u_course

то есть функция wxi L2(QT ) есть обобщенная производная функции w

по xi. Утверждение доказано. Ясно, что если u|ST = 0, то и

w|ST = 0.

(17.19)

Теорема 1(единственности). При выполнении условий (17.1’) задача (17.1) - (17.4) не может иметь более одного обобщенного решения класса

H1(QT ).

Доказательство. Пусть u - обобщенное решение класса H1(QT ) задачи (17.1) - (17.4) при f = 0 в QT , χ = 0 на ST , ϕ = 0, ψ = 0 на Ω. Покажем,

что u = 0 п.в. в QT .

(0, T ) и рассмотрим функцию

Возьмем произвольное τ

v(t, x) =

tτ

u(θ, x) dθ,

0 < t < τ,

R

0,

τ < t < T.

Функция v имеет в Q

T

обобщенные производные

vt(t, x) =

−u, 0 < t < τ,

0, τ < t < T,

и

vxi (t, x) =

τ

0 < t < τ,

t

uxi (x, θ) dθ,

R

0,

τ < t < T.

v

t, x

v

|

= 0

u

Следовательно,

(

)

T

. При этом

ST

и в случае, когда

-

обобщенное решение первой смешанной задачи v| T

= 0.

Подставим функцию v в тождество (17.6). Так как vt = −u, то получим

равенство

τ

ZZ

(kru ru dθ − avvt + utu) dxdt = 0.

QT T

101

Имеют место следующие соотношения:

τ

ZZ

k(x)ru(t, x) ru(θ, x) dθdtdx =

Qτ t

=

k(x) τ

u(t, x)

τ

u(θ, x) dθ dtdx =

Z

Z

r

Z

r

Ω

0

Z

t

− Z

= Z k(x) Z

∂t

ru(θ, x) dθ

ru(θ, x) dθ dtdx =

τ

∂

t

t

Ω

0

τ

τ

= −2 Z k(x) Z

∂t

Z

ru(θ, x) dθ

2

dtdx =

τ

∂

t

1

τ

Ω

0

t

2 t=τ

Z

= −2

k(x)

Z

dx =

Ω

τ

ru(θ, x) dθ

1

t=0

τ

2

1

=

Z k(x)

Z ru(θ, x) dθ

dx.

(17.20)

2

Ω

0

Так как

1

− Z

avvt dxdt =

Z

av2(0, x) dx

(17.21)

2

и

Qτ

Ω

1

Z

uut dxdt =

Z

u2(τ, x) dx,

(17.22)

2

Qτ

Ω

то в силу (17.20) - (17.22) из (17.20) получим равенство

k(x)

τ

r

u(θ, x) dθ 2

dx +

av2(0, x) dx +

u2(τ, x) dx = 0. (17.23)

Z

Z

Z

Z

Ω

0

Ω

Ω

Так как все члены левой части равенства (17.23) неотрицательны в силу условий k(x) > 0, a ≥ 0 и их сумма равна нулю, то нулю равен и каждый

102

член этой суммы, в частности

Z

u2(τ, x) dx = 0.

Ω

В силу последнего равенства, верного при любом τ (0, T )

	T
kukL2	2(QT ) = Z Z	u2(τ, x) dxdt = 0.
	0 Ω

Отсюда u(t, x) = 0 почти всюду в QT .

Нами доказана теорема единственности обобщенного решения задачи (17.1) - (17.4) в классе H1(QT ).

Существование обобщенного решения класса H1(QT ).

Рассмотрим однородное граничное условие

u| T = 0.

(17.24)

Ниже нами будет доказана теорема

Теорема 2. Пусть выполняются условия (17.1’) и f(t, x) C(QT ). Тогда задача (17.1) - (17.3), (17.24) имеет обобщенное решение u в классе

H1(QT ).

