u_course

Следовательно,

Z		◦
	ϕ(x)g(x) dx = 0	g C1 (Ω+).	(8.3)
Ω+
Аналогично доказывается, что
Z		◦
	ϕ(x)g(x) dx = 0	g C1 (Ω−).	(8.4)
Ω−
Из (8.3), (8.4) следует, что
		◦
	(ϕ, g)L2(Ω+) = 0	g C1 (Ω+),
		◦
	(ϕ, g)L2(Ω−) = 0	g C1 (Ω−).

◦◦

Так как пространства C1 (Ω+), C1 (Ω−) плотны соответсвенно в L2(Ω+),

L2(Ω−) то (см. замечание 3) ϕ = 0 почти всюду в Ω+ и в Ω− и, следовательно, в Ω (лебегова мера D равна нулю). Из (8.2) и равенства нулю функции

ϕ(x) почти всюду в Ω

Z		∂g		◦
	signx1		dx = 0	g C1 (Ω).
		∂x1
Ω

Отсюда
0 = Z		signx1	∂g	dx = Z	∂g	dx − Z
			∂x1		∂x1
− Z	Ω			Ω+		Ω−
	g(s) cos(n, x1) ds = − Z				g(s) ds−Z

∂g

Z

∂x1 dx = g(s) cos(n, x1) ds−

∂Ω+
g(s) ds = −2 Z	◦
	g(s) ds g C1 (Ω).

∂Ω−

D

D

D

◦

В силу произвольного выбора функции g C1 (Ω) мы получили противоречие.

9. Пространства Соболева Hl(Ω)

Пусть l ≥ 1 - целое.

61

Определение. Hl(Ω) - линейное пространство функций, имеющих все обобщенные производные до порядка l включительно, суммируемые с квадратом.

Данное определение кратко можно записать так:

Hl(Ω) = {u|Dαu L2(Ω) α, |α| ≤ l}.

(9.1)

Скалярное произведение в Hl(Ω) задаётся соотношением

Z

X

(f, g)Hl(Ω) = DαfDαg dx. (9.2)

Ω|α|≤l

Вчастности скалярное произведение в H1(Ω) есть

	Z	1
	Ω	|X|
(f, g)H1	(Ω) =	DαfDαg dx =
		α =0

Zn

Ω		∂f ∂g
	Xi
=	fg +
	=1	∂xi ∂xi

Норма в Hl(Ω) есть

Z

kfkHl(Ω) =

Ω

(9.3)

!

Z

dx = (fg + rfrg) dx.

Ω

|X	(Dαf)2 dx 1/2 .	(9.4)
α|≤l

Теорема 1. Hl(Ω) - гильбертово пространство.

Доказательство. Нетрудно доказать, что (9.2) есть скалярное произведение. Докажем, что пространство Hl(Ω) полное по норме (9.4), порожденной скалярным произведением (9.2). Последнее означает, что всякая фундаментальная по норме (9.4) последовательность {um}∞m=1 Hl(Ω)

сходится по этой норме к некоторому элементу u Hl(Ω). Пусть {um}∞m=1 Hl(Ω) и ε > 0 существует N такое, что

62

kuk − uskHl(Ω) < ε k, s > N.

kuk − uskH2	l(Ω) = Z	α l(Dα(uk − us))2 dx = α				l Z	(Dα(uk − us))2 dx =
	Ω	|X			X
		|≤			| |≤	Ω
|α|≤l Z (Dαuk − Dαus))2 dx = α l kDαuk − DαuskL2							2(Ω).
P				|X
Ω				|≤					(9.5)
Вспомним, что
	(f, g)L2(Ω) = Z			fg dx,	kfkL2(Ω) =		f2 dx	1/2
			Ω
Из (9.5) следует, что kDαuk − DαuskL2					2(Ω) < ε k, s > N, при всех α таких,
что |α| ≤ l. Следовательно, последовательность
{Dαum}m∞=1 является фундаментальной в L2(Ω) α |α| ≤ l.									(9.6)

В частности, последовательность {um}∞m=1 также фундаментальна в L2(Ω). Из (9.6) следует, что в силу полноты пространства L2(Ω) существует элемент uα L2(Ω) такой, что

kDαum − uαkL2(Ω) → 0	при m → ∞.	(9.7)
В частности, существует элемент u L2(Ω) такой, что
kum − ukL2(Ω) → 0	при m → ∞.	(9.8)

Так как из сильной сходимости следует слабая сходимость, то (ϕ, um)L2(Ω) →

(ϕ, u)L2(Ω), m → ∞ ϕ L2(Ω). Аналогично для любого α, α ≤ l,

(ϕ, Dαum)L2(Ω) → (ϕ, uα)L2(Ω), m → ∞ ϕ L2(Ω).

