u_course

1, n, непрерывны в QT \ T , сама функция u непрерывна в QT и в QT \ T

выполняется тождество L(u(t, x)) = f(t, x).

Ниже будем рассматривать только классические решения уравнения (6.1).

Замечание 1. Легко видеть, что замена u = veαt, где α = const > 0,

приводит к уравнению для v вида (6.1) с коэффициентом при v, равным c − α. Следовательно, если c - ограниченная сверху функция (c < m, m = const > 0), то указанной заменой (если взять α > m) можно добиться того, что коэффициент при v в уравнении (6.1) станет строго отрицательным.

Теорема 1. Пусть функция u непрерывна в QT , все ее производные, входящие в оператор L, непрерывны в QT \ T и выполняются неравенства

L(u(t, x)) ≤ 0	в QT \ T ,			(6.3)
u(t, x) ≥ 0	на T .			(6.4)

Пусть коэффициент c оператора L ограничен сверху некоторой постоянной m (c(t, x) < m (t, x) QT ). Тогда

u(t, x) ≥ 0 в QT .

Доказательство. Вначале рассмотрим случай, когда m < 0 и c(t, x) < m < 0 в QT . Предположим, что условия теоремы 1 выполнены, но функция u принимает в QT отрицательные значения (ниже вследствие этого пред-

положения получим противоречие). Так как u непрерывна в QT , то она до-

стигает в QT своего минимума, причем отрицательного, в некоторой точке

(t0, x0). Ясно, что вследствие условия (6.4) точка (t0, x0) может лежать ли-

бо внутри области QT , либо внутри ее верхнего основания (t, x)

.

Следовательно, в точке (t0, x0) выполняются соотношения

t=T,x Ω

∂u

∂u

≤ 0, cu > 0.

(6.5)

= 0,

i = 1, n,

∂xi

∂t

Покажем, что в этой точке выполняется неравенство

n

∂2u

X

aij

≥ 0.

(6.6)

i,j=1

∂xi∂xj

41

											n
Действительно, линейная замена переменных y = Kx (yi										=	kijxj, i =
											=1
		) приводит к равенству									jP
	1, n
		n		∂2u(t, x)		n		∂2v(t, y)
		X	aij(t, x)		=	X	dij(t, y)			,	(6.7)
		i,j=1		∂xi∂xj		i,j=1		∂yi∂yj

где матрицы A = kaijk, K = kkijk, D = kdijk связаны соотношением

D = KAK , v(t, y) = u(t, K−1y), K матрица, сопряженная к матрице

K. Легко видеть, что минимум функции v совпадает с минимумом функции u и достигается в точке (t0, y0), где y0 = Kx0. Из линейной алгебры известно, что невырожденное преобразование можно подобрать таким образом, чтобы матрица D была диагональной в точке (t0, x0). Кроме того, матрица D положительно определенная вследствие положительной определенности матрицы A (см. соотношение (6.2)). Значит,

n	∂2v(t0, y0)		n	∂2v(t0, y0)
0 0			0 0
X			X		≥ 0,	(6.8)
dij(t , y )	∂yi∂yj	=	dii(t , y )	∂y2
i,j=1			i=1	i

так как dii > 0, а ∂2v/∂yi2 ≥ 0 в точке (t0, x0). Из соотношений (6.7), (6.8) следует неравенство (6.6). Из определения оператора L и соотношений (6.5), (6.6) в точке (t0, x0) получаем неравенство L(u(t0, x0)) > 0, что противоречит условию (6.3) и доказывает теорему 1 в случае c(t, x) < 0. В случае c(t, x) < m, m > 0 сделаем замену u(t, x) = v(t, x)emt. Функция v неотрицательна на T , удовлетворяет уравнению (6.1) с отрицательным коэффициентом при v (см. замечание 1) и неположительной правой частью. По доказанному выше v(t, x) ≥ 0 в QT \ T . Следовательно, и u(t, x) = v(t, x)emt ≥ 0 в QT \ T . Теорема 1 доказана.

Далее p, q неотрицательные постоянные, а c0 строго положительная постоянная.

