u_course

Рассмотрим функционал
F (v) = ZΩ fv dx.	(12.7)

◦

Здесь f(x) L2(Ω), u(x) H1 (Ω). Ясно, что F (v) определен при любых

◦

v H1 (Ω). Очевидна линейность функционала F . Докажем его непрерывность. Справедливы соотношения

Z

|F (u)| = fu dx ≤ ( неравенство Шварца ) ≤

Ω

kfk · kuk ≤ kfk · kukH1(Ω) ≤

≤ (в силу эквивалентности норм k · kH1(Ω) и k · k1) ≤ Ckfk · kuk1.

◦

Отметим, что мы рассматриваем H1 (Ω) с нормой k · k1 и скалярным произведением ((·, ·))1. Доказано неравенство

|F (u)| ≤ Ckfk · kuk1.

Откуда kF k ≤ Ckfk. Функционал F ограничен, следовательно, он непре-

◦

рывен, и по теореме Рисса существует единственный элемент u(x) H1 (Ω)

◦

такой, что F (v) = ((u, v)) v H1 (Ω) или
Z	n	∂u ∂v			dx + Z		Z	◦
	k(x) i=1					auv dx =		fv dx v H1 (Ω).
		∂xi ∂xi
Ω	X				Ω		Ω
Теорема 1 доказана.

Вторая краевая задача
Пусть на ∂Ω задано второе краевое условие
∂u	(12.8)
∂n ∂Ω = 0.

71

Рассмотрим в области Ω вторую краевую задачу (12.1), (12.8). Считаем, что коэффициент k(x) удовлетворяет условию (12.3), функция f(x) - условию (12.5). Относительно a(x) предположим, что

0 < a0 ≤ a(x) ≤ A, a0 − const.

(12.9)

Рассмотрим краевую задачу (12.1), (12.8) при условиях (12.3), (12.5),

(12.9).

Определение. Элемент класса H1(Ω) называется обобщенным решением задачи (12.1), (12.8) в классе H1(Ω), если соотношения (12.6) выполняются при всех v(x) H1(Ω).

Теорема 2. Пусть выполнены условия (12.3), (12.5), (12.9), тогда задача (12.1), (12.8) имеет единственное решение в классе H1(Ω).

Доказательство. В силу (12.3), (12.9) билинейная форма ((u, v)) в

(12.6) порождает на H1(Ω) скалярное произведение ((u, v)) эквивалентное исходному скалярному произведению (u, v)H1(Ω) в H1(Ω). Функционал

Z

F (v) = fv dx - линейный и ограниченный на H1(Ω) (ограниченность

Ω

следует из соотношений |F (v)| ≤ kfk · kvk ≤ Ckfk · kvk1, kvk1 = ((v, v))1/2. Далее применяем теорему Рисса.

13. Метод Галеркина для эллиптического уравнения

Рассмотрим в пространстве H1(Ω) счетную систему элементов

w1(x), w2(x), . . . , wm(x), . . . . (13.1)

Определение. Система (13.1) называется базисом в H1(Ω), если выполняются следующие условия:

1)любая конечная система элементов этой системы линейно независима;

2)каждый элемент u(x) H1(Ω) с любой наперед заданной точностью может быть приближен в норме H1(Ω) линейной комбинацией элементов из (13.1).

Замечание. Второе условие означает, что ε > 0 N = N(ε, u) и

72

постоянные C1, C2, . . . , CN такие, что

N

X

ku − CiwikH1(Ω) < ε.

i=1

Первая краевая задача

Рассмотрим задачу (12.1), (12.2) при выполнении условий (12.3) - (12.5).

13.1. Построение галеркинских приближений
Элемент	m
um(x) =	X ciwi(x)	(13.2)

i=1

называется n-ым галеркинским приближением решения задачи (12.1), (12.2) в классе H1(Ω), если постоянные ci, i = 1, . . . , m, удовлетворяют соотношениям

		((um, wj)) = (f, wj),						j = 1, . . . , m.	(13.3)
Напомним, что (f, wj) =						Z	fwj dx - скалярное произведение в L2(Ω),
	n					Ω
			∂u ∂v						◦
Z	i=1					+ auv! dx - скалярное произведение в H1 (Ω)
Ω	X		∂xi ∂xi
((u, v)) =	k
эквивалентное исходному скалярному произведению									(Ω)).
((u, v))H1(Ω) =	Z	uv + X uxi vxj ! dx в H1(Ω) (и в H1
					n			◦

Ωi=1

Покажем, что (13.3) есть система линейных алгебраических уравнений размерности n. Действительно, в случае когда базис (13.1) ортонормирован по норме k · k1 = ((·, ·))

m

m

XX

((um, wj)) = ((ciwi, wj)) =	ci((wi, wj)) = cj.
i=1	i=1

В случае неортонормированной системы (13.1)

m

m

XX

((um, wj)) = (( ciwi, wj)) =	αijci, αij = (wi, wj),
i=1	i=1

и мы имеем систему линейных алгебраических уравнений

m

X

αijci = fj,

j = 1, . . . , m,

(13.4)

i=1

73

где fj = (fi, wj).

