют место соотношения ( w						имеет обобщенную производную wxi по
xi класса L2(QT ))
Z	k	gxi	dxdt = − Z			k			◦ 1	(17.15)
	w				wxi g dxdt				g C (QT ).
QT			QT

99

Действительно,

0τ Ω tτ

uk(θ, x)dθgxi (t, x) dx dt =

QT

wkgxi dxdt = Qτ

wkgxi dxdt =

R

R

R

R R

τ

∂Ω

τ

uk(θ, x)dθg(t, x) ds dt −

τ

Ω

τ

uxki (θ, x)dθg(t, x) dx dt =

0

t

0

t

R

R R

R

R R

−QRτ

τ

uxki (θ, x) dθg(t, x) dx = −QRT

Rt

wxki (t, x)g(t, x) dxdt.

Имеют место соотношения

kwxki

− wxi kL2(QT )

= Z Z wxki (θ, x) dθ − Z wxi

(θ, x) dθ dtdx

1/2

=

τ

τ

2

QT

t

t

Z

dtdx

Z (uxki (θ, x) − uxi

(θ, x))dθ

1/2

≤

τ

2

QT

t

≤ Z

T

2

1/2

Z |uxki (θ, x) − uxi

(θ, x)|dθ

dtdx

≤

QT

0

T

1/2

ZZ

≤ QT	T 0	|uxki (θ, x) − uxi	(θ, x)|2dθ	=
= T Z (uxki (θ, x) − uxi (θ, x))2 dθdx = T kuxki − uxi kL2(QT )					(17.16)
QT

и в силу (17.10) из (17.16) следует, что

klim kwxki − wxi kL2(QT ) = 0.	(17.17)
→∞

В силу (17.13), (17.17) получим, переходя к пределу при k → ∞ в (17.15), соотношение

Z	wgxi dxdt = − Z	◦ 1	(17.18)
		wxi g dxdt g C (QT ),
QT	QT

100