Покажем, что uα есть α - обобщенная производная функции u. Пусть

◦

ϕ C|α| (Ω) L2(Ω). По определению
	Z	umDαg dx = (−1)|α|		Z	gDαum dx α : |α| ≤ l.	(9.9)
	Ω			Ω
Перейдем в (9.9) к пределу при m → ∞. Получим
Z	uDαg dx = (−1)|α| Z		guα dx g C◦|α| (Ω) |α| ≤ l.			(9.10)
Ω		Ω

63

Из (9.10) следует, что функция u имеет все обобщенные производные Dαu

до порядка l включительно и Dαu = uα, |α| ≤ l. Мы доказали, что u Hl(Ω).

10. След функций из H1(Ω)

Пусть Ω - область в пространстве En, l Ω - фиксированная гладкая гиперповерхность размерности n − 1 и f(x) - функция, заданная в каждой точке x Ω. Мы можем рассматривать функцию f(x) только в точках x l и, таким образом, можем получить функцию F (x), заданную только на l: D(F ) = l, F (x) = f(x), x l. Будем называтьF (x) сужением f(x)

на l.

Если функция f(x) определена почти всюду на Ω, то она определяется неоднозначно на l (или вообще неопределена), так как l имеет n-мерную меру Лебега равную нулю.

При постановке краевых задач требуется задавать значения неизвестных функций, их производных на некоторых (n − 1)-мерных фиксированных гиперповерхностях, в частности, на границе области, в которой требуется найти решение (граничные условия, начальные данные). Если мы ищем решение в классах Соболева, то функции принадлежащие этим классам, вообще говоря, определены почти всюду на Ω и так как ∂Ω имеет n-мерную меру Лебега равную нулю, то на ∂Ω они могут определяться неоднозначно.

Встаёт задача, что понимать под значением функций класса Hk(Ω), k ≥

1, на l. Эта задача решается введением понятия следа функции u класса

H1(Ω) на l Ω. В частности, в качестве l можно рассматривать границу

∂Ω (или её некоторые части) области Ω.

Определение. Следом f|l функции f C(Q) на (n−1)-мерной поверхности l назовём функцию, определённую на l и почти всюду на l совпадающую с f в смысле (n − 1) - мерной меры, в частности, сужение F функции f C(Ω) на l и любая п.в. (в смысле (n − 1)-мерной меры Лебега) на l

совпадающая с F функция является следом функции f на l.

64

Введем понятие следа функции класса Hk(Ω) на l. Так как Hk(Ω)

H1(Ω) при k ≥ 1, то понятие следа достаточно ввести при k = 1.

Пусть l - гиперповерхность класса C1, лежащая в Ω. Можно доказать [14] (гл.III, §5), что для произвольной функции u(x) C1(Ω) имеет место неравенство

ku|lkL2(l) ≤ CkukH1(Ω).

(10.1)

В (10.1) ku|lkL2(l) есть норма в L2(l) следа функции u C1(Ω) на l, постоянная C не зависит от u, а зависит лишь от области Ω и гиперповерхности l.

Рассмотрим u H1(Ω). Из теоремы 1 следует существование последовательности {uk}∞k=1, uk C1(Ω), такой что,

ku − ukkH1(Ω) → 0, k → ∞.

(10.2)

Так как um − up C1(Ω), то в силу (10.1)

kum|l − up|lkL2(l) ≤ Ckum − upkH1(Ω).

(10.3)

Из (10.2), (10.3) следует, что

kum|l − up|lkL2(l) → 0, m, p → ∞.

(10.4)

Из (10.4) следует, что последовательность следов {uk|l}∞k=1 функций uk на гиперповерхности l фундаментальна в L2(l), и в силу полноты пространства L2(l) существует функция ul L2(l), такая что

uk|l → ul сильно в L2(l) при m → ∞.

(10.5)

Переходя в (10.3) к пределу при p → ∞, получим неравенство

kum − ulkL2(l) ≤ Ckum − ukH1(Ω).

(10.6)

Определение. Функцию ul L2(l) будем называть следом функции u H1(Ω) на поверхности l и обозначается через u|l.