Докажем, что при любом фиксированном n ≥ 1 система (13.4) имеет единственное решение.

Из алгебры известна [9]

Теорема 1. Неоднородная система Ac = b линейных алгебраических уравнений однозначно разрешима при любом b тогда и только тогда, когда однородная система Ac = 0 имеет лишь нулевое решение.

В теореме, сформулированной выше, мы рассматриваем систему n линейных уравнений с n неизвестными. A - числовая матрица размерности n × n, b - заданный, c - искомый векторы размерности n.

Рассмотрим	систему (13.4)	при fi	= 0, i = 1, . . . , n,	и пусть c =
(c1, . . . , cn) - её решение:
	m
	Xi			(13.5)
	αijci	= 0,	j = 1, . . . , m.
	=1
Из (13.5) имеем соотношения
m	m
Xi	X
ci((wi, wj)) = ((		ciwi, wj)) = ((vm, wj)), j = 1, . . . m.
=1	i=1

Умножая последние соотношения на cj и суммируя результат умножения

по j от 1 до m, получим равенство ((vm, vm)) = 0. Отсюда kvmk1 = 0 и

m

X

vm = 0, то есть ciwi = 0. Так как элементы базиса w1, . . . , wm линейно

i=1

независимы, то ci = 0, i = 1, . . . , m. На основании теоремы 1 заключаем, что система (13.4) имеет единственное решение при любых m и любых f1, . . . , fm.

Ниже через cm = (cm1 , . . . , cmm) будем обозначать решение системы (13.4).

13.2. Априорная оценка

Ниже мы оценим всю совокупность галеркинских приближений. Пусть um - m-е галеркинское приближение. Умножая (13.3) на cmj и суммируя результаты по j = 1, . . . , m, получим соотношение

((um, um)) = (f, um).

74

Так как

|(f, um)| ≤ kfk · kumk ≤ kfk · kumkH1(Ω) ≤
≤ (в силу эквивалентности норм k · k1 и k · kH1(Ω)) ≤
≤ Ckfk · kumk1.
Отсюда
kumk12 ≤ Ckfk · kumk1.	(13.6)
Если kumk1 6= 0, то после деления (13.6) на kumk1, получим
kumk1 ≤ Ckfk.	(13.7)

Если u = 0, то, очевидно, (13.7) имеет место. Из (13.7) следует, что множество галеркинских прилижений {um}∞m=1 ограничено в H1(Ω).

Определение. Множество M H называется слабо компактным в H, если существует последовательность {xk}∞k=1 M такая, что xk → x H

при k → ∞ слабо в H.

Определение. Последовательность {xk}∞k=1 → x H слабо, если

lim T (xk) = T (x) T H .

k→∞

Здесь H - пространство линейных непрерывных функционалов над H (H

- сопряженное к H пространство).

Имеет место [14]

Теорема 2(о слабой компактности). Всякое ограниченное бесконеч-

ное множество M в гильбертовом пространстве H слабо компактно.

◦

Так как H1 (Ω) - гильбертово пространство, то по теореме о слабой компактности существует подпоследовательность {umk } последовательно-

◦	слабо	◦
сти {um}m∞=1, которая слабо сходится к u H1 (Ω): umk	−→ u H1 (Ω).

По теореме Рисса ((u, w)) = T (u) есть линейный непрерывный функционал

по u и любом фиксированном w. Следовательно, при mk → ∞

◦
((umk , w)) → ((u, w)) w H1 (Ω).	(13.8)

75

Покажем, что u(x) - обобщенное решение задачи (12.1), (12.2).