Теорема 2. Пусть функция u(t, x) непрерывна в QT , удовлетворяет в

QT \ T уравнению (6.1) и |u(t, x)| T ≤ q. Пусть f ограниченная функция, а коэффициент c не положителен:

|f(t, x)| ≤ p, c(t, x) ≤ 0 (t, x) QT .

42

Тогда всюду в QT выполняется неравенство
|u(t, x)| ≤ pt + q.	(6.9)

Доказательство. Функции w±(t, x) = pt + q ± u(t, x) не отрицательны на T , а в QT \ T вследствие условия c ≤ 0 удовлетворяют соотношению

L(w±) = −p + pct + cq ± L(u) ≤ p ± |f| ≤ 0.

По теореме 1 функции w+ и w− не отрицательны в QT : (w±(t, x) = pt + q ± u(t, x) ≥ 0), откуда и следует неравенство (6.9). Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть u(t, x) классическое решение в QT уравнения (6.1)

и выполняются соотношения
|f(t, x)| ≤ p, c(t, x) ≤ −c0 в QT \ T , |u(t, x)| ≤ q на T .
Тогда всюду в QT
|u(t, x)| ≤ max cp0	, q .	(6.10)
Доказательство. Рассмотрим в QT функции

w± = max{p/c0, q} ± u(t, x).

Легко проверить, что w± ≥ 0 на T , а в QT \ T

выполняется неравенство

L(w±) ≤ 0. Последнее следует из соотношений

nc0

o

(

±) =

max nc0

o ±

≤ −

0 p

L

w

c

p

, q

f

c

max

p

, q

+ p

≤ −c0

+ p = 0.

c0

По теореме 1 функции w±(t, x) ≥ 0 в QT , откуда следует (6.10). Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Пусть u(t, x) классическое решение уравнения

L(u) = 0, все коэффициенты оператора L ограничены в QT , c(t, x) ≤ 0 и

n

n

XX

aijξiξj ≥ µ	|ξi|2, µ = const > 0
i,j=1	i=1

43

для всех ξ Rn. Пусть в некоторой точке (t0, x0) QT \ T функция u(t, x)

достигает положительного максимума

u(t0, x0) = max u(t, x) = M > 0.

QT

Тогда u(t, x) = M в каждой точке (t, x) QT , для которой t < t0. Доказательство теоремы 4, а также теорем 1–3 в случае произвольных

областей (не обязательно цилиндрических) см. в [5].

Принцип максимума в неограниченной области и задача Коши

Рассмотрим для уравнения (6.1) задачу Коши: найти непрерывную в полосе Π[0,T ] = {(t, x)| 0 ≤ t ≤ T, x Rn} функцию u, удовлетворяющую в Π(0,T ] уравнению (6.1) и при t = 0 совпадающую с заданной на Rn функцией

ϕ:

u(0, x) = ϕ(x), x Rn.

(1 )

Ниже докажем некоторые результаты (теоремы принципа максимума), позволяющие получить оценку решения задачи Коши вида (6.10). Как и в случае ограниченных областей, методом доказательства является метод вспомогательных функций (функции w, w±). При этом накладываются ограничения на рост коэффициентов и допустимый рост решения u при

n!1/2

X

|x| = x2i → ∞.

i=1

Теорема 5. Пусть функция u(t, x) в Π[0,T ] непрерывна и ограничена

снизу:
u(t, x) ≥ −d, d = const > 0,	(6.2)

а в Π(0,T ] имеет все непрерывные производные, входящие в оператор L, и удовлетворяет неравенству L ≤ 0. Пусть коэффициенты aij, bi, c удовлетворяют соотношениям

|aij| < m(|x|2 + 1), |bi(t, x)| < m(|x|2 + 1)1/2, c(t, x) < m,

m = const > 0. Тогда u(t, x) ≥ 0 всюду в Π[0,T ], если u ≥ 0 при t = 0. Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

w(t, x) = d (|x|2 + kt)eαt + u(t, x).

r02

44

Покажем, что при надлежащем выборе постоянных k, α величина L(w)

будет отрицательной при любых (t, x) Π[0,T ] и любых r0 > 0 (r0 = const). Запишем выражение для L(w):

n

L(w) = L(u) + rd2 eαt 2 aii+

0	=1
	iP	+ kct − k − α|x|2 − kαt .
+ 2i=1 bixi + c|x|2
	n

P

Здесь первое слагаемое в правой части есть L (d/r02)(|x|2+kt)eαt . Рассмот-

рим произвольную точку

(t, x)

полосы

Π

x

1

неравенство

(0,T ]. Если | | ≥

, то

L(w) ≤

d

αt

{m(4n + 1)(|x|

2

1) − α|x|

2

+ (m − α)kt} < 0

e

+

r2

0

выполняется при α > 2m(4n + 1). Если |x| < 1, то (при α > 2m(4n + 1))

L(w) ≤ (d/r02)eαt{m(8n + 1) − k} < 0

при k > m(8n + 1). Здесь учитывается, что при |x| < 1 имеют место неравенства |αii| < 2m, |bi| < 2m. Таким образом, выбрав α > 2m(4n + 1) и k > m(8n + 1), получим неравенство

L(w(t, x)) < 0,

верное при любых r0 и любых (t, x) Π(0,T ].

Рассмотрим теперь функцию w(t, x) в цилиндре Πr[00,T ] = {(t, x)| 0 ≤ t ≤ T , |x| ≤ r0}. Нетрудно проверить, что w(0, x) ≥ u(0, x) ≥ 0 и при

|x| = r0 (т.е. на боковой поверхности цилиндра Πr[00,T ]) функция w(t, x) ≥ d + u(t, x) ≥ 0. Следовательно, по теореме 1 всюду в Πr[00,T ] имеет место неравенство w(t, x) ≥ 0.

Любая фиксированная точка (t, x) полосы Πr[00,T ] при всех достаточно больших значениях r0 (r0 больше некоторого числа R = R(t, x) > 0) принадлежит всем цилиндрам Πr[00,T ]. В этой точке по доказанному выше при любых значениях r0 ≥ R

w(t, x) = d (|x|2 + kt)eαt + u(t, x) ≥ 0.

r02

Переходя в последнем неравенстве к пределу при r0 → ∞, получим неравенство u(t, x) ≥ 0. Теорема 5 доказана.

45

Теорема 6. Пусть u(t, x) классическое ограниченное решение задачи Коши (6.1), (1*), коэффициенты aij, bi оператора L подчинены условиям теоремы 5 и выполняются соотношения

|ϕ(x)| ≤ q, x Rn, |f(t, x)| ≤ p, c(t, x) ≤ m, (t, x) Π[0,T ].

Тогда всюду в Π[0,T ]

|u(t, x)| ≤ emt(pt + q).

(6.3)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательные функции

w±(t, x) = emt(pt + q) ± u(t, x).

По условию теоремы w±(0, x) ≥ 0. Вычисляя L(w±), получим

L(w±(t, x)) = emt[(c − m)(pt + q) − p] ± f ≤

		≤ −pemt ± f ≤ −pemt + p ≤ 0 (t, x) Π[0,T ].
По теореме 5 всюду в Π[0,T ]							w± ≥ 0 и, следовательно, имеет место оценка
(6.3). Теорема 6 доказана.
	Пусть S				фазовое		пространство		переменных v1, . . . , vd и
			v	| ≤	R	} - замкнутый шар в		S	радиуса	R	с центром в точке
B(0, R) = v
θ = (0, . . . ,{0).		|

Рассмотрим задачу Коши в Π[t0,T ] = {(t, x)| t0 ≤ t ≤ T , x Rn} для

распадающейся системы параболических уравнений
	L(v) = 0,
v t=t0	= vt0 , 0 ≤ t0 < T.	v	t0	= v	t0	(x)	(6.4)
Здесь v = v(t, x) =	(v1(t, x), . . . , vd(t, x)),						=

(v1t0 (x), . . . , vdt0 (x)), L(v) = (L(v1), . . ., L(vd)) вектор функции размерности d и d ≥ 1 целое.

Отметим, что покомпонентная запись задачи (6.4) имеет вид

L(vj) = 0,	vj	t=t0	= vjt0 , j = 1, . . . , d.
Имеет место

46

Теорема 7. Пусть коэффициент c(t, x) оператора L(·) равен тожде-

ственно нулю, остальные коэффициенты ограничены в Π[t0,T ] и v(t, x) = (v1(t, x), . . . , vd(t, x)) есть классическое ограниченное решение задачи (6.4)

в Π[t0,T ]. Тогда v(t, x) B(0, R) для всех (t, x) Π[t0,T ], если vt0 (x) B(0, R) для всех x Rn.