Замечание. Обозначение u|l подчеркивает, что мы имеем дело не с сужением функции u на l, а именно со следом функции u H1(Ω) на гиперплоскости l.

65

Покажем, что след u|l функции u H1(Ω) определяется однозначно: его определение не зависит от выбора сходящейся к u в H1(Ω) последовательности {um}∞m=1, um C1(Ω). Действительно, пусть {um}∞m=1 - другая

последовательность в	C1				, сходящаяся сильно в		H1	(Ω) к u:
		(Ω)
									e
kuem − ukH1(Ω) → 0,						m → ∞,			(10.7)

и ul - след функции u, определяемый по последовательности {um}∞ . То- e e m=1

гда в силу (10.3), (10.6)

kul − uelkL2(l) ≤ kul − umkL2(l) + kum − uemkL2(l) + kuem − uelkL2(l) ≤

≤ C(ku − umkH1(Ω) + kum − uemkH1(Ω) + kuem − ukH1(Ω)).

Так как в силу (10.2), (10.7) правая часть последнего неравенства при m →

∞ стремится к нулю, то kul − ulkL (l) = 0. Отсюда следует, что ul = ul. e 2 e

Так как в силу (10.1)

kuk|lkL2(l) ≤ CkukkH1(Ω),

то переходя в последнем неравенстве к пределу при m → ∞, получим в силу (10.2), (10.5) неравенство

ku|lkL2(l) ≤ CkukH1(Ω),

u H1(Ω).

(10.8)

Доказана следующая

Теорема 1. Пусть (n−1) -мерная поверхность l класса C1 принадлежит Ω и ∂Ω C1. Тогда любая функция u H1(Ω) имеет след u|l L2(l) и выполняется неравенство (10.8).

Замечание. Выше при доказательстве теоремы 1 мы предполагали, что

∂Ω C1, что связано с доказательством неравенства (10.1) для функций класса C1(Ω). Если l b Ω, условие принадлежности ∂Ω классу C1 можно опустить в этом случае имеет место

Теорема 2. Пусть (n−1) -мерная поверхность l класса C1 принадлежит

Ωe, Ωe b Ω. Тогда любая функция u H1(Ω) имеет след u|l L2(l) и

выполняется неравенство (10.8).

66

11. Формула интегрирования по частям для функций класса H1(Ω)

Пусть Ω - ограниченная область с границей ∂Ω C1 и f(x), g(x) - функции класса C1(Ω). Из Анализа известна формула интегрирования по частям:

Z	∂f		Z	fg cos(nxi)dγ − Z		∂g		(11.1)
		g dx =			f		dx.
	∂xi					∂xi
Ω			∂Ω	Ω

Рассмотрим функции f(x), g(x) H1(Ω). Тогда (по теореме 1) существуют Последовательности {fm}∞m=1 и {gm}∞m=1 C1(Ω) такие, что при m → ∞

fm → f, gm → g сильно в H1(Ω).

(11.2)

Из (11.2) следует (см. неравенство (10.8))

fm|S → f|S,

gm|S → g|S

в L2(∂Ω).

(11.3)

Функции fm(x), gm(x) как функции класса C1(Ω) удовлетворяют соотно-

шениям

Z

∂fm

Z

fmgm cos(nxi)dγ − Z

∂gm

(11.4)

gm dx =

fm

dx.

∂xi

∂xi

Ω

∂Ω

Ω

Докажем, что

∂fm

∂f

Z

gm dx → Z

g dx

(11.5)

∂xi

∂xi

Ω

Ω

при m → ∞. Запишем соотношнния

∂f

g dx

− Z

gm

∂fm

dx

≤ Z

∂f

g

gm

dx

∂xi

∂xi

Z

∂xi

| −

|

Ω

Ω

Ω

	Ω		∂fm		∂f		|gm|dx ≤ ( по неравенству Коши-Буняковского ) ≤
			∂xi	− ∂xi
	+ Z

67

Z

∂xi

2

dx

1/2

Z

(g − gm)2 dx

1/2

+

Ω

∂f

Ω

+

∂x

∂xm

dx

1/2

(gm)2dx

1/2

Z

i

−

i

2

Z

≤

Ω

∂f

∂f

Ω

kfkH1(Ω) · kg − gmkH1(Ω) + kgmkH1(Ω)kf − fmkH1(Ω).

Так как множество {kgmkH1(Ω)} ограничено, то правая часть последнего неравенства стремится к нулю при m → 0 и, следовательно, выполняется

соотношение (11.5).