◦

Ясно, что u(x) удовлетворяет условию (12.2), так как u(x) H1 (Ω) и,

◦

следовательно, u|∂Ω = 0. Здесь u|∂Ω - след u(x) H1 (Ω) на ∂Ω. Из (13.3) следует, что при фиксированном k

			((umj , wk)) = (f, wk)		mj ≥ k.
Переходя к пределу при j → ∞ получим, что
			((u, wk)) = (f, wk)		k ≥ 1.					(13.9)
Пусть v		◦	1 (Ω) - произвольный элемент. Так как			{		}	k∞=1	- базис, то
		H					wk
								m
							Xj
существует последовательность {vm}m∞=1 такая, что vm =									cjmwj и
								=1
			vm → v		◦
				сильно в H1 (Ω).						(13.10)

Умножим (13.9) на cmk и просуммируем результат по k от 1 до m. Получим соотношение

((u, vm)) = (f, vm),

переходя в котором к пределу при m → ∞, получим соотношение

	◦
((u, v)) = (f, v)	v H1 (Ω).	(13.11)
		◦

Следовательно, u(x) - решение задачи (12.1), (12.2) класса H1 (Ω).

Докажем единственность решения задачи (12.1), (12.2) класса

◦

H1 (Ω).

◦

Пусть u1(x), u2(x) - два решения задачи (12.1), (12.2) класса H1 (Ω). Функция u(x) = u1(x) − u2(x) удовлетворяет соотношениям

◦

((u, v)) = 0 v H1 (Ω).

При u = v получим, что ((u, u)) = kuk21 = 0. Отсюда следует, что u = 0 и

u1 = u2 почти всюду в Ω.

◦

Докажем, что um → u сильно в H1 (Ω), то есть lim ku − unk1 = 0.

n→∞

76

(13.14)

следует

Пусть Sk - подпространство, натянутое на первые k (k ≥ 1) элементов базиса (13.1). Имеют место соотношения

((um, w)) = (f, w) w Sk, k ≤ m,

(13.12)

Пусть {vm}∞m=1 vm Sm и

						◦
((u, w))1 = (f, w)					w H1 (Ω).		(13.13)
							◦
- последовательность элементов из H1 (Ω) такая, что
m	k	u	−	v	mk1	= 0.
lim

→∞

Отметим, что существование такой последовательности {vm}∞m=1

из второго свойства базиса (13.1).

Вычитая из соотношения (13.13) соотношение (13.12) и взяв в полученном соотношении w = vm − um, получим равенство

((u − um, vn − um)) = 0.

(13.15)

Преобразуем равенство (13.15):

0 = ((u − um, vm − um)) = ((u − um, u − um)) + ((u − um, vm − u)).

Отсюда

ku − umk12 = ((u − um, u − um)) ≤ ku − umk1 · ku − vmk1.

(13.16)

Так как ku−umk1 ≤ kuk1 +kumk1 ≤ C m ≥ 1 и выполняется соотношение (13.14), то из (13.16) следует, что

lim ku − umk1 = 0.

m→∞

Нами доказана

Теорема 2. Пусть выполняются условия (12.3) - (12.5). Тогда после-

довательность галеркинских приближений {um}∞m=1 сходится к элементу

◦

u H1 (Ω) сильно в H1(Ω), элемент u есть решение задачи (12.1), (12.2) класса H1(Ω). Решение задачи (12.1), (12.2) в классе H1(Ω) единственно.

77

Вторая краевая задача

Рассмотрим уравнение (12.1) с краевыми условиями
					∂u
						∂Ω = 0.	(13.17)
					∂n
		n	∂u(ξ)
	∂u	Xi
В (13.17)				cos(n, xi) - производная по нормали n (внешняя)
		=
	∂n		∂xi

=1

к ∂Ω в точке ξ ∂Ω.

Считаем, что выполняются условия (12.3), (12.5), (12.9) и ∂Ω C1.

Определение. Элемент u H1(Ω) называется обобщенным решением

задачи (12.1), (13.17) класса H1(Ω), если соотношения
Z (krurv + auv) dx = Z		fv dx	(13.18)
Ω	Ω
выполняются для любого v H1(Ω).

Обозначим через ((u, v)) левую часть в (13.18). Тогда тождество (13.18)

примет вид			v H1(Ω).
		((u, v)) = (f, v)		(13.19)
В силу (12.3), (12.9) норма kuk1			= ((u, u))1/2 эквивалентна исходной
норме kukH1(Ω) =	Z	(u2 + |ru|2) dx 1/2 в H1(Ω).

Ω

Теорема 3. Пусть выполняются условия (12.3), (12.5), (12.9). Тогда последовательность галеркинских приближений {um}∞m=1 сходится к элементу u H1(Ω) сильно в H1(Ω), элемент u есть решение задачи 12.1), (13.17) класса H1(Ω). Решение задачи (12.1), (13.17) в классе H1(Ω) единственно.