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы 7 неверно. Тогда существует точка (t(1), x(1)) Π[t0,T ] такая, что v(t(1), x(1)) не принадлежит B(0, R), следовательно, |v(t(1), x(1))| > R. Касательная плоскость к границе шара B(0, R) в точке v = Rv(t(1), x(1))/|v(t(1), x(1))| задается уравнением (N, w) = α1w1 + . . . + αdwd = R, где αi, i = 1, . . . , d направляющие косинусы единичного вектора N = v(t(1), x(1))/ |v(t(1), x(1))|. Очевидно, что в точке v(t(1), x(1)) фазового пространства S

d	αjvj t(1)	, x(1)
N, v(t(1), x(1)) = j=1
X

> R.

(6.5)

Так как vt0 (x) B(0, R) для всех x Rn, то (N, vt0 (x)) ≤ R и функ-

ция g0(x) = α1v1t0 (x) + . . . + αdvdt0 (x) − R ≤ 0 для всех x Rn. Функция

d

P

g(t, x) = αjvj(t, x) − R является решением в Π[t0,T ] уравнения L(g) = 0

j=1

с начальными данными g(t0, x) = g0(x) ≤ 0. Согласно теореме 5 функция g(t, x) ≤ 0 для всех (t, x) Π[t0,T ] и, в частности, в точке (t(1), x(1)), что противоречит неравенству (6.5). Теорема 7 доказана.

Замечание 2. Теорема 7 остается верной в случае, когда вместо шара

B(0, R) рассматривается произвольное ограниченное выпуклое множество (см., например, [14], лемма 4.5.1). Данный результат можно трактовать как некоторый геометрический вариант принципа максимума для распадающихся систем уравнений: если решение системы в начальный момент времени находилось в некотором выпуклом множестве фазового пространства при всех значениях пространственных переменных, то оно находится в этом множестве в любой последующий момент времени.

Далее сформулируем и докажем ряд утверждений, которые иллюстрируют приложения принципа максимума.

47

Утверждение 1. Пусть выполнены условия теоремы 1 и f ≡ 0. Тогда

|	(	)| ≤	T |	u(t, x)	|			Q	T
	u t, x		max			(t, x)

Доказательство. Пусть M = max |u(t, x)|. Рассмотрим функции w± =

T

M ±u(t, x), удовлетворяющие соотношениям w±| T ≥ 0 и L(w±) = L(M) ± L(u) = cM ± 0 ≤ 0. Согласно теореме 1 w± ≥ 0 при всех (t, x) QT . Отсюда следует, что −M ≤ u(t, x) ≤ M (t, x) QT . Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и f ≡ c ≡ 0. Тогда всюду в QT имеет место равенство

T	≤	u(t, x)	≤	T
min u				max u.

Доказательство. Введем обозначения M = max u, m = min u. Лег-

T T

ко показать, что для функций w+ = u(t, x) − m, w− = M − u(t, x) верны условия теоремы 1, согласно которой будет выполняться w±(t, x) ≥ 0 (t, x) QT . Откуда и следует справедливость утверждения 2.

Утверждение 3. Пусть в теореме 2 условие c(t, x) ≤ 0 заменено условием c(t, x) < m, где m = const > 0. Тогда в QT справедливо неравенство

|u(t, x)| ≤ emt(pt + q).

Доказательство. Сделаем замену u(t, x) = emtv(t, x). По замечанию 1 выражение Le(v) имеет коэффициент ec < 0 и верно Le(v) ≤ 0. Согласно теореме 2 справедлива оценка |v(t, x)| ≤ q + pt, так как |v(t, x)| T ≤ q,

|fe(t, x)|QT ≤ p. Тогда для u(t, x) имеет место оценка

|u(t, x)| ≤ emt|v(t, x)| ≤ emt(q + pt).

Утверждение 3 доказано.

Утверждение 4. (теорема единственности) Первая краевая задача для уравнения (6.1) не может иметь более одного классического решения.

Доказательство. Пусть u1(t, x), u2(t, x) - два решения первой краевой задачи для уравнения (6.1). Рассмотрим функцию u(t, x) = u1(t, x) − u2(t, x), которая является решением задачи

L(u) = 0, u| T = 0.

48

Согласно утверждению 3 в QT справедлива оценка |u(t, x)| ≤ 0. Следовательно, u1(t, x) = u2(t, x) в QT . Утверждение доказано.

Утверждение 5. Решение первой краевой задачи для уравнения (6.1) непрерывно зависит от входных данных.

Доказательство. Пусть функция u1(t, x) является решением задачи

L(u1) = f1(t, x),

u1(0, x) = u01(x),

u1(t, x)|ST = ϕ1(t, x),

а функция u2(t, x) - решение задачи

L(u2) = f2(t, x),

u2(0, x) = u02(x),

u(t, x)|ST = ϕ2(t, x).

Тогда функция u(t, x) = u1(t, x) = u2(t, x) удовлетворяет задаче

L(u) = f(t, x),

u(0, x) = u0(x),

u(t, x)|ST = ϕ(t, x),

где f(t, x) = f1(t, x) − f2(t, x), u0(x) = u10(x) − u20(x), ϕ(t, x) = ϕ1(t, x) −

ϕ2(t, x). Считаем, что

|f(t, x)| + |u0(x)| + |ϕ(t, x)| ≤ ε.

Следовательно, |u(t, x)| T ≤ ε и |f(t, x)|QT ≤ ε. Согласно утверждению 3 в QT имеем |u(t, x)| ≤ emt(ε + tε) ≤ emtε(1 + T ). Последнее неравенство гарантирует непрерывную зависимость от входных данных (правой части уравнения, начальной функции и функции, заданной на боковой поверхности) решения первой краевой задачи для уравнения (6.1).

Утверждение 6. Первая краевая задача для уравнения Бюргерса

ut + uux = µuxx + f

может имееть не более одного классического решения.

Доказательство. Пусть u1(t, x), u2(t, x) - два классических решения решения первой краевой задачи для уравнения Бюргерса. Рассмотрим функцию u(t, x) = u1(t, x) − u2(t, x), которая является решением задачи

ut + u1ux + u2xu = µuxx = 0, u| T = 0.

Так как u2(t, x) - классическое решение задачи, то |u2x(t, x)| ≤ M в QT .

Согласно утверждению 3 в QT справедлива оценка |u(t, x)| ≤ 0. Следовательно, u1(t, x) = u2(t, x) в QT . Утверждение доказано.

49

Принцип максимума для эллиптического уравнения

Рассмотрим линейный оператор

	n	∂2u		n	∂u
	M(u) = aij(x)		+	bi(x)		+ c(x)u	(6.6)
	X	∂xi∂xj		Xi	∂xi
	i,j=1			=1

с коэффициентами aij, bi, c, заданными в области Ω En.

По определению оператор M называется эллиптическим (эллиптического типа) в точке x0 Ω, если матрица старших коэффициентов

a11(x0)

a21(x0)

A(x0) =

. . .

an1(x0)

положительно определенная, т.е.

a12(x0) . . . a1n(x0)

a22(x0) . . . a2n(x0)

. . . . . .

an2(x0) . . . ann(x0)

n

X

0 < aij(x0)ξiξj, ξ = (ξ1, . . . , ξn) En, |ξ| =6 0.

i,j=1

Теорема 8. Пусть M – эллиптический оператор с коэффициентами, непрерывными в области Ω,

c(x) < 0

(6.7)

и функция u C2(Ω) ∩ C(Ω). Тогда

a)если M(u) 6 0 в Ω и u|∂Ω > 0, то u > 0 в Ω;

b)если M(u) > 0 в Ω и u|∂Ω 6 0, то u 6 0 в Ω.

Доказательство.

Случай (a). Пусть функция u(x) не удовлетворяет условию u(x) > 0 в Ω. Тогда в силу непрерывности u на Ω и условия u|∂Ω > 0 она достигает своего отрицательного минимума m < 0 в некоторой точке x0 Ω:

u(x0) = m < 0.

Рассмотрим цилиндрическую область QT = (0, T ) × Ω, T > 0, и пусть

ST = [0, T ] × ∂Ω и T = ST Ω.

50