Покажем, что при m → 0

Z

fmgm cos(

n, xi) dγ → Z

f|∂Ωg|∂Ω cos(

(11.6)

n, xi) dγ.

∂Ω

∂Ω

Это следует из соотношений

f

∂Ωg ∂Ω cos(n, xi) dγ

fmgm cos(n, xi) dγ

Z

|

|

− Z

≤

∂Ω

∂Ω

Z |f|∂Ωg|∂Ω − fm|∂Ωgm|∂Ω| dγ ≤ Z |f∂Ω| |g|∂Ω − gm|∂Ω| dγ+

∂Ω

∂Ω

Z

+|gm|∂Ω| |f|∂Ω − fm|∂Ω| dγ ≤

∂Ω

≤ ( неравенство Коши-Буняковского ) ≤

≤	Z (f|∂Ω)2 dγ	1/2 Z (g|∂Ω − gm)2 dγ	1/2	+
	∂Ω	∂Ω

68

Z (f|∂Ω − fm|∂Ω)2 dγ	1/2 Z (gm)2 dγ	1/2	=
∂Ω	∂Ω

=kf|∂ΩkL2(∂Ω)kg|∂Ω − gm|∂ΩkL2(∂Ω) + kgm|∂ΩkL2(∂Ω)kfm|∂Ω − f|∂ΩkL2(∂Ω) ≤

≤C{kfkH1(Ω)kg − gmkH1(Ω) + kgmkH1(Ω)|fm − fkH1(Ω)} ≤

C1(kg − gmkH1(Ω) + |fm − fkH1(Ω)).

(11.7) В силу (11.2) правая часть (11.7) стремится к нулю при m → ∞. Следовательно, имеет место соотношение (11.6).

Доказательство того факта, что

	∂gm		∂g
Z		fm dx → Z		f dx	(11.8)
	∂xi		∂xi
Ω		Ω

при m → ∞. аналогично доказательству соотношения (11.5).

Из (11.5), (11.6), (11.8) следует, что формула (11.1) верна для функций f, g H1(Ω). В этом случае ее можно записать в виде

Z	∂xi g dx = Z		f|∂Ω · g|∂Ω cos(nxi)dγ − Z
	∂f
Ω		∂Ω	Ω

◦

Замечание. В случае, когда f H1(Ω), g H1 g H1(Ω)) из (11.1) следует равенство

f	∂g	dx.	(11.9)
	∂xi
			◦

(Ω) (или f H1 (Ω),

	∂f			∂g
Z		g dx = − Z	f		dx.	(11.10)
	∂xi			∂xi
Ω		Ω

69

12. Первая краевая задача для эллиптического уравне-

ния. Теорема существования и единственности

Пусть Ω En - ограниченная область с границей ∂Ω C1.

Первая краевая задача

Рассмотрим уравнение

n	∂xi	k(x)∂xi + a(x)u = f(x)		(12.1)
− i=1
X	∂		∂u
и краевые условия
		u|∂Ω = 0.		(12.2)
Относительно коэффициентов уравнения (12.1) предположим, что
	0 < k0 ≤ k(x) ≤ K,			(12.3)
		0 ≤ a(x) ≤ A,		(12.4)
функции k(x), a(x) измеримы по Лебегу в Ω, k0, K, A - постоянные,
		f(x) L2(Ω).		(12.5)
			◦

Определение. Функция u(x) H1 (Ω) называется обобщенным реше-

нием класса H1(Ω) задачи (12.1), (12.2), если
(u, v) ≡ Z	n	∂u ∂v			dx + Z	auv dx = Z	◦
	k(x) i=1						fv dx v H1 (Ω). (12.6)
		∂xi ∂xi
Ω	X				Ω	Ω

Теорема 1. Пусть выполнены условия (12.3) - (12.5). Тогда задача (12.1), (12.2) имеет единственное решение в классе H1(Ω).

Доказательство. В силу (12.3), (12.4) билинейная форма ((u, v)) есть

◦

скалярное произведение в H1 (Ω), порождающее норму kuk1 = ((u, u))1/2

1/2

эквивалентную исходной в H1(Ω) норме kukH1(Ω) = R (u2 + |ru|2) dx .

Ω

Наше доказательство основано на теореме Рисса о представлении линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве.

Теорема (Рисс). Линейный непрерывный функционал F в гильбертовом пространстве H представим в виде F (w) = (w, z) w H, где z H. При этом элемент z определяется единственным образом и kF k = kzk.

70