Доказательство. Доказательство проведем методом Галеркина. Пусть

◦

{wj}∞j=1 - базис в пространстве H1 (Ω), ортонормированный в пространстве

L2(Ω):

(wi, wj) = δij =	1,	i = j, .	(17.25)
	0,	i = j
		6

Здесь, как обычно, (·, ·) - скалярное произведение в L2(Ω). Через um(t, x)

обозначим m - ое галеркинское приближение

	m
	Xj	(17.26)
um(t, x) =	cjm(t)wj(x)
	=1

решения u задачи (17.1) - (17.3), (17.24) по базису {wj}∞j=1, где коэффици-

103

енты cmj (t) находятся как решения задачи

	∂	2um t		+ Z {krum(t)rwj + aum(t)wj} dx = (f(t), w),
		( )	, wj
		∂t2
				Ω
						d
			cjm(0) − αjn,				cjm(0) = (ψ, wj), j = 1, . . . , m.
						dt
Постоянные αjm в (17.28) берутся такие, что
				m
				Xj	αjm(t)wj(x) −→ ϕ(x), m → ∞,
			ϕm(x) =
				=1

(17.27)

(17.28)

(17.29)

в норме пространства H1(Ω).

Система (17.27) есть система m обыкновенных дифференциальных урав-

нений второго порядка с m независимыми переменными. Покажем это.

В силу (17.25)

∂

2um t

m d2cm(t)wi(x)

, wj! =

( )

, wj

=

i

∂t2

i=1

dt2

X

(17.30)

m d2

d2cjm(t)

=

cim(t)(wi, wj) =

.

2

2

=1

dt

dt

Xi

Z

Пусть dij = {krwirwj + awiwj} dx. Имеют место следующие соотноше-

ния		Ω
	m	m	m
Z	(k	cim(t)rwirwj + a cim(t)wiwj) dx =		dijcim(t),	(17.31)
	i=1	i=1	i=1
Ω	X	X	X
		fj(t) = (f(t), wj),	j = 1, . . . , m.		(17.32)

Из (17.30) - (17.32) следует, что соотношения (17.27) есть система урав-

нений
d2cjm(t)			m
		+	Xi	j = 1, . . . , m.	(17.33)
	dt2		dijcin(t) = fj(t),
			=1
с постоянными коэффициентами dij и непрерывными на [0, T ]					правыми
частями fj(t).

104

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [17] следует, что решение cm(t) = (cm1 (t), . . . cmm(t)) задачи (17.33), (17.28) существует и единственно в классе C2([0, T ]) ( cmj (t) C2[0, T ], j = 1, . . . m) при любом m ≥ 1.

Докажем ограниченность множества {um}∞m=1 в норме пространства

H1(QT ). Пусть cm(t) - решение задачи (17.33), (17.29). Умножим (17.28)

на функцию e−θt

d

cm(t), где θ = const > 0 будет выбрана нами ниже, и

dt

j

просуммируем результат умножения по j от 1 до m.

Получим равенство

∂2

m

∂

m

(t) e−

θt

Z

m

(t)e−

θt ∂

m

u

(t),

u

+

kru

ru

(t) dx

∂t2

∂t

∂t

Ω

(17.34)

Z aum(t)e−θt

um(t) dx = e−θt f(t),

um(t) .

∂

∂

∂t

∂t

Ω

Имеют место следующие соотношения:

τ

τ

Z (uttm(t), e−θtutm(t)) dt =

1

Z Z

∂

((utm(t, x))2e−θt) dxdt+

2

∂t

0

Ω

0

τ

1

θ

m

2

θt

m

2

θt τ

2 Z Z

(ut

(t, x)) e−

dtdx =

Z

(ut

(t, x))

e−

t=0 dx+

2

Ω

0

Ω

θ

Z (utm(t, x))2e−θt dxdt,

(17.35)

2

Qτ

τ

∂

Z Z k(x) rum(t, x),

rum(t, x) e−θt dxdt =

∂t

0

Ω

= 2 Z

τ

(t, x)|

e−

dtdx+

k(x) Z

∂t |ru

m

θt

1

∂

2

Ω

0

+2

τ

|rum(t, x)|2e−θt dtdx,

(17.36)