Доказательство теоремы 3 в основном повторяет доказательство теоремы 2 и состоит из слудующих этапов:

1. Построение галеркинских приближений. Пусть w1, . . . , wm, . . . - ба-

		m
зис в H1	m	Xj	- n-ое галеркинское приближение, если
	(Ω) и um(x) =	cjmwj
		=1
постоянные cj , j = 1, . . . m, являются решением системы
	((um, wj)) = (f, wj),			j = 1, . . . , m.	(13.20)

78

Доказывается, что система (13.20) имеет решение при любых f L2(Ω).

2. Ограниченность {um}∞m=1 в H1(Ω). Аналогично первой краевой задачи доказвается, что

kumk1 ≤ C.

3.Доказательство существования решения задачи (12.1), (13.17) класса

H1(Ω).

4.Единственность решения задачи (12.1), (13.17) класса H1(Ω).

5.Сильная сходимость um к u в норме H1(Ω).

Замечание. Третью краевую задачу можно решать методом Галеркина аналогично решению первой (второй) краевой задаче. Здесь соответственным образом выбирается скалярное произведение эквивалентное исходному скалярному произведению в H1(Ω).

14. Проблема минимума квадратичного функционала и

краевые задачи

	Рассмотрим пространство H			1	ˆ
					(Ω) и подпространство H(Ω) пространства
H	1	(Ω). Пусть ((·, ·)), k·k1			ˆ
			- скалярное произведение и норма в H(Ω). Пред-

положим, что норма k · k1 эквивалентна исходной норме в пространстве

H	1	(Ω): kuk1		ˆ
			kukH1(Ω). Рассмотрим функционал на H
				Φ(u) = kuk12 + 2(f, u).	(14.1)
В (14.1) функция f(x)				ˆ	(Ω) - скалярное
				L2(Ω), u(x) H, (f, u) = (f, u)L2

произведение в L2(Ω), Φ(u) - квадратичный функционал, определенный на

ˆ

H.

Докажем, что множество значений этого функционала ограничено снизу. Из соотношений

Φ(u) > kuk21 − 2kfkkuk ≥ kuk21 − 2Ckfkkuk1 =

(kuk21 − ckfk)2 − C2kfk2 ≥ −C2kfk2

следует, что

2	kfk	2	ˆ	(14.2)
Φ(u) ≥ −C			u H.

79

Из (14.2) следует существование точной нижней грани множества значений

ˆ

функционала Φ(u) на H.

d = inf Φ(u).	(14.3)
ˆ
u H

ˆ

Определение. Элемент u H называется элементом, реализующим

ˆ

минимум функционала Φ(u) на H, если Φ(u) = d.

Определение. Последовательность {uk}∞k=1 называется последователь-

ˆ

ностью минимизирующей функционал Φ(u) на H, если lim Φ(uk) = d.

k→∞

Замечание 1. Из определения минимизирующей последовательности, вообще говоря, не следует, что сама последовательность {uk}∞k=1 является сходящейся к d при k → ∞.

ˆ	H	1	ˆ
Теорема 1. Для любого H			(Ω) существует в H единственный
ˆ			ˆ
элемент u H реализующий минимум функционала Φ в H. Любая мини-
мизирующая последовательность {uk}k∞=1 сходится к u сильно в Hˆ .
Доказательство. Из определения			точной нижней грани числового

множества следует существование минимизирующей последовательности. Пусть {uk}∞k=1 - произвольная минимизирующая последовательность. До-

кажем, что существует

lim uk = u и u - элемент, реализующий минимум

k→∞

функционала Φ: Φ(u) = d.

Так как {uk}k∞=1 - минимизирующая в Hˆ последовательность и, следо-

вательно,

lim Φ(u

) = d, то для любого ε > 0 существует число n = n(ε)

такое, чтоk→∞

k

e e

d ≤ Φ(uk) < d + ε

k > n.

(14.4)

Имеют место соотношения

e

2

2

2

2

4

k

kk1

k

mk1

±

2

1

u

u

k

, u

m

)),

uk ± um

=

uk ± um , uk ± um

= 1(

2 +

2)

1

((u

2

2

2

2

2

k

kk1

k

mk1

1

+

1

=

u

uk + um

uk − um

1

( u

2 +

2).

Используя представление (14.1) функционала Φ(u) и соотношение (14.4),

80