u_course

Рассмотрим функцию

v(t, x) = u(x), x Ω, 0 6 t 6 T,

¯

определенную в QT . В силу определения функции v(t, x) v(t, x0) = u(x0) = m < 0, t (0, T ),

и, следовательно, v(t, x) достигает своего отрицательного минимума в точ-

0	¯
ке (t, x	) QT \ T .

Рассмотрим параболический оператор

L(v) = M(v) − ∂v∂t .

В QT имеет место неравенство

∂v

L(v) = M(v) −

= M(u) 6 0.

(6.8)

∂t

В точке (t0, x0) QT

0 0

0

n

0

∂2u(x0)

n

0

∂u(x0)

L(v(t , x

)) = M(u(x

)) =

aij(x

)

+

bi(x

)

+

∂xi∂xj

∂xi

i,j=1

=1

X

Xi

+c(x0)u(x0) > c(x0)u(x0) = c(x0)m > 0,

(6.9)

что противоречит (6.8). Отметим, что так как в (6.9) точка x0 является

точкой локального минимума, то			∂u(x0)	= 0, i = 1, . . . , n,
			∂xi
n	∂2u(x0)
X
aij(x0)		> 0 (см. доказательство теоремы 1)
i,j=1	∂xi∂xj

и c(x0)m > 0 в силу (6.7). Случай (a) доказан.

Случай (b). Предположим, что неравенство u(x) 6 0 в Ω не выполняется. Тогда существует точка x0 Ω, в которой функция u(x) достигает своего положительного максимума:

u(x0) = max u(x) = M > 0.

x Ω

В точке x0 M(u(x0)) 6 c(x0)M < 0, что противоречит предположению

M(u) > 0 в Ω. Теорема 8 доказана.

51

∂xα1 1 ∂xα2 2 ...∂xαnn

Следствием теоремы 8 является

Теорема 9. Пусть M – эллиптический оператор с непрерывными коэффициентами в области Ω и c(x) < 0 в Ω. Тогда, если функция u(x)

C2(Ω) ∩ C(Ω) есть решение уравнения M(u) = 0 и u(x) = 0 при x ∂Ω, то u(x) = 0 при x Ω.

Замечание 4. Из теоремы 9 следует, что классическое решение первой краевой задачи для уравнения M(u) = f (при условии c(x) < 0 в Ω) единственно.

Имеет место [21]

Теорема 10. Пусть M – эллиптический оператор с коэффициентами, непрерывными в области Ω, f непрерывна в Ω и c(x) 6 0. Тогда имеет место неравенство

ax u	| 6	max	ϕ	+ (eλd	−	1) max	f	,	(6.10)
mΩ |		∂Ω |	|			Ω |	|

где d – диаметр области Ω в направлении x1, постоянная λ удовлетворяет условиям

λ > 0, a11λ2 + b1λ > 1 в Ω.

Замечание 5. Очевидно, что в (6.10) в качестве постоянной d можно брать диаметр области Ω. Из теоремы 10 следует, что классическое решение первой краевой задачи для уравнения M(u) = f единственно при c(x) 6 0.

7. Функциональные пространства

Введем обозначения

Dαf(x) = ∂|α|f(x1, x2, ..., xn).

Здесь α = (α1, α2, ..., αn) – мультииндекс, αi ≥ 0 -целые, i = 1, n, |α| =

α1 + α2 + ... + αn.

Пусть Ω - область в En.

Определение. Линейное пространство функций, непрерывных на Ω

En, обозначают C(Ω).

52

Определение. Линейное пространство функций, непрерывных на Ω

En, обозначают C(Ω).

В пространстве C(Ω) вводится норма

||u||C(Ω) = max |u(x)|.

Ω

Пространство C(Ω) является банаховым пространством.

Определение. Линейное пространство функций, непрерывно дифференцируемых до порядка k включительно на Ω En, обозначают Ck(Ω):

Ck(Ω) = {f(x)| Dαf(x) C(Ω) |α| ≤ k} .

Определение. Пространство функций, непрерывно дифференцируемых до порядка k включительно на Ω En, обозначают Ck(Ω):

Ck(Ω)k=			f(x)| Dαf(x) C(Ω) |α| ≤ k .
В пространстве C (Ω) вводится норма
					|X
		||u||Ck(Ω) =			||Dαf(x)||C(Ω).

α|≤k

Пространство Ck(Ω) является банаховым пространством.

Определение. Функция g(x) называется финитной, если она обраща-

ется в ноль в некоторой невырожденной окрестности границы области Ω.

◦

Пространство непрерывных финитных в Ω функций обозначается C (Ω).

Пространство k раз непрерывно дифференцируемых финитных в Ω функ-

◦ k

ций обозначается C (Ω).

◦ ∞

C(Ω) - пространство финитных бесконечно дифференцируемых в Ω

функций.

Определение. Пространство функций, измеримых по Лебегу на множестве Ω En и интегрируемых по Лебегу со степенью p, p > 1, обозначают Lp(Ω):

Lp(Ω) = {f(x)| f(x)измеримы по Лебегу и Z	|f(x)|p dx < ∞}.
Ω

53

∂xmi

Впространстве Lp(Ω) вводится норма

1/p

||u||Lp(Ω) =	Z	|f(x)|p dx		.
	Ω

Пространство Lp(Ω) является банаховым пространством.

Имеет место следующая теорема [14], [18].

◦ ∞

Теорема. Пространство C (Ω) всюду плотно в L2(Ω).

Определение. Пространство функций, измеримых по Лебегу на множестве Ω En и интегрируемых по Лебегу со степенью p на любом Ω0

строго вложенном в Ω, обозначают Lp,loc(Ω).

Заметим, что Lp(Ω) Lp,loc(Ω).

Из анализа известна следующая теорема

Теорема. Пусть функции f(x), g(x) C1(Ω), Ω- ограниченная область в En с границей ∂Ω класса C1. Тогда имеет место формула интегрирования

по частям		∂xi		dx = Z	f(s)g(s) cos(n, xi) ds − Z	g(x) ∂xi			dx,	(7.1)
Z	f(x)
		∂g(x)				∂f(x)
Ω				∂Ω	Ω

где n = n(s) - внешняя нормаль к ∂Ω в точке s.

◦

В случае, когда f (или g) C1 (Ω), то f|∂Ω ≡ 0 и формула (7.1) прини-

мает вид	f(x) ∂xi			dx = − Z	g(x) ∂xi			dx.	(7.2)
Z
	∂g(x)				∂f(x)
Ω				Ω					◦

Рассмотрим функцию f(x) Ck(Ω) и функцию g(x) Ck (Ω). Применяя формулу (7.2) интегрирования по частям, получим равенство

Z f(x)∂mg(x) dx = (−1)m Z g(x)∂mf(x) dx, m ≤ k0. (7.3) ∂xmi

Ω

Ω

8. Обобщенные производные (по С.Л. Соболеву ) и их

свойства

n	α	∂|α|f
iP
Пусть α = (α1, . . . αn) - мультииндекс, |α| = αi, D f =		∂xα1	. . . ∂xαn	.
=1		1	n

54

Определение. Функция fα L2,loc(Ω) называется α - обобщенной производной в области Ω функции f L2,loc(Ω), если равенство

Z Z

f(x)Dαg(x) dx = (−1)|α| fα(x)g(x) dx

Ω Ω

◦

выполняется при любом g(x) C|α|. Свойства обобщенных производных.

Свойство 1. Если α - обобщенная производная функции f L2,loc(Ω)

существует, то она единственна.

Замечание 1. Считаем, что если f(x)

◦

(Ω), Ω

Ω, то f

◦

Ck

Ck (Ω)

и на

\Ω функция f = 0.

◦

e

e b

Ω

b

Z

e

C

1 (Ω)

,

Ω

Ω

,

g

2

(Ω)

, то

fg dx =

Замечание 2. Если f

L

Z

fg dx.

e

e

Ω

Ωe

Действительно, продолжая нулем функцию f на Ω\Ωe получаем функцию равную нулю на Ω\Ωe и определенную на Ω. Отсюда функция fg определена на Ω и равна нулю на Ω\Ωe. Следовательно, по свойствам интеграла Лебега

Z	fg dx = Z	fg dx + Z	fg dx = Z	fg dx,
Ω	Ωe	Ω\Ωe	Ωe

R

так как fg dx = 0.

Ω\Ωe

Замечание 3. Пусть H - гильбертово пространство и элемент h H

ортогонален всюду плотному в H множеству M. Тогда h = 0.

Этот факт - хорошо известная теорема функционального анализа.

Доказательство свойства 1 (единственность).