Z k(x) Z

θ

Ω0

105

	a(x)um(t, x)e−θtutm(t, x) dxdt
τ		≤
Z Z

0Ω

≤( неравенство Коши с ε = A1 ) ≤

τ

1

Z Z0

m

2

θt

A2

Z

m

2

θt

≤

2

(ut

(t, x))

e−

dtdx +

(u

(t, x))

e−

dxdt,

2

Ω

Qτ

≤

1 Z

2

Qτ

	e−θtf(t, x)utm(t, x) dxdt
τ		≤
Z Z

0Ω

e−θtf2(t, x) dxdt + 2			Z	e−θt(utm(t, x))2dxdt.
1
			Qτ

(17.37)

(17.38)

Проинтегрируем (17.34) по t на интервале [0, τ]. Из полученного при интегрировании равенства в силу соотношений (17.35) - (17.38) получим неравенство

Z	e−θτ (utm(t, x)2 dx + θ Z (utm(t, x))2e−θt dxdt+
Ω	Qτ
Z	k(x)|rum(τ, x)|2e−θτ dx + θ Z	k(x)|rum(t, x)|2e−θt dxdt ≤
Ω	Qτ
			(17.39)
Z (um(t, x))2e−θt dxdt + 2 Z (utm(t, x))2e−θt dxdt+
Qτ	Qτ
Z	f2(t, x)e−θt dxdt + Z (utm(0, x))2 dx + Z		k(x)|rum(0, x)|2 dx.
Qτ	Ω	Ω

106

В силу (17.24)					Z
Z	k(x)|rum(t, x)|2e−θtdxdt ≥ k0					|rum(t, x)|2e−θtdxdt =
Qτ					Qτ
		τ	e−θt Z				τ
= k0		Z		|rum(t, x)|2dxdt ≥ k0C1			Z	e−θtkum(t)kH2 1(Ω)dt =
		0	Ω				0

(17.40)

τ

ZZ

= k0C1 e−θt {(um(t, x))2 + |rum(t, x)|2}dxdt =

0Ω

= k0C1

Z

e−θt(um(t, x))2dxdt + k0C1

Z

e−θt|rum(t, x)|2 dxdt.

Qτ

Qτ

k

kH1

Z

|r

|

1/2

Выше C1 - константа эквивалентности норм

u

(Ω)

=

◦

Ω

u 2 dx

Z

(u2 + |ru|2) dx

1/2

и kukH1(Ω) =

.

Из

Ω

соотношений (17.25), (17.28), (17.29) следует, что

n

dtcjm(0)

2

=

n

2(Ω),

(17.41)

Z (utm(t, x))2 dx = j=1

j=1 (ψ, wj)2 ≤ kψkL2

X

d

X

Ω

|r

m

|

2

≤

|r

m

2

k

m

2

≤

k(x)

u (0, x)

dx

K

ϕ

|

dx = K

ϕ

kH1(Ω)

◦

Ω

Ω

(17.42)

R

R

≤ KC22kϕmkH2 1(Ω) ≤ K1.

В (17.42) C2

- константа эквивалентности норм

k

u

◦

и

k

u

k

H1(Ω),

K

ax k(x)

ϕn

1

kH1(Ω)

. Последовательность k

(Ω) ограничена вследствие схо-

= mΩ

kH

димости ϕn к ϕ в норме H1(Ω).

Напомним, что констант эквивалентности две: C1 и C2 (0 < C1 < C2),

такие постоянные, что выполняются неравенства

◦

C1

k

u

k

H1(Ω)

≤ k

u

◦

≤

C2

k

u

k

H1(Ω)

u

H1 (Ω).

kH1(Ω)

107

Вследствие (17.40) - (17.42) из (17.39) получим неравенство

				Z	e−θτ (utm(τ, x))2 dx + (θ − 2) Z		e−θt(utm(t, x))2 dxdt +
	Z			Ω		Qτ
+k0		|rum(τ, x)|2e−θτ dx + (θk0C12 − A2) Z					e−θt(um(t, x))2 dxdt +
	Ω		Z			Qτ
+θk0C12				e−θt|rum(t, x)|2 dxdt ≤ kfkL2		2(QT ) + kψkL2		2(Ω) + K1 = K2(17. .43)
			Qτ
Возьмем в (17.40) θ такое, что
					min{θ − 2, θk0C12 − A2} ≥ 1.			(17.44)
При таком θ выполняется неравенство

Z

e−θT {um(t, x))2 + (umt (t, x))2 + |rum(τ, x)|} dxdt ≤ K2,

QT

откуда

kumkH1(QT ) ≤ K3, m ≥ 1,

(17.45)

где K3 = (K2eθT )1/2.