Рассмотрим f L2,loc(Ω). Пусть существуют f1α(x), f2α(x) - две α - обобщенные производные функции f(x). Имееют место тождества

Z	fDαg dx = (−1)|α|	Z	◦
			f1αg dx g C|α| (Ω),
Ω		Ω

55

Z	fDαg dx = (−1)|α|	Z	◦
			f2αg dx g C|α| (Ω).
Ω		Ω

Вычтем второе тождество из первого. Получим, что

Z	◦
	(f1α − f2α)g dx = 0 g C|α| (Ω).	(8.1)

Ω

Так как f1α, f2α ◦ L2,loc(Ω), то f1α −f2α L2,loc(Ω). Рассмотрим произвольное

Ωe b Ω и g C|α| (Ω)e . В силу замечаний 1,3 из (8.1) следует равенство

	(Ω) = Z (f1α − f2α)g dx		◦
0 = (f1α − f2α, g)L2			g C|α| (Ω).
	e	Ω	e
		e

◦

Так как C|α| (Ω)e всюду плотно в L2(Ω)e , то по замечанию 3 почти всюду в Ωe выполнено f1α − f2α = 0. В силу произвольного выбора множества Ωe разность f1α − f2α = 0 почти всюду в Ω: f1α = f2α почти всюду в Ω.

Свойство 2. Если функция f(x) имеет непрерывную классическую производную Dαf в Ω, то f(x) имеет α - обобщенную производную fα

и fα = Dαf.

◦

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию g C|α| (Ω). Пусть α = (α1, . . . , αk). Интеграл

Z	f(x)D|α|g(x) dx = Z	f(x)	∂|α|g(x)	dx
			∂x1α1 ∂x2α2 . . . ∂xnαn
Ω	Ω

существует в силу замечания 2. Интегрируя по частям α1 раз по переменной

56

x1, получим равенство
Z f(x)D|α|g(x) dx = (−1)α1	Z	∂α1 f ∂α2+···+αn g			dx =
		∂x1α1		∂x2α2 . . . ∂xnαn
Ω	Ω

(интегрируем по частям по переменной x2)

= (−1)α1+α2 Z	∂α1+α2 f ∂α3+···+αn g			dx =
	∂x1α1 ∂x2α2		∂x3α3 . . . ∂xnαn
Ω

(интегрируем по частям по x3 по x4 и, наконец, по xn)

(−1)α1+α2+···+αn Z		∂α1+α2+···+αn f	g dx.
		∂x1α1 ∂x2α2 . . . ∂xnαn
	Ω
Получаем равенство			Z
Z	f(x)D|α|g(x) dx = (−1)|α|			Dαfg dx,
Ω			Ω

◦

верное при любом фиксированном g C|α| (Ω). По определению α - обобщенной производной функция Dαf есть α - обобщенная производная.

Замечание 4. Мы показали, что множество функций, имеющих α - обобщенные производные, не пусто. Например, функции класса Ck(Ω) имеют α - обобщенные производные для всех α таких, что |α| ≤ k. Функции класса C∞(Ω) имеют обобщенные производные при любом мультеиндексе α равные Dαf.

Зафиксируем мультеиндекс α = (α1, . . . , αk). Dαf означает, что производная по x1 берется α1 раз, по x2 - α2 раз и т.д. Из анализа известно, что если соответствующие классические смешанные производные некоторого порядка m непрерывны, то эти производные не зависят от порядка дифференцирования.

Аналогичная ситуация имеет место и в случае обобщенных производных.

57

k

P Cifiα. i=1

Свойство 3. α - обобщенная производная зависит от мультеиндекса α и не зависит от порядка дифференцирования по пространственным переменным.

Доказательство. Пусть

f1α =		∂|α|f		,	f2α =		∂|α|f		−
	∂xα1	∂xα2	. . . ∂xαn			∂xα2	∂xα1	. . . ∂xαn
1		2	n		2		1	n

две производные соответствующие одному α и вычисленные разными способами. Это значит, что

Z

∂|α|g

−

Z

1

◦

∂x1α1 ∂x2α2 . . . ∂xnαn

1)|α|

C|α| (Ω),

f

dx = (

fαg dx

g

Ω

Ω

Z

∂|α|g

−

Z

2

◦

∂x2α2 ∂x1α1 . . . ∂xnαn

f

dx = ( 1)|α|

fαg dx

g

C|α| (Ω),

Ω

Ω

и, так как левые части этих равенств равны, то

Z (f1α − f2α)g dx = 0

◦

g C|α| (Ω).

Ω

Повторяя далее рассуждения, приведенные при доказательстве свойства 1, получим, что f1α = f2α почти всюду в Ω.

Свойство 4. Пусть даны функции fi(x) класса L2,loc(Ω), fiα - их соот-

ветственно α - обобщенные производные, Ci - постоянные, i = 1, . . . k. Тогда

k

функция f = P Cifi имеет α- обобщенную производную fα и fα =

i=1

Свойство 4 -линейность операции обобщенного дифференцирования.

Свойство 5. Пусть функция f(x) имеет α = обобщенную производную

Dα = ϕ, а функция ϕ(x) имеет β - обобщенную производную Dβϕ = ψ. Тогда функция f(x) имеет α + β - обобщенную производную Dα+βf = ψ.

				◦ |α|+|β|			(Ω). Тогда Z	fD	α+β	g dx =
Доказательство. Пусть g C
							Ω
α	β			β	g	◦ |α|
= Z fD	(D	g) dx = (так как D				C	(Ω) и f имеет обобщенную про-
Ω			Z
изводную Dαf = ϕ) = (−1)|α|				ϕDβg dx = (так как ϕ имеет обобщенную

Ω

58

производную Dβϕ = ψ) = (−1)|α|+|β|	Z	ψg dx = (−1)|α+β|	Z	ψg dx.
	Ω		Ω

Пример 1. Пусть f(x) = |x| и Ω = (−1; 2) E1. Найти обобщенную

производную функции f(x) по x.

◦

Решение. Для любой функции g C1 ((−1; 2)) выполняются соотно-

	2	0	2					0
шения Z		|x|g0 dx = − Z	xg0 dx + Z	xg0 dx = −xg(x)|−0			1 + Z		g dx + xg(x)|02
− Z	−1	−1	0					−1		Z	g dx
	g dx = (первый и третий члены равны нулю) =				−			− Z	g dx +
2								0		2
0	2					−1				0
= −	Z
	signxg dx.

−1

Таким образом, обобщенная производная

−1, −1 < x < 0,

f0 = signx =

1, 0 ≤ x < 2.

Для обобщенных производных применяются те же обозначения, что и для классических производных.

Например,

∂|α|f(x)

,

Dαf(x)

при α = (α1, . . . , αn),

α1

α2

αn

∂x1

∂x2

. . . ∂xn

Dxαf =

∂2f

,

fx1x2 ,

при α = (1, 1, 0, . . . , 0),

∂x1∂x2

fxixj

при α = (0, . . . , 0,

i

j

,

0,

. . . , 0,

, 0, . . . , 0)

1

1

Пример 2. Пусть f(x) = |x1|, x

Ω = {x||x|

< 1}, Ω+ = {x| |x| <

∂f

∂f

1, x1 > 0}, Ω− = {x| |x| < 1, x1 < 0}. Доказать, что

= signx1

,

∂xi = 0,

∂x1

i = 2, 3, . . . , n.

dx = Z

1 dx = Z

1 dx − Z

Доказательство. Z

fgx0

1

|x1|gx0

x1gx0

x1gx0

1 dx

=

Ω

Ω

Ω+

Ω−

59

=

Z

x1g(x) cos nx1 ds − Z

g dx −

Z

x1g(x) cos nx1 ds + Z

g dx = (инте-

∂Ω+

Ω+

∂Ω−

Ω−

гралы по поверхностям ∂Ω−, ∂Ω+ равны нулю) = − Z

signx1g(x) dx g

◦

Ω

∂|x1|

C1

(Ω). Следовательно,

= signx1.

Далее, Z

fgxj dx = Z

∂x1

∂xj |x1|g(x) dx = Z

|x1|g(x) cos nxj ds =

|x1|gxj dx = Z

∂

Ω

Ω

◦

Ω

∂Ω

0 = − Z o · g dx g

C1

(Ω). По определению обобщенной производной

Ω

∂f = 0, j = 2, 3, . . . , n. ∂xj

Пример 3. Пусть f(x) = signx1, x Ω. Доказать, что производная fx0									1
не существует, а производные fx0i = 0, j = 2, 3, . . . , n.							∂
Доказательство. Пусть j > 1. Z					signx1gxj dx = Z
								(signx1g(x)) dx
							∂xj
= Z				Ω	Z	Ω
	∂					0 · g(x) dx. Следовательно,
		signx1g(x) cos(nxj) ds = 0 =
	∂xj
Ω					Ω
			∂
				(signx1) = 0,		j = 2, . . . , n.
			∂xj

Докажем,что производная ∂f не существует. Через D обозначим сече-

∂x1

ние шара Ω плоскостью x1 = 0. Предположим, что существует обобщенная

производная ∂f = ϕ(x), ϕ(x) L2,loc(Ω). Из этого предположения следу-

∂x1

ет, что

∂g

◦

Z

signx1

dx = (−1) Z

ϕ(x)g(x) dx

g C1 (Ω).

(8.2)

∂x1

Ω

Ω

◦

◦

Замечание 5. Вспомним, что имеет место вложение C1 (Ω±) C1 (Ω).

◦

Пусть g(x) C1 (Ω+). Из (8.2) имеем

Z

signx1 ∂x1 dx = Z

signx1 ∂x1 dx = Z

g(s) cos(n, x1) ds = 0.

∂g

∂g

Ω

Ω+

∂Ω+

60