Мы доказали ограниченность множества галеркинских приближений в

H1(QT ).

В силу 17.45) и теоремы о слабой компактности ограниченного множества в рефлексивном банаховом пространстве существует подпоследовательность {um} (обозначение не меняем) последовательности галеркинских приближений слабо сходящаяся в H1(QT ) к некоторому элементу u H1(QT ):

um −→ u слабо в H1(QT ), m → ∞.

(17.46)

Докажем, что u(t, x) является обобщенным решением задачи (17.1) - (17.3), (17.24).

Рассмотрим произвольную функцию g(x) L2(Ω) и функцию σ(t)

класса C1[0, T ], удовлетворяющую условиям: σ(0) = 1, σ(T ) = 0.

108

Имеют место следующие соотношения

			T
Z	utmσg dxdt	=	Z0	Z	utm(t, x)σ(t)g(x) dxdt = −(um(0), g)−
Qτ				Ω

(17.47)

T

ZZ

−um(t, x)σ0(t)g(x) dxdt,

0Ω

		T
Z	utσg dxdt =	Z0	Z	ut(t, x)σ(t)g(x) dxdt = −(u(0), g)−
Qτ			Ω

(17.48)

T

ZZ

−u(t, x)σ0(t)g(x) dxdt.

0Ω

При n → ∞ из (17.47)(17.29)(17.46) получим равенство

Z	ut(t, x)g(x)σ(t) dxdt = −(ϕ, g) − Z		u(t, x)g(x)σ(t) dxdt.	(17.49)
QT		QT
Из (17.48), (17.49)
	(ϕ, g) = (u(0), g)	g L2(Ω).

Следовательно, u(0) = ϕ п.в. в Ω.

Докажем, что u удовлетворяет соотношениям (17.6). Умножим (17.19) на αj0 (t), (αjn C1[0, T ], αjn = 0 при t = T ), просуммируем результат умножения по j от 1 до m и проинтегрируем по t на отрезке [0, T ]. После интегрирования по частям в первом члене (переносим производную по t на функцию

m
Xj	(17.50)
χ(t, x) = αm(t)wj)
j
=1

109

получим тождество

Z

(−umt χt + krum · rχ + aumχ)dxdt−

QT
Z	(17.51)
	Z
−	utmχ|t=0dx = fχ dxdt.
Ω	QT

Нетрудно показать, что последнее тождество выполняется для всех функций из множества Mm, состоящего из всех элементов вида (17.50).

Переходя в (17.51) к пределу при m → infty и фиксированном m, по-

лучим в силу (17.20) соотношение

Z

(−utχt + kru · rχ + auχ)dxdt−

QT
Z	Z	(17.52)
−	ψχ|t=0dx = fχ dxdt,
Ω	QT
	ˆ 1	∞
верное для любого χ		kS
	Mk и, следовательно, для любого χ	Mk = M.
		=1

Так как множество M всюду плотно в H0 (QT ), то соотношение (17.52)

ˆ 1

имеет место для любых χ H0 (QT ) (см. (17.6)).

Таким образом, мы доказали, что функция u является обобщенным решеним класса H1(QT ) задачи (17.1) - (17.3), (17.24).

Выше мы доказали, что существует подпоследовательность последовательности галеркинских приближений слабо в H1(QT ) сходящаяся к решению u задачи (17.1) - (17.3), (17.24). Докажем, что и последовательность галеркинских приближений {um}∞m=1 сходится к u слабо в H1(QT ). Предположим, что последовательность {um}∞m=1 не сходится к u слабо. Тогда существует некоторая подпоследовательность {uγ} последовательности

{	um	∞	слабо сходящаяся к некоторой функции		u		Hˆ 1	(Q		)	и не равная
		}m=1			e		0		T
u:
				u 6= u в норме пространства L2(QT ).							(17.53)
Так же, как и в				случае функции u, доказывается, что u - решение задачи
				e